余弦定理(同名638)

PAGE4第4頁共6頁人教版數(shù)學必修5§1.1.2余弦定理的教學設(shè)計溫州市五十一中學俞美丹教學內(nèi)容解析余弦定理是繼正弦定理教學之后又一關(guān)于三角形的邊角關(guān)系準確量化的一個重要定理。在初中，學生已經(jīng)學習了相關(guān)邊角關(guān)系的定性的結(jié)果，就是“在任意三角形中大邊對大角，小邊對小角”，“如果已知兩個三角形的兩條對應(yīng)邊及其所夾的角相等，則這兩個三角形全等”。同時學生在初中階段能解決直角三角形中一些邊角之間的定量關(guān)系。在高中階段，學生在已有知識的基礎(chǔ)上，通過對任意三角形邊角關(guān)系的探究，發(fā)現(xiàn)并掌握任意三角形中邊角之間的定量關(guān)系，從而進一步運用它們解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題，使學生能更深地體會數(shù)學來源于生活，數(shù)學服務(wù)于生活。教學目標解析1、使學生掌握余弦定理及推論，并會初步運用余弦定理及推論解三角形。2、通過對三角形邊角關(guān)系的探究，能證明余弦定理，了解從三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途徑證明余弦定理。3、在發(fā)現(xiàn)和證明余弦定理中，通過聯(lián)想、類比、轉(zhuǎn)化等思想方法比較證明余弦定理的不同方法，從而培養(yǎng)學生的發(fā)散思維。4、能用余弦定理解決生活中的實際問題，可以培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣，使學生進一步認識到數(shù)學是有用的。教學問題診斷分析1、通過前一節(jié)正弦定理的學習，學生已能解決這樣兩類解三角形的問題：①已知三角形的任意兩個角與邊，求其他兩邊和另一角；②已知三角形的任意兩個角與其中一邊的對角，計算另一邊的對角，進而計算出其他的邊和角。而在已知三角形兩邊和它們的夾角，計算出另一邊和另兩個角的問題上，學生產(chǎn)生了認知沖突，這就迫切需要他們掌握三角形邊角關(guān)系的另一種定量關(guān)系。所以，教學的重點應(yīng)放在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明上。2、在以往的教學中存在學生認知比較單一，對余弦定理的證明方法思考也比較單一，而本節(jié)的教學難點就在于余弦定理的證明。如何啟發(fā)、引導(dǎo)學生經(jīng)過聯(lián)想、類比、轉(zhuǎn)化多角度地對余弦定理進行證明，從而突破這一難點。3、學習了正弦定理和余弦定理，學生在解三角形中，如何適當?shù)剡x擇定理以達到更有效地解題，也是本節(jié)內(nèi)容應(yīng)該關(guān)注的問題，特別是求某一個角有時既可以用余弦定理，也可以用正弦定理時，教學中應(yīng)注意讓學生能理解兩種方法的利弊之處，從而更有效地解題。教學支持條件分析為了將學生從繁瑣的計算中解脫出來，將精力放在對定理的證明和運用上，所以本節(jié)中復(fù)雜的計算借助計算器來完成。當使用計算器時，約定當計算器所得的三角函數(shù)值是準確數(shù)時用等號，當取其近似值時，相應(yīng)的運算采用約等號。但一般的代數(shù)運算結(jié)果按通常的運算規(guī)則，是近似值時用約等號。教學過程設(shè)計1、教學基本流程：①從一道生活中的實際問題的解決引入問題，如何用已知的兩條邊及其所夾的角來表示第三條邊。②余弦定理的證明：啟發(fā)學生從不同的角度得到余弦定理的證明，或引導(dǎo)學生自己探索獲得定理的證明。③應(yīng)用余弦定理解斜三角形。2、教學情景：①創(chuàng)設(shè)情境，提出問題問題1：現(xiàn)有卷尺和測角儀兩種工具，請你設(shè)計合理的方案，來測量學校生物島邊界上兩點的最大距離（如圖1所示，圖中AB的長度）?！驹O(shè)計意圖】：來源于生活中的問題能激發(fā)學生的學習興趣，提高學習積極性。讓學生進一步體會到數(shù)學來源于生活，數(shù)學服務(wù)于生活。師生活動：教師可以采取小組合作的形式，讓學生設(shè)計方案嘗試解決。學生1—方案1：如果卷尺足夠長的話，可以在島對岸小路上取【設(shè)計意圖】：通過以上平面幾何知識、向量法、解析法引導(dǎo)學生體會證明余弦定理，更好地讓學生主動投入到整個數(shù)學學習的過程中，培養(yǎng)學生發(fā)散思維能力，拓展學生思維空間的深度和廣度。③運用定理，解決問題讓學生觀察余弦定理及推論的構(gòu)成形式，思考用余弦定理及推論可以解決那些類型的三角形問題。例1：①在△ABC中，已知a=2，b=3，∠C=60°，求邊c。②在△ABC中，已知a=7，b=3，c=5，求A、B、C?！驹O(shè)計意圖】：讓學生理解余弦定理及推論解決兩類最基本問題，既①已知三角形兩邊及夾角，求第三邊；②已知三角形三邊，求三內(nèi)角。④小結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容是余弦定理的證明，從平面幾何、向量、坐標等各個不同的方面進行探究，得出的余弦定理無論在什么形狀的三角形中都成立，勾股定理也只不過是它的特例。所以它很“完美”，從式子上又可以看出其具“簡捷、和諧、對稱”的美，其變式即推論也很協(xié)調(diào)?！驹O(shè)計意圖】：在學生探究數(shù)學美，欣賞美的過程中，體會數(shù)學造化之神奇，學生可以興趣盎然地掌握公式特征、結(jié)構(gòu)及其他變式。⑤作業(yè)第1題：用正弦定理證明余弦定理?！驹O(shè)計意圖】：繼續(xù)要求學生擴寬思路，用正弦定理把余弦定理中的邊都轉(zhuǎn)化成角，然后利用三角公式進行推導(dǎo)證明。而這種把邊轉(zhuǎn)化為角、或把角轉(zhuǎn)化為邊的思想正是我們解決三角形問題中的一種非常重要的思想方法。第2題：在△ABC中，已知，求角A和C和邊c?！驹O(shè)計意圖】：本題可以通過正弦定理和余弦定理來求解，讓學生體會兩種定理在解三角形問題上的利弊。運用正弦定