數(shù)值分析第三章小結(jié)VIP

第三章矩陣特征值與特征向量的計(jì)算--------學(xué)習(xí)小結(jié)一、

本章學(xué)習(xí)體會(huì)

本章我們學(xué)習(xí)了矩陣特征值與特征向量的計(jì)算方法即冪法、反冪法、Jacobi方法和QR方法。

下邊介紹一下四種方法各自的特點(diǎn)和適用范圍。冪法：主要用于計(jì)算矩陣按模最大的特征值及其相應(yīng)的特征向量；反冪法：主要用于計(jì)算矩陣按模最小的特征值及其相應(yīng)的特征向量；Jacobi法：用于求實(shí)對(duì)稱矩陣的全部特征值和特征向量的方法；QR法：則適用于計(jì)算一般實(shí)矩陣的全部特征值，尤其適用于計(jì)算中小型實(shí)矩陣的全部特征值。歸結(jié)起來(lái)，這四種方法有一個(gè)共同的特點(diǎn)，即都是用了迭代的方法來(lái)求矩陣的特征值和特征向量。

還有利用用MATLAB自帶的解法求解特征值和特征向量，其自帶函數(shù)Eig即得到結(jié)果是虛數(shù)也可以算出，并且結(jié)果自動(dòng)正交化。二、本章知識(shí)梳理在工程技術(shù)中，計(jì)算矩陣的特征值和特征向量主要使用數(shù)值解法。本章將闡述冪法、反冪法、Jacobi方法、和QR方法，并且只限于討論實(shí)矩陣的情況。3.1冪法和反冪法（1）冪法冪法主要用于計(jì)算矩陣的按模為最大的特征值和相應(yīng)的特征向量，其思想是迭代。設(shè)實(shí)矩陣A具有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量其相應(yīng)的特征值滿足如下不等式其中現(xiàn)在要求出和相應(yīng)的特征向量。任取一維非零向量，從出發(fā)，按照如下的遞推公式因維向量組線性無(wú)關(guān)，故對(duì)于向量，必存在唯一的不全為零的數(shù)組，使得=設(shè)。當(dāng)k充分大時(shí)，有迭代公式為在實(shí)際計(jì)算中，為了避免迭代向量的模過(guò)大（當(dāng)）或過(guò)?。ó?dāng)），通常每迭代一次都對(duì)進(jìn)行規(guī)范化，使其范數(shù)等于1.=1\*GB3①范數(shù)令那么由于，并根據(jù)式可得結(jié)合在一起，得到第一種冪法迭代格式：當(dāng)（允許誤差）時(shí)，迭代終止，以當(dāng)前的作為的近似值，以作為的屬于的特征向量。=2\*GB3②范數(shù)令這里假設(shè)的第r個(gè)分量為模最大的分量，當(dāng)足夠大之后，r保持定值；是維基基本單位向量，它的第r個(gè)分量為1，其余分量為零。由于，可得。把式子結(jié)合起來(lái)，得到第二種冪法迭代格式：終止迭代的控制也用，當(dāng)前的和即分別作為和與其相應(yīng)的特征向量。在迭代格式中，，，。兩種迭代格式相比較前一種格式編制程序容易，迭代一次所需時(shí)間較短；第二種格式每迭代一次都要判斷的第幾個(gè)分量的模最大，因而所需要的時(shí)間較長(zhǎng)，但是它在計(jì)算過(guò)程中舍入誤差的影響比第一種格式小。（2）反冪法目的:計(jì)算A的按模最小的特征值與相應(yīng)的特征向量。設(shè)A的特征值：特征向量:的特征值：對(duì)用成冪法計(jì)算的按模最大的特征值與相應(yīng)的特征向量稱為反冪法。反冪法計(jì)算過(guò)程1.使用max()2.使用范數(shù)（3）Jacobi方法Jacobi方法的基本思想理論依據(jù)：任一實(shí)對(duì)稱矩陣正交相似于對(duì)角陣。若令，則，令，為初等陣構(gòu)造一系列正交矩陣序列使得迭代公式：且令則P的列為特征向量。（4）QR方法QR方法是求一般矩陣的全部特征值和特征向量的一種迭代。矩陣的QR分解（正交三角分解）即A=QRQ——正交矩陣R——上三角矩陣=1\*GB3①Householder矩陣H為對(duì)稱正交矩陣。=2\*GB3②Householder矩陣的性質(zhì)=3\*GB3③矩陣的QR分解QR分解的實(shí)現(xiàn)Q的計(jì)算:令R的計(jì)算：令QR分解的算法記，，本章