2021-2022學(xué)年安徽省阜陽(yáng)市太和中學(xué)高一下學(xué)期競(jìng)賽考試數(shù)學(xué)試題

20212022學(xué)年安徽省阜陽(yáng)市太和中學(xué)高一下學(xué)期競(jìng)賽考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．在中，已知，則（

）A．1 B． C．2 D．4【答案】C【分析】直接利用余弦定理即可求得.【詳解】在中，已知，即為，由余弦定理得：,解得：（邊長(zhǎng)大于0，所以舍去）即.故選：C2．函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)函數(shù)解析式，只需解析式有意義，即，解不等式即可求解.【詳解】由，則，解得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：B3．已知向量且，則m＝（

）A．－5 B．－3 C．3 D．5【答案】A【分析】根據(jù)向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算求得向量，再由向量垂直的坐標(biāo)表示建立方程，求解即可.【詳解】解：由題意得.又，∴，解得m＝－5.故選：A.4．若點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足3－－＝，則△ABM與△ABC的面積之比為（）A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶5【答案】B【分析】由平面向量的加法結(jié)合已知可得M為AD的三等分點(diǎn)，然后由等高的三角形面積之比等于底邊之比可得.【詳解】如圖，D為BC邊的中點(diǎn)，則因?yàn)椋剿?，所以所?故選：B5．函數(shù)（且）與函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】分，兩種情況進(jìn)行討論，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和拋物線的開(kāi)口方向和對(duì)稱軸選出正確答案.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，開(kāi)口向上，對(duì)稱軸，排除B,D；當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，開(kāi)口向下，對(duì)稱軸，排除A,故選:C.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.6．已知，則與的夾角為(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積計(jì)算運(yùn)算律即可計(jì)算.【詳解】，，，.故選：C.7．已知平面向量，滿足，與的夾角為120°，記，的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，根據(jù)與的夾角為120°，得到，再根據(jù)，得到的終點(diǎn)在直線AB上求解.【詳解】設(shè)，如圖所示：則，因?yàn)榕c的夾角為120°，所以，因?yàn)椋业钠瘘c(diǎn)相同，所以其終點(diǎn)共線，即在直線AB上，所以當(dāng)時(shí)，最小，最小值為，無(wú)最大值，所以的取值范圍為，故選；A8．在銳角中，分別為角的對(duì)邊，已知，則的面積S的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)條件求出，利用三角形面積公式得到，采用極端值方法求出的最值，進(jìn)而得到的范圍，求出面積的取值范圍.【詳解】，因?yàn)闉殇J角三角形，故，，當(dāng)BC⊥AB時(shí)，，當(dāng)CB⊥AC時(shí)，，故，所以.故選：C二、多選題9．已知，，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】A．根據(jù)進(jìn)行判斷；B．根據(jù)進(jìn)行判斷；C．對(duì)賦值進(jìn)行判斷；D．取進(jìn)行判斷.【詳解】A．因?yàn)椋?，故正確；B．因?yàn)?，所以，故正確；C．當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以，故錯(cuò)誤；D．當(dāng)時(shí)，此時(shí)，故錯(cuò)誤，故選：AB.10．已知函數(shù)，則（

）A．值域?yàn)?B．的單調(diào)遞增區(qū)間為C．的單調(diào)遞減區(qū)間 D．是奇函數(shù)【答案】AC【解析】由求出定義域，由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)依次判斷即可得出結(jié)果.【詳解】，由可知定義域?yàn)?，可知定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù)，由二次函數(shù)的單調(diào)性可知，的單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞增區(qū)間為，值域?yàn)橹涤驗(yàn)?故選：AC.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生對(duì)概念的理解，及數(shù)形結(jié)合的能力，屬于基礎(chǔ)題.11．下列命題中正確的是（

）A．非零向量滿足，則與的夾角為B．已知非零向量，若，則的夾角為銳角C．若是所在平面上的一點(diǎn)，且滿足，則為等腰三角形D．在中，若點(diǎn)滿足，則為的垂心【答案】ACD【分析】對(duì)于A，根據(jù)向量的加法與減法法則，易判斷是等邊三角形即可求解；對(duì)于B，根據(jù)向量的數(shù)量積定義即可求解；對(duì)于C，根據(jù)向量的數(shù)量積判斷得，又根據(jù)E為AB中點(diǎn)，即可判斷；對(duì)于D，根據(jù)題意，結(jié)合向量的運(yùn)算得，，即可判斷.【詳解】對(duì)于A，如圖，作，則，又，則由題意知是等邊三角形，則可設(shè)與的夾角為，所以A正確；對(duì)于B，設(shè)與的夾角為，則由得，又因?yàn)椋?，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖，取AB中點(diǎn)為E，連接CE，因?yàn)?，所以CE⊥BA，又E為AB中點(diǎn)，所以CA=CB，故三角形ABC的形狀一定是等腰三角形，所以C正確；對(duì)于D，由同理可得，所以P為的垂心，故D正確.故選ACD.12．對(duì)于給定的，其外心為O，重心為G，垂心為H，內(nèi)心為Q，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．若三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)使【答案】AD【分析】直接利用三角形的內(nèi)心，外心，垂心，重心的相關(guān)關(guān)系，向量的線性運(yùn)算的應(yīng)用判斷A、B、C、D的結(jié)論．【詳解】解：對(duì)于A：給定的，其外心為，所以，故A正確；對(duì)于B：由于點(diǎn)為給定的的重心，故，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：點(diǎn)為給定的的垂心，所以，因?yàn)橹匦臑镚，則有，，所以，若，則點(diǎn)H為重心，與題意矛盾，因?yàn)楣蔆錯(cuò)誤；對(duì)于D：由于點(diǎn)在的平分線上，所以為單位向量，所以在的平分線上，所以存在實(shí)數(shù)使，故D正確．故選：AD．三、填空題13．_________．【答案】0【分析】利用指數(shù)和對(duì)數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】，，.故答案為：014．已知向量，，則向量在向量上的投影向量為_(kāi)_______（用坐標(biāo)表示）．【答案】【分析】先計(jì)算兩個(gè)向量的夾角的余弦值，再計(jì)算向量在向量上的投影向量.【詳解】因?yàn)?，，則，所以向量在向量上的投影向量為.故答案為：15．已知向量，，滿足，，，則的最大值是______________.【答案】【分析】設(shè)，，，根據(jù)已知條件可得，，整理可得，求得的范圍即可求解.【詳解】設(shè)，，，，，，則，，整理得：，所以，則，解得：，所以，故答案為：.四、雙空題16．已知曲線(且)過(guò)定點(diǎn)，若，且，，則的最小值為_(kāi)________，此時(shí)________.【答案】

