第十八屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請賽初賽試卷（小高組C卷）

第1頁（共1頁）第十八屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽初賽試卷（小高組C卷）一、選擇題（每小題10分，滿分60分．以下每題的四個選項中，僅有一個是正確的，請將表示正確答案的英文字母寫在每題的圓括號內(nèi)．）1．（10分）如果＝（其中m與n為互質(zhì)的自然數(shù)），那么m+n的值是（）A．1243 B．1343 C．4025 D．40292．（10分）甲、乙、丙三位同學(xué)都把25克糖放入100克水中混合變成糖水，然后他們又分別做了以下事情：最終，（）得到的糖水嘴甜．A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙3．（10分）一只青蛙8點從深為12米的井底向上爬，它每向上爬3米，因為井壁打滑，就會下滑1米，下滑1米的時間是向上爬3米所用時間的三分之一．8點17分時，青蛙第二次爬至離井口3米之處，那么青蛙從井底爬到井口時所花的時間為（）分鐘．A．22 B．20 C．17 D．164．（10分）已知正整數(shù)A分解質(zhì)因數(shù)可以寫成A＝2α×3β×5γ，其中α、β、γ是自然數(shù)．如果A的二分之一是完全平方數(shù)，A的三分之一是完全立方數(shù)，A的五分之一是某個自然數(shù)的五次方，那么α+β+γ的最小值是（）A．10 B．17 C．23 D．315．（10分）今有甲、乙兩個大小相同的正三角形，各畫出了一條兩邊中點的連線，如圖，甲、乙位置左右對稱，但甲、乙內(nèi)部所畫線段的位置不對稱，從圖中所示的位置開始，甲向右水平移動，直至兩個三角形重疊后在離開．在移動過程中的每個位置，甲與乙所組成的圖形中都有若干個三角形，那么三角形個數(shù)最多的位置，圖形中有（）個三角形．A．9 B．10 C．11 D．126．（10分）從1～11這11個整數(shù)中任意取出6個數(shù)，則下面結(jié)論正確的共（）個．①其中必有兩個數(shù)互質(zhì)；②其中必有一個數(shù)是其中另一個數(shù)的倍數(shù)；③其中必有一個數(shù)的2倍是其中另一個數(shù)的倍數(shù)．A．3 B．2 C．1 D．0二、填空題（每小題10分，滿分40分）7．（10分）有四個人去書店買書，每人買了4本不同的書，且每兩個人恰有2本書相同，那么這4個人至少買了種書．8．（10分）每天，小明上學(xué)都要經(jīng)過一段平路AB、一段上坡路BC和一段下坡路CD（如圖），已知AB：BC：CD＝1：2：1，并且小明在平路、上坡路、下坡路上的速度比為3：2：4，那么小明上學(xué)與放學(xué)回家所用的時間比是．9．（10分）黑板上有11個1，22個2，33個3，44個4，做以下操作：每次擦掉3個不同的數(shù)字，并且把沒擦掉的第四種數(shù)字多寫2個．例如：某次操作擦掉1個1，1個2，1個3，那就在寫上2個4，經(jīng)過若干次操作后，黑板上只剩下3個數(shù)字，而且無法繼續(xù)進行操作，那么最后剩下的三個數(shù)字的乘積是．10．（10分）如圖，正方形ABCD被分成了面積相同的8個三角形，如果DG＝5，那么正方形ABCD面積是．

第十八屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽初賽試卷（小高組C卷）參考答案與試題解析一、選擇題（每小題10分，滿分60分．以下每題的四個選項中，僅有一個是正確的，請將表示正確答案的英文字母寫在每題的圓括號內(nèi)．）1．（10分）如果＝（其中m與n為互質(zhì)的自然數(shù)），那么m+n的值是（）A．1243 B．1343 C．4025 D．4029【分析】＝＝＝＝，所以n＝671，m＝672，m+n＝1343．【解答】解：＝＝＝，所以n＝671，m＝672，m+n＝1343．故選：B．2．（10分）甲、乙、丙三位同學(xué)都把25克糖放入100克水中混合變成糖水，然后他們又分別做了以下事情：最終，（）得到的糖水嘴甜．A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙【分析】此題首先理解含糖率，含糖率＝×100%，然后分別求出三人的含糖率進行比較即可．