山西省太原市名校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題（含答案）

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數(shù)學(xué)試題

考查時間：120分鐘滿分：150分考查內(nèi)容：高中數(shù)學(xué)全部內(nèi)容

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分.每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是正確的.請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

1．已知復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為，，若是純虛數(shù)，則（）

A．B．C．D．2

2．已知，若是的必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）

A．B．C．D．

3．若函數(shù)在單調(diào)遞減，則a的取值范圍（）

A．B．C．D．

4．若向量和向量平行，則（）．

A．B．C．D．

5．若點(diǎn)是圓的弦的中點(diǎn)，則弦所在的直線方程為（）

A．B．

C．D．

6．等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)為，若數(shù)列的最大項(xiàng)是第20項(xiàng)和第21項(xiàng)，則（）

A．18B．20C．22D．24

7．已知，且，則的值為（）

A．B．C．D．

8．若正數(shù)滿足，則的最小值是（）

A．B．C．D．

二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分.每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得5分，選對但不全得2分，有選錯得0分.

9．一組數(shù)據(jù)是公差為的等差數(shù)列，若去掉首末兩項(xiàng)，則（）

A．平均數(shù)變大B．中位數(shù)沒變C．方差變小D．極差沒變

10．已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時，，則（）

A．B．

C．D．

11．已知是拋物線的焦點(diǎn)，，是拋物線上的兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）

A．拋物線的準(zhǔn)線方程為

B．若，則的面積為

C．若直線過焦點(diǎn)，且，則到直線的距離為

D．若，則

12．在圓錐SO中，C是母線SA上靠近點(diǎn)S的三等分點(diǎn)，，底面圓的半徑為r，圓錐SO的側(cè)面積為3π，則（）

A．當(dāng)時，從點(diǎn)A繞圓錐側(cè)面一周到點(diǎn)C的最小長度為

B．當(dāng)時，過頂點(diǎn)S和兩母線的截面三角形的最大面積為

C．當(dāng)時，圓錐SO的外接球表面積為

D．當(dāng)時，棱長為的正四面體在圓錐SO內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分.

13．已知函數(shù)的圖象與直線相切，則.

14．的展開式中常數(shù)項(xiàng)為.（用數(shù)字作答）

15．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中，則．

16．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為.過作直線交雙曲線的右支于兩點(diǎn)，若分別為與的內(nèi)心，則的取值范圍為.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17．（10分）已知，，分別為內(nèi)角，，的對邊，且．

(1)求的值；

(2)若面積為，求邊上的高的最大值．

18．（12分）如圖，為圓的直徑，垂直于圓所在的平面，為圓周上不與點(diǎn)重合的點(diǎn)，連接，作于點(diǎn)于點(diǎn).

(1)求證：是二面角的平面角；

(2)若，求二面角的正弦值.

19．（12分）已知一袋中裝有30個球，每個球上分別標(biāo)有1，2，3，…，30的一個號碼，設(shè)號碼為n的球重為（單位：克），這些球等可能的從袋中被取出.

(1)現(xiàn)從中不放回地任意取出2球，試求它們重量相等的概率；

(2)現(xiàn)從中任意取出1球，若它的重量小于號碼數(shù)，則放回，攪拌均勻后重取一球；若它的重量不小于號碼數(shù)，則停止取球.按照以上規(guī)則，最多取球3次，設(shè)停止之前取球次數(shù)為，求的分布列和期望.

20．（12分）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知．

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為．定義為不超過x的最大整數(shù)，例如．當(dāng)時，求n的值．

21．（12分）橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，過左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（其中點(diǎn)位于x軸上方），當(dāng)垂直于軸時，．

(1)求橢圓的方程；

(2)記直線的斜率分別為，求的最小值．

22．（12分）已知函數(shù)．

(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；

(2)若在上有兩個極值點(diǎn)（）．

（i）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（ii）求證：．太原市名校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第一次月考

數(shù)學(xué)試題評分細(xì)則

1-8AABCDCAB9.BC10.AC11.BD12.ACD

13．．14．84.15．2.16．

7．【詳解】由可得，

由可得，

兩式相加可得，所以，

因?yàn)?，，所以?/p>

所以，

故選：A

8.【詳解】由可得時等號成立，

所以，

所以時，的最小值是，

故選：B

9．【詳解】數(shù)據(jù)是公差為的等差數(shù)列，

對于A，原數(shù)據(jù)的平均數(shù)，

去掉首末兩項(xiàng)后的平均數(shù)，即平均數(shù)不變，A不正確；

對于B，原數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，去掉首末兩項(xiàng)后的中位數(shù)為，即中位數(shù)不變，B正確；

對于C，原數(shù)據(jù)的方差，

去掉首末兩項(xiàng)后的方差，即方差變小，C正確；

對于D，原數(shù)據(jù)的極差，去掉首末兩項(xiàng)后的極差，即極差變小，D不正確.

故選：BC

10.

11.【詳解】對于A中，拋物線可得其準(zhǔn)線方程為，所以A錯誤；

對于B中，設(shè)，因?yàn)椋傻?，解得，可得?/p>

所以，所以B正確；

對于C中，拋物線，可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，

當(dāng)直線的斜率不存在時，可得，不符合題意；

當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立方程組，整理得，

設(shè)，可得，

根據(jù)拋物線的定義，可得，解得，

所以直線的方程為，

不妨取，所以到直線的距離為，所以C錯誤；

對于D中，設(shè)直線的方程為（不妨設(shè)）

由，可得，則，

因?yàn)?，此時直線的方程為，可得，

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以D正確.