【分析】由指數(shù)函數(shù)圖象所過(guò)定點(diǎn)求出，利用“1”的代換湊配出定值后用基本不等式得出最小值．【詳解】令，，則，∴定點(diǎn)為，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)取得最小值.故答案為：；【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.五、解答題17．已知集合或，.（1）若，求，（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】（1）由題意和交集、并集運(yùn)算求出，；（2）若，則集合為集合的子集，對(duì)集合討論即可得到答案.【詳解】（1）若，則，所以，或（2）若，則集合為集合的子集，當(dāng)時(shí)，即，解得；當(dāng)時(shí)，即，解得，又或，由，則或，解得或.綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查交集，并集的運(yùn)算，集合與集合的包含關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.18．已知，且．(1)確定角的象限并求，，的值；(2)求的值．【答案】（1）為第四象限角，，（2）【解析】(1)根據(jù)正余弦的正負(fù)分析象限,再根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)求解即可.(2)利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)后再代入數(shù)值計(jì)算即可.【詳解】(1)因?yàn)?可知角為第四象限角,.又(2)原式.【點(diǎn)睛】本題主要考查了誘導(dǎo)公式與同角三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值,屬于基礎(chǔ)題型.19．如圖，在一次定向越野中，一名學(xué)員離開(kāi)出發(fā)點(diǎn)S后沿南偏東60°方向走了15km到達(dá)A點(diǎn)，即第一個(gè)檢查點(diǎn)，從A點(diǎn)他又沿南偏西60°方向走了9km到第二個(gè)檢查點(diǎn)（B點(diǎn)）．從B，點(diǎn)他直接返回S點(diǎn)，試描述這名學(xué)員從B點(diǎn)到S點(diǎn)的位移（，）．【答案】這名學(xué)員從B點(diǎn)沿北偏西方向走了km到達(dá)點(diǎn).【分析】結(jié)合已知條件，利用余弦定理求出和，進(jìn)而求出和點(diǎn)在點(diǎn)北偏西的角度值.【詳解】由題意易知，，，，由余弦定理可知，，即，從而，故，由題意可知，點(diǎn)在點(diǎn)的東偏北處，不妨設(shè)點(diǎn)在點(diǎn)北偏西處，則，故這名學(xué)員從B點(diǎn)沿北偏西方向走了km到達(dá)點(diǎn).20．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別是a，b，c，且．(1)求角B的大??；(2)若，求△ABC的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理將邊化為角，利用三角恒等變換，即可求得答案；（2）利用余弦定理結(jié)合條件求出邊長(zhǎng)a，c，再利用三角形面積公式求得答案.【詳解】(1)∵,∴,即2sinAcosB+sin（B+C）＝0，即，,;(2)由b＝，a+c＝4，可得，即12＝16﹣2ac+ac，則ac＝4，又a+c＝4，∴a＝c＝2，則△ABC的面積．21．如圖所示，中，，，為的中點(diǎn)，為上的一點(diǎn)，且，的延長(zhǎng)線與的交點(diǎn)為.(1)用向量，表示；(2)用向量，表示，并求出和的值.【答案】(1)(2)，7，6【分析】（1）由已知得，，為的中點(diǎn)，可得答案；（2）設(shè)，得，設(shè)，可得，即，由，不共線和平面向量基本定理求得、，可得答案.【詳解】(1)根據(jù)題意因?yàn)椋?，所以，所以，為的中點(diǎn)，，，所以，.(2)因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，設(shè)，所以，即，，，三點(diǎn)共線，設(shè)，由（1）可知，即，，不共線，由平面向量基本定理，所以，所以，，所以，，則的值為7，的值為6.22．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在中，分別是角的對(duì)邊，，若為上一點(diǎn)，且滿足____________，求的面積.請(qǐng)從①；②為的中線，且；③為的角平分線，且.這三個(gè)條件中任意選一個(gè)補(bǔ)充到橫線處并作答.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）【答案】(1)，(2)答案見(jiàn)解析