【解答】解：甲的含糖率：50×20%＝10（克），×100%＝×100%＝20%；乙的含糖率：×100%＝×100%≈25.7%；丙的含糖率：100×＝40（克），×100%＝≈28.9%，答：最終丙得到的糖水嘴甜．故選：C．3．（10分）一只青蛙8點從深為12米的井底向上爬，它每向上爬3米，因為井壁打滑，就會下滑1米，下滑1米的時間是向上爬3米所用時間的三分之一．8點17分時，青蛙第二次爬至離井口3米之處，那么青蛙從井底爬到井口時所花的時間為（）分鐘．A．22 B．20 C．17 D．16【分析】下滑1米的時間是向上爬3米所用時間的3倍；爬1米和滑1米的時間相同，以爬3米，滑1米為一個周期；（3﹣1）×3+3＝9m，青蛙第一次爬至離井口3米之處，（3﹣1）×4+1＝9m，青蛙第二次爬至離井口3米之處，此時，青蛙爬的路程為（3+1）×4+1＝17米，即4個周期加1米，用時17分鐘，所以青蛙每爬1m或滑1m所用時間為1分鐘；（12﹣3）÷（3﹣1）＝4…1，青蛙從井底爬到井口經(jīng)過5個周期，再爬2m，用時5×（3+1）+2；解答即可．【解答】解：以爬3米，滑一米為一個周期；（3﹣1）×3+3＝9m，青蛙第一次爬至離井口3米之處，（3﹣1）×4+1＝9m，青蛙第二次爬至離井口3米之處，此時，青蛙爬了4個周期加1米，用時17分鐘，所以青蛙每爬1m或滑1m所用時間為1分鐘；（12﹣3）÷（3﹣1）＝4…1，青蛙從井底爬到井口經(jīng)過5個周期，再爬2m，用時5×（3+1）+2＝22分鐘；故選：A．4．（10分）已知正整數(shù)A分解質(zhì)因數(shù)可以寫成A＝2α×3β×5γ，其中α、β、γ是自然數(shù)．如果A的二分之一是完全平方數(shù)，A的三分之一是完全立方數(shù)，A的五分之一是某個自然數(shù)的五次方，那么α+β+γ的最小值是（）A．10 B．17 C．23 D．31【分析】A的二分之一是完全平方數(shù)，α﹣1、β、γ是2的倍數(shù)；A的三分之一是完全立方數(shù)，α、β﹣1、γ是3的倍數(shù)；A的五分之一是某個自然數(shù)的五次方，α、β、γ﹣1是5的倍數(shù)；要α+β+γ的值最小，分別求滿足條件的α、β、γ值，然后求出α+β+γ的最小值即可．【解答】解：A的二分之一是完全平方數(shù)，α﹣1、β、γ是2的倍數(shù)；A的三分之一是完全立方數(shù)，α、β﹣1、γ是3的倍數(shù)；A的五分之一是某個自然數(shù)的五次方，α、β、γ﹣1是5的倍數(shù)；要α+β+γ的值最小，分別求滿足條件的α、β、γ值：3×5﹣1是2的倍數(shù)，α的最小值為15，2×3﹣1是5的倍數(shù)，γ的最小值為6，2×5﹣1是3的倍數(shù)，β的最小值為10，所以α+β+γ的最小值是：15+6+10＝31；故選：D．5．（10分）今有甲、乙兩個大小相同的正三角形，各畫出了一條兩邊中點的連線，如圖，甲、乙位置左右對稱，但甲、乙內(nèi)部所畫線段的位置不對稱，從圖中所示的位置開始，甲向右水平移動，直至兩個三角形重疊后在離開．在移動過程中的每個位置，甲與乙所組成的圖形中都有若干個三角形，那么三角形個數(shù)最多的位置，圖形中有（）個三角形．A．9 B．10 C．11 D．12【分析】把所有的情況都畫出來然后通過比較找出三角形最多的圖形，所有的圖如下：【解答】解：根據(jù)題干分析，觀察畫出的圖形可得，第7個圖形中的三角形最多，有11個．故選：C．6．（10分）從1～11這11個整數(shù)中任意取出6個數(shù)，則下面結(jié)論正確的共（）個．①其中必有兩個數(shù)互質(zhì)；②其中必有一個數(shù)是其中另一個數(shù)的倍數(shù)；③其中必有一個數(shù)的2倍是其中另一個數(shù)的倍數(shù)．A．3 B．2 C．1 D．0【分析】①根據(jù)互質(zhì)數(shù)的意義，公因數(shù)只有1的兩個數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)，在這11個中，質(zhì)數(shù)有2、3、5、7、11，任何兩個質(zhì)數(shù)一定是互質(zhì)數(shù)，又因為在這11個數(shù)中偶數(shù)有2、4、6、8、10五個，奇數(shù)有六個，所以任意取出6個數(shù)，其中必有兩個數(shù)互質(zhì)．