大學(xué)高等數(shù)學(xué)第七章2線性方程組的求解

線性方程組的求解整理課件●線性方程組的一般形式（1）記則有矩陣形式

整理課件（1）則方程組有向量形式

●線性方程組的向量形式記整理課件●線性方程組的一般形式（1）當(dāng)時(shí)，稱方程組（1）為齊次線性方程組；當(dāng)，稱方程組（1）為非齊次線性方程組。整理課件●齊次線性方程組的解的性質(zhì)解向量：方程組的解構(gòu)成向量稱為解向量。結(jié)論：齊次線性方程組的解的任意線性組合還是該方程組的解。1、如果是齊次線性方程組的解，則也是方程組的解。

2、如果是齊次線性方程組的解，則也是方程組的解。

●基礎(chǔ)解系的概念如果齊次線性方程組的解向量組線性無關(guān)，方程組的任意解可由該向量組線性表示，則該組解向量稱為方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。注：基礎(chǔ)解系是不惟一的。整理課件●齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)

定理如果齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩，則齊次線性方程組有基礎(chǔ)解系，基礎(chǔ)解系中含有個(gè)解向量。證明：見書P267

定理如果齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為，則方程組的通解為其中為任意常數(shù)。整理課件例求解齊次線性方程組，用基礎(chǔ)解系表示通解。解將系數(shù)矩陣A作行初等變換

方程組的一般解為所以（其中為自由未知量）整理課件改寫為向量形式，得其中即為基礎(chǔ)解系方程組的一般解為整理課件●非齊次線性方程組的解的性質(zhì)非齊次線性方程組對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組如果是（1）的解，則是（2）的解。

如果是（1）的解，是（2）的解，則是（1）的解。證明

證明

整理課件●非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)定理如果是非齊次線性方程組的特解，是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則非齊次線性方程組的通解可表示為。例設(shè)三元非齊次線性方程組AX=b的系數(shù)矩陣A的秩為2，且它的三個(gè)解向量滿足，求AX=b的通解。解

由題設(shè)知：方程組AX=0的基礎(chǔ)解系中只含有一個(gè)解向量即為一基礎(chǔ)解系即為一特解所以原方程組的通解為整理課件●非齊次線性方程組有解的充要條件非齊次線性方程組AX=b有解

向量b可由矩陣A的列向量組線性表示

向量組與向量組等價(jià)

其中，稱為增廣矩陣定理線性方程組AX=b有解的充分必要條件是：系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，即。當(dāng)時(shí)，方程組有惟一解；當(dāng)時(shí)，方程組有無窮多解；當(dāng)時(shí)，方程組無解。整理課件例求解線性方程組解將增廣矩陣作行初等變換

整理課件所以方程組有無窮多解一般解為（其中Z為自由未知量）令Z=K，將一般解改寫為向量形式，得其中為基礎(chǔ)解系整理課件例求解線性方程組，當(dāng)K為何值時(shí)，方程組有（1）唯一解？（2）無解？（3）無窮多解？并用基礎(chǔ)解系表示通解。解方程組的系數(shù)行列式為（1）當(dāng)且時(shí)，方程組有唯一解。（2）當(dāng)