環(huán)空內(nèi)流體非定常旋轉(zhuǎn)流動(dòng)的解析解

環(huán)空內(nèi)流體非定常旋轉(zhuǎn)流動(dòng)的解析解

在化工和石油工業(yè)中，環(huán)內(nèi)非牛頓流的流動(dòng)具有很強(qiáng)的應(yīng)用價(jià)值。韓方將符號(hào)算子與運(yùn)動(dòng)模型相結(jié)合，研究了上隨體maxwall流的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)文獻(xiàn)，并研究了兩相流的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。文獻(xiàn)研究了相位球之間的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)流動(dòng)。尹分析采用鮮度分析法研究了不規(guī)則流的旋轉(zhuǎn)。在這項(xiàng)工作中，我們研究了在旋轉(zhuǎn)圓柱形之間的環(huán)內(nèi)非牛頓流的非定常旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。1環(huán)空內(nèi)旋轉(zhuǎn)流動(dòng)速度場(chǎng)采用OldroydB流體模型的本構(gòu)方程.設(shè)流體是不可壓的.采用柱坐標(biāo)系統(tǒng)(r,θ,z).研究的速度場(chǎng)具有以下形式研究環(huán)空內(nèi)旋轉(zhuǎn)流動(dòng)情形如圖1所示設(shè)速度場(chǎng)以下運(yùn)動(dòng)方程可以化為以下形式對(duì)于速度場(chǎng)式(1),運(yùn)動(dòng)方程式(2)可以化為以下形式或應(yīng)用無量綱公式可以將(22)化為無量綱形式,有研究由一種定常流動(dòng)狀態(tài)向另一種定常流動(dòng)狀態(tài)的瞬變過程,這是一類特殊的非牛頓流體非定常流動(dòng).因此,相對(duì)運(yùn)動(dòng)的速度場(chǎng)可以表達(dá)為3新的變分原理采用改進(jìn)的Kantorovich變分方法,它區(qū)別于經(jīng)典的Kantorovich方法.該方法的實(shí)質(zhì)在于把定常流動(dòng)解答作為構(gòu)造非定常流動(dòng)解答的一部分.本改進(jìn)的Kantorovich方法的主要點(diǎn)可以歸納如下:在推導(dǎo)N級(jí)近似方程組時(shí)可以采用1至N-1級(jí)近似中已經(jīng)得到的解f1,f2,…,fN-1作為N級(jí)近似中的已知函數(shù),即在N級(jí)近似方程組簡(jiǎn)化為一個(gè)fN的二階常微分方程.采用以下形函數(shù)系列依時(shí)性方程(20)的普遍解答可以表達(dá)為在一般情形下,設(shè)一個(gè)偏微分方程可以用以下線性算子表示將采用改進(jìn)的Kantorovich方法,該方法的實(shí)質(zhì)在于把定常流動(dòng)解答作為構(gòu)造非定常流動(dòng)解答的基礎(chǔ).上述變分原理可以表達(dá)為根據(jù)上述變分原理,N級(jí)近似gk(τ),k=,1,2,gN(τ)將滿足以下積分方程.(1)一級(jí)近似(2)二級(jí)近似由于偏微分算子的線性性質(zhì),二級(jí)近似函數(shù)),(2yfτ滿足以下積分方程該方程對(duì)y完成由y=1到y(tǒng)=1/m的積分,可以得到以下二階常微分方程5u3000不同有效部位的速度分布本文采用改進(jìn)的Kantorvich變化法,研究了OldroydB流體在環(huán)空內(nèi)的旋轉(zhuǎn)流動(dòng).該問題歸結(jié)為一個(gè)高階微分方程的術(shù)解問題,應(yīng)用康氏變分法化為常微分方程的初邊值求解,并可根據(jù)精度要求的需要,可作N級(jí)近似計(jì)算結(jié)果由圖2和圖3表示.Y=1.4,Ha=2.4,Ka=0.4時(shí),無量綱速度與時(shí)間之間關(guān)系,圖3表示不同近似的無量速度隨時(shí)間趨向定常速度分布.研究結(jié)果與文獻(xiàn)結(jié)果一致,表明本文使用的變分解析法可以用于非定常流動(dòng)的求解.且該方法快捷穩(wěn)定等優(yōu)點(diǎn),可以推廣到更多領(lǐng)域.在以上條件下,OldroydB的流體本構(gòu)方程在柱坐標(biāo)中的表達(dá)式為對(duì)于速度場(chǎng)(1),對(duì)于rrS,zzS本構(gòu)方程可以化為下述形式由方程式(10)和式(11)得出將上述結(jié)果代入(6)和式(7)即得由方程(12),(13)將得到簡(jiǎn)單解答因此,在(1)條件下,只有rθS項(xiàng)的本構(gòu)方程不恒等于零,并將簡(jiǎn)化為以下形式對(duì)運(yùn)動(dòng)方程(16)求導(dǎo),可以得出以下方程將方程式(17)乘以λ1,并與方程(16)相加,將得到以下方程式將本構(gòu)方程(15)和以上方程式(18)聯(lián)立,可以得到速度分量v的三階偏微分方程引進(jìn)以下無量綱量方程(19)可以化為以下無量綱量形式2內(nèi)圓柱半徑和角速度的檢驗(yàn)一級(jí)近似設(shè)時(shí)間導(dǎo)數(shù)等于零,對(duì)于二圓柱之間的非牛頓流體定常旋轉(zhuǎn)流動(dòng),運(yùn)動(dòng)方程簡(jiǎn)化如下完成方程(21)的積分,得到定常旋轉(zhuǎn)流動(dòng)速度場(chǎng)如下邊界條件其中,R1和R2,ω1和ω2分別表示內(nèi)圓柱、外圓柱的半徑和角速度.由邊界條件可以確定常數(shù)C1和C20)0(,01τ==g,可以設(shè)11A=,方程式(29)的解答由下式給出在一級(jí)近似中,有顯然,一級(jí)近似解滿足以下恒等式所以,下述積分恒等于零因此,二級(jí)近似將簡(jiǎn)化為以下積分方程(3)三級(jí)近似由于偏微分算子的線性性質(zhì),三級(jí)近似函數(shù)),(3yfτ滿足以下積分方程(4)N級(jí)近似對(duì)于N級(jí)近似,由于偏微分算子的線性性質(zhì),函數(shù)yf),(τN滿足以下積分方程4級(jí)近似解的性質(zhì)應(yīng)用計(jì)算機(jī)智能解析方法,并采用Macsyma計(jì)算機(jī)符號(hào)處理軟件,可以得到方程(20)的各級(jí)近似的二階常微分方程及其解答.(1)一級(jí)近似在一級(jí)近似情形下,設(shè)解具有以下形式并在該方程對(duì)y完成由外邊界y=1到內(nèi)邊界y=1/m的積分,可以得到以下二階常微分方程因此,一級(jí)近似解可表達(dá)為采用以下初始條件(2)二級(jí)近似在二級(jí)近似情形下,設(shè)解