②比如取5個偶數(shù)一個奇數(shù)，在這5個偶數(shù)中4、6、8、10都是2的倍數(shù)，如果取1、3、5、7、9、11，其中9是3的倍數(shù)；如果取6、7、8、9、10、11，就沒有倍數(shù)關(guān)系；③比如1的2倍是2，2是2的倍數(shù)，2的2倍是4，4是4的倍數(shù)．據(jù)此解答．【解答】解：根據(jù)上面的分析可知：從1～11這11個整數(shù)中任意取出6個數(shù)，①其中必有兩個數(shù)互質(zhì)；此說法正確．③其中必有一個數(shù)的2倍是其中另一個數(shù)的倍數(shù)．此說法正確．故選：B．二、填空題（每小題10分，滿分40分）7．（10分）有四個人去書店買書，每人買了4本不同的書，且每兩個人恰有2本書相同，那么這4個人至少買了7種書．【分析】從簡單的性質(zhì)思考：若只有兩個人，為符合題意，一定有6本不同的書，給這6本書編號：1、2、3、4、5、6．設(shè)甲買的是1、2、3、4，乙買的是1、2、5、6．這時丙來了．為符合題意，他可以選擇不買其他的書，他買編號為3、4、5、6，也符合題意，這時要注意的是，當(dāng)三個人只買6本書時，當(dāng)甲乙買的書確定之后，丙買的編號是唯一的，就是丙不能買甲乙都買的書，那么他就必須再買一本他自己“獨有”的書，為了使問題好理解，列表格解答（見解答部分）．【解答】解：若只有兩個人，為符合題意，一定有6本不同的書，給這6本書編號為1、2、3、4、5、6．設(shè)甲買的是1、2、3、4，乙買的是1、2、5、6．這時丙來了．為符合題意，他可以選擇不買其他的書，他買編號為3、4、5、6，也符合題意，這時要注意的是，當(dāng)三個人只買6本書時，當(dāng)甲乙買的書確定之后，丙買的編號是唯一的，就是丙不能買甲乙都買的書，那么他就必須再買一本他自己“獨有”的書，列表格：123456甲√√√√乙√√√√丙√√√√這時丁來了，站在丙的角度思考，他至少要有一本“獨有”的書，所以4個人的時候至少是7本．即甲買的書編號為（1、2、3、4），則乙買的書編號為（1、2、5、6），丙買的書編號為（3、4、5、6），丁可以買（1、3、5、7）．因此4個人的時候至少買（1、2、3、4、5、6、7），即7種書．故答案為：7．8．（10分）每天，小明上學(xué)都要經(jīng)過一段平路AB、一段上坡路BC和一段下坡路CD（如圖），已知AB：BC：CD＝1：2：1，并且小明在平路、上坡路、下坡路上的速度比為3：2：4，那么小明上學(xué)與放學(xué)回家所用的時間比是19：16．【分析】假設(shè)一段平路AB的路程是y、一段上坡路BC是2y和一段下坡路CD是y，平路、上坡路、下坡路上的速度分別為3x，2x，4x，然后運用路程速度時間之間的關(guān)系求出上學(xué)與放學(xué)回家所用的時間比．【解答】解：上學(xué)用的時間；+，＝，＝；放學(xué)用的時間；++，＝，＝，小明上學(xué)與放學(xué)回家所用的時間比是：：，＝，＝19：16；答：小明上學(xué)與放學(xué)回家所用的時間比是19：16．故答案為：19：16．9．（10分）黑板上有11個1，22個2，33個3，44個4，做以下操作：每次擦掉3個不同的數(shù)字，并且把沒擦掉的第四種數(shù)字多寫2個．例如：某次操作擦掉1個1，1個2，1個3，那就在寫上2個4，經(jīng)過若干次操作后，黑板上只剩下3個數(shù)字，而且無法繼續(xù)進行操作，那么最后剩下的三個數(shù)字的乘積是12．【分析】本題屬于操作問題，倒推最簡單情況，黑板上只剩下3個數(shù)字，而且無法按規(guī)定繼續(xù)進行操作，只有兩種情況2個a，一個b，或3個a．我們根據(jù)規(guī)則進行操作，當(dāng)剩下3個數(shù)字，無法繼續(xù)進行操作，問題得解．【解答】解：本題列表推理如下：12341122334433112233223311221122331101122332201122112201151612501171514408100846840240802464024240213213210210210210210最后剩下了2個2，一個3，它們的積是：2×2×3＝12；故答案為：12．10．（10分）如圖，正方形ABCD被分成了面積相同的8個三角形，如果DG＝5，那么正方形ABCD面積是64．【分析】如圖，過G點做MO平行AD，交CD、AB分別于點M、O，過點F做FN⊥BC于N．設(shè)正方形面積為“1”，則正方形邊長為1，根據(jù)正方形ABCD被分成了面積相同的8個三角形，可求出BI、HA的長度，再根據(jù)四邊形FGHI是平行四邊形