北師大版選擇性632離散型隨機變量的方差課件（17張）

3.2離散型隨機變量的方差第六章內(nèi)容索引0102自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)合作探究釋疑解惑自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)離散型隨機變量的方差1.離散型隨機變量X的方差、標準差(1)定義:若離散型隨機變量X的分布列如表:則(xi-EX)2描述了xi(i=1,2,…,n)相對于均值EX的偏離程度,而DX=E(X-EX)2=為這些偏離程度的加權(quán)平均,刻畫了隨機變量X與其均值EX的平均偏離程度.我們稱DX為隨機變量X的方差,其算術(shù)平方根

為隨機變量X的標準差,記作σX.Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn表6-3-9(2)意義:隨機變量的方差DX和標準差σX都反映了隨機變量的取值偏離于均值

的平均程度.方差(標準差)越小,則隨機變量偏離于均值的平均程度越小

;反之,方差(標準差)越大,則隨機變量的取值越

分散

.1.兩點分布的方差:若隨機變量X服從參數(shù)為p的兩點分布,則DX=p(1-p).2.若X為隨機變量,Y=aX+b(其中a,b為常數(shù)),則DY=D(aX+b)=a2DX.2.已知隨機變量ξ的分布列如下表:則ξ的均值為

,方差為

.

表6-3-10合作探究釋疑解惑探究一求離散型隨機變量的方差【例1】

袋中有20個大小、質(zhì)地相同的球,其中標記0的有10個,標記n的有n個(n=1,2,3,4).現(xiàn)從袋中任取一球,ξ表示所取球的標號.(1)求ξ的分布列、均值和方差;(2)若η=aξ+b,Eη=1,Dη=11,試求a,b的值.求離散型隨機變量的均值與方差的關(guān)注點

(1)寫出離散型隨機變量的分布列;(2)正確應(yīng)用均值與方差的公式進行計算.探究二離散型隨機變量方差的性質(zhì)【例2】

已知X的分布列如表:(1)求X2的分布列;(2)計算X的方差;(3)若Y=4X+3,求Y的均值和方差.表6-3-111.方差的計算需要一定的運算能力,公式的記憶不能出錯.2.在隨機變量X2的均值比較好計算的情況下,可以將公式DX=E(X-EX)2進行化簡,得到DX=E(X2)-(EX)2,運用此公式求方差不失為一種比較實用的方法.3.對于變量間存在線性關(guān)系的方差,在求解過程中應(yīng)注意方差性質(zhì)D(aX+b)=a2DX的應(yīng)用,這樣處理既避免了求隨機變量Y=aX+b的分布列,又避免了繁雜的計算,簡化了計算過程.探究三均值、方差在決策中的應(yīng)用【例3】

甲、乙兩名射手在一次射擊中的射中環(huán)數(shù)為兩個相互獨立的隨機變量ξ,η,已知甲、乙兩名射手在每次射擊中射中的環(huán)數(shù)大于6環(huán),且甲射中10,9,8,7環(huán)的概率分別為0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2.(1)求ξ,η的分布列;(2)求ξ,η的均值與方差,并以此比較甲、乙的射擊技術(shù).解:(1)由題意得,0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1.因為乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2,所以乙射中7環(huán)的概率為1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.所以ξ,η的分布列分別如表:ξ10987P0.50.30.10.1η10987P0.30.30.20.2(2)由(1)得,Eξ=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2;Eη=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7;Dξ=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96;Dη=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7