故選：BD.

12．【詳解】依題意，，

對于A，當(dāng)時，，，圓錐的側(cè)面展開圖，如圖，

側(cè)面展開圖扇形弧長即為圓錐的底面圓周長，則，在中，由余弦定理得：

，即，A正確；

對于B，當(dāng)時，有，令圓錐SO的軸截面等腰三角形頂角為，，

為鈍角，令P，Q是圓錐SO的底面圓周上任意的不同兩點(diǎn)，則，

則有的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，B不正確；

對于C，當(dāng)時，，圓錐SO的外接球球心在直線SO上，圓錐的底面圓是球的截面小圓，而圓錐的高，

設(shè)外接球半徑為R，則有，即，解得，其表面積為，C正確；

對于D，棱長為的正四面體可以補(bǔ)形成正方體，如圖，

則正方體棱長，其外接球即正四面體的外接球直徑為，球半徑，

當(dāng)時，，圓錐SO的內(nèi)切球球心在線段SO上，圓錐的軸截面截內(nèi)切球得大圓，是圓錐軸截面等腰三角形內(nèi)切圓，

設(shè)其半徑為，由三角形面積得：，解得，，

因此，半徑為的球在圓錐SO內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動，

而棱長為的正四面體的外接球的半徑為，

故棱長為的正四面體在半徑為的球內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動，

所以當(dāng)時，棱長為的正四面體在圓錐SO內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動，D正確.

故選：ACD

15．【詳解】由圖可知，

因?yàn)?，所以函?shù)的圖象關(guān)于對稱且在處函數(shù)取得最大值，

所以，所以，，

解得，，

又，即，即且，所以，

所以或，

當(dāng)時，此時，不符合題意，

當(dāng)時，此時，符合題意，

所以.

故答案為：

16．【詳解】設(shè)半焦距為，

由題意知，

，

所以，

所以，

雙曲線.

記的內(nèi)切圓與邊，，分別相切于點(diǎn)，

則橫坐標(biāo)相等，

則，，，

由，

即，

得，

即，

記的橫坐標(biāo)為，

則，

于是，得，

同理內(nèi)心的橫坐標(biāo)也為，則軸.

設(shè)直線的傾斜角為，

則，

在中，

，

由于直線與的右支有2個交點(diǎn)，且一條漸近線的斜率為，傾斜角為，

可得，

即，

可得的范圍是.

17．【詳解】（1）∵，∴，………….2分

，，

∴，………….4分

∵，

∴………….5分

（2）由面積為得：，而，

∴………….6分

∵邊上的高為，

∴，則，………….7分

∵，

∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，取“=”，………….9分

即的最小值為2．此時最大為．………….10分

18．【詳解】（1）因?yàn)榇怪庇趫A所在的平面，即平面，平面，所以，

又因?yàn)闉閳A的直徑，所以,

，平面，所以平面，

平面，所以，………….2分

又因?yàn)?，，平面，所以平面?/p>

平面，所以，………….4分

又因?yàn)椋矫?，所以平面?/p>

平面，所以，………….6分

所以是二面角的平面角.

（2）設(shè)，因?yàn)椋?/p>

所以，………….7分

過點(diǎn)作的平行線為軸，并以為軸建系如圖，

則，

設(shè)平面的法向量為，

所以令則，

所以，………….9分

設(shè)平面的法向量為，

所以令則，

所以，………….10分

設(shè)二面角的大小為，

則，………….11分

所以.………….12分

19．【詳解】（1）令，其對稱軸為且，

所以不放回地任意取出2球重量相等的號碼有、、、、，

故不放回地任意取出2球重量相等概率為.………….4分

（2）由（1），，即或且，

所以，取到共23個中的一個，即可停止取球，

故每次取到球后停止的概率為，而，………….7分

，，，………….10分

分布列如下：

123

所以.………….12分

20．【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，則．

因?yàn)?，則，得．

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是．………….4分

（2）因?yàn)?，則………….6分

所以

．………….8分

當(dāng)時，因?yàn)?，則．

當(dāng)時，因?yàn)?，則．………….10分

因?yàn)椋瑒t，即，

即，即．因?yàn)?，所以………?12分

21．【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的左焦點(diǎn)為，

所以，…………1分

將代入，得，

故，………….2分

解得，，

∴橢圓方程為．………….5分

（2）因?yàn)橹本€過點(diǎn)，且點(diǎn)位于x軸上方，

所以直線斜率不為0，設(shè)直線的方程為，…………6分

聯(lián)立

消去x得，．

方程的判別式，

設(shè)，，由已知，

于是，…………7分

所以，，………….8分

又橢圓的左頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，

所以，

因?yàn)?，，?/p>

所以，，

因?yàn)椋?9分

所以，即，………….10分

所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，

所以當(dāng)時，取最小值，最小值為．………….12分

22．【詳解】（1），………….1分

令，所以，

所以，當(dāng)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，單調(diào)遞增，

所以，………….2分

所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，

所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．………….4分

（2）（i）因?yàn)?，要使在上有兩個極值點(diǎn)，，

則在上有兩個變號的零點(diǎn)，………….5分

①時，則，由（1）知，，所以，所以在上沒有兩個變號的零點(diǎn)，不合題意，舍去.………….6分

②當(dāng)時，因?yàn)椋?/p>