基于改進(jìn)蜂群算法的多目標(biāo)連續(xù)優(yōu)化問題研究

基于改進(jìn)蜂群算法的多目標(biāo)連續(xù)優(yōu)化問題研究

1算法在多目標(biāo)優(yōu)化問題中的應(yīng)用工程應(yīng)用和決策的許多問題可以概括為多目標(biāo)連續(xù)優(yōu)化。這些問題不是全局中唯一的解，而是理想的解決方案。近年來不少研究成果表明:智能優(yōu)化算法是解決多目標(biāo)連續(xù)優(yōu)化問題的有效手段,目前已有不少學(xué)者對(duì)一些典型的智能優(yōu)化算法進(jìn)行改進(jìn),以提高它們?cè)谇蠼膺B續(xù)多目標(biāo)優(yōu)化問題中的性能,如:文獻(xiàn)改進(jìn)了差分進(jìn)化算法的選擇策略,同時(shí)增加了反向?qū)W習(xí)機(jī)制以對(duì)初始種群中個(gè)體執(zhí)行搜索;文獻(xiàn)在多目標(biāo)遺傳算法的搜索過程中加入了混沌細(xì)化搜索方法對(duì)種群中前10%的個(gè)體執(zhí)行搜索;文獻(xiàn)在多目標(biāo)粒子群算法基礎(chǔ)上使用增廣Lagrange乘子法對(duì)非支配個(gè)體作局部搜索,并用混合多樣性策略對(duì)非支配個(gè)體集合進(jìn)行維護(hù)。人工蜂群算法是一種新興的智能優(yōu)化算法,在多目標(biāo)優(yōu)化領(lǐng)域已逐漸受到國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注,如:文獻(xiàn)改進(jìn)了人工蜂群算法的鄰域搜索策略,并將其應(yīng)用到多目標(biāo)服務(wù)組合優(yōu)化問題求解中;文獻(xiàn)對(duì)人工蜂群算法初始種群以及進(jìn)化策略進(jìn)行改進(jìn),并將其用于求解多目標(biāo)作業(yè)調(diào)度組合優(yōu)化問題;文獻(xiàn)提出一種基于向量估計(jì)的人工蜂群算法,并將其應(yīng)用到復(fù)合材料設(shè)計(jì)多目標(biāo)組合優(yōu)化問題求解中;文獻(xiàn)為人工蜂群算法引入交叉算子和外部檔案,并用其求解多目標(biāo)柔性作業(yè)調(diào)度組合優(yōu)化問題。從以上列舉的研究成果可以看出,為了在求解多目標(biāo)連續(xù)優(yōu)化問題時(shí)取得較好效果,文獻(xiàn)提出的改進(jìn)智能優(yōu)化法都在原算法基礎(chǔ)上增加了一定的個(gè)體搜索步驟,這必然會(huì)增加算法的實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度。另外,文獻(xiàn)[6,7]也主要是將人工蜂群算法應(yīng)用到了多目標(biāo)組合優(yōu)化問題中。為此,本文將人工蜂群算法應(yīng)用到多目標(biāo)連續(xù)優(yōu)化問題中,在不增加算法搜索步驟的基礎(chǔ)上提出改進(jìn)方案,以提高人工蜂群算法的求解性能。以下首先描述了多目標(biāo)優(yōu)化問題的相關(guān)概念,隨后根據(jù)人工蜂群算法原理給出其求解多目標(biāo)連續(xù)優(yōu)化問題的基本流程,然后分析了算法更新策略的不足,并重新設(shè)計(jì)了一種基于自適應(yīng)搜索算子和外部集合的更新策略,最后通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果說明本文提出的改進(jìn)人工蜂群算法在求解多目標(biāo)連續(xù)優(yōu)化問題中具有良好的收斂性和均勻性。2非支配個(gè)體的估計(jì)與組合優(yōu)化問題不同,多目標(biāo)連續(xù)優(yōu)化問題的解空間是一連續(xù)區(qū)域,具體描述如下:參考文獻(xiàn),對(duì)式(1)描述的最小值多目標(biāo)連續(xù)優(yōu)化問題有如下定義:定義1X1支配X2,記為。當(dāng)且僅當(dāng)fj(X1)≤fj(X2),j=1,2,…,m且fj(X1)<fj(X2),。定義2(非支配個(gè)體)如果個(gè)體Xi是種群W中的非支配個(gè)體,當(dāng)且僅當(dāng)。定義3(非支配個(gè)體集合)所有非支配個(gè)體的集合。定義4(pareto等級(jí))對(duì)于種群W中個(gè)體Xi,支配Xi的個(gè)體數(shù)量記為NPi。NPi值相同的個(gè)體視為同一pareto等級(jí),pareto等級(jí)按NPi值從小到大表示為1,2,3,…,NPi值為0的個(gè)體pareto等級(jí)記為1。定義5(擁擠距離)擁擠距離用來估計(jì)相同pareto等級(jí)中一個(gè)體周圍其它個(gè)體的密集程度。相同pareto等級(jí)的個(gè)體對(duì)每個(gè)目標(biāo)函數(shù),按該目標(biāo)函數(shù)值的大小進(jìn)行排序,然后對(duì)每個(gè)個(gè)體Xi,計(jì)算由個(gè)體Xi+1和Xi-1構(gòu)成的立方體的平均邊長,并記為Xi的擁擠距離。定義6(個(gè)體優(yōu)劣比較規(guī)則)規(guī)則由兩個(gè)方面構(gòu)成:(1)pareto等級(jí),pareto等級(jí)越低個(gè)體越優(yōu)秀。(2)擁擠距離,同一pareto等級(jí)下,擁擠距離越大個(gè)體越優(yōu)秀。多目標(biāo)優(yōu)化問題要同時(shí)使每個(gè)目標(biāo)達(dá)到最優(yōu)是不可能的,只能找到一組非支配個(gè)體達(dá)到或逼近問題的理想最優(yōu)集合。3更新策略及更新策略人工蜂群算法中個(gè)體進(jìn)化的主要?jiǎng)恿碜云涓虏呗?。以下針?duì)多目標(biāo)連續(xù)優(yōu)化問題,先按文獻(xiàn)中描述的人工蜂群算法原理給出算法的更新策略,再給出求解流程。3.1連續(xù)多目標(biāo)最優(yōu)估計(jì)結(jié)果令W={X1,X2,…,XQ}表示包含Q個(gè)個(gè)體的種群,搜索算子式(2)對(duì)個(gè)體Xi的鄰域進(jìn)行搜索產(chǎn)生一個(gè)新個(gè)體Xi′,然后根據(jù)貪婪選擇算子式(3)決定是否用Xi′更新Xi,并按式(4)記錄個(gè)體未更新次數(shù)triali。其中,xid表示個(gè)體Xi的第d維分量;xkd表示個(gè)體Xk的第d維分量;d,k均隨機(jī)選擇,且k≠i;R為[-1,1]間的隨機(jī)數(shù)。xid′表示新產(chǎn)生的第d維分量,其對(duì)應(yīng)的新個(gè)體記為Xi′。值得說明的是:按照人工蜂群算法原理,算法搜索到的新個(gè)體Xi′要能比原個(gè)體Xi更接近理論最優(yōu)時(shí)才執(zhí)行Xi=Xi′。對(duì)于單目標(biāo)最小值優(yōu)化問題只需要f(Xi′)<f(Xi)就能表示Xi′比Xi更接近理論最優(yōu)。而對(duì)于式(1)描述的連續(xù)多目標(biāo)問題,結(jié)合定義1可以看出:只有當(dāng)時(shí)才能說明個(gè)體Xi′比Xi更接近理想最優(yōu)集合。因此,式(3)中個(gè)體的更新條件設(shè)置為。3.2實(shí)驗(yàn)4:個(gè)體優(yōu)化檢測(cè)算法第二步算法對(duì)種群W中的每個(gè)個(gè)體執(zhí)行更新策略(即式(2)-式(4))。第三步算法選擇種群W中優(yōu)秀個(gè)體執(zhí)行更新策略。具體地:算法對(duì)種群中的個(gè)體按定義6規(guī)則進(jìn)行個(gè)體優(yōu)劣排序,然后采用輪盤賭方式執(zhí)行Q次選擇,每次選出一個(gè)較優(yōu)秀的個(gè)體執(zhí)行式(2)-式(4)。第四步個(gè)體淘汰。算法淘汰多次未被更新的個(gè)體:根據(jù)條件MAX(triali)>limit選擇個(gè)體Xi,隨機(jī)產(chǎn)生新個(gè)體代替Xi(limit為指定的閾值)。第五步轉(zhuǎn)回第二步,直到算法達(dá)到指定的最大迭代次數(shù)后輸出非支配個(gè)體集合。4算法的分析和改進(jìn)4.1更新算法的戰(zhàn)略分析(1)添加id并進(jìn)行迭代為產(chǎn)生新個(gè)體,式(2)對(duì)個(gè)體Xi的第j維分量xid執(zhí)行鄰域搜索得到xid′。式(2)的搜索范圍是以xid為原點(diǎn)、R×(xik-xkd)為步長的連續(xù)區(qū)域,而R、k、j均為隨機(jī)數(shù),說明Xk可以是種群中的任意個(gè)體,其一維分量xkd可以對(duì)應(yīng)解空間Ω中的任意位置,因此,算法每次迭代通過式(2)產(chǎn)生新個(gè)體都要對(duì)整個(gè)解空間Ω進(jìn)行無規(guī)律搜索。文獻(xiàn)指出,無規(guī)律的隨機(jī)搜索算子會(huì)使算法的進(jìn)化過程存在盲目性,可能導(dǎo)致算法出現(xiàn)退化。(2)新個(gè)體x、b和x的增加貪婪選擇算子(式(3))依據(jù)Xi′能否支配Xi來決定是否保留Xi′,這樣的機(jī)制不能準(zhǔn)確反映個(gè)體X′的優(yōu)劣程度,如圖1所示。圖1中X′、A′和B′分別為個(gè)體X、A和B通過式(2)產(chǎn)生的新個(gè)體,結(jié)合圖1和定義1可知:,而B′與B、X′與X互不支配。按照貪婪選擇算子(式(3))的規(guī)則,個(gè)體X、B和A′會(huì)被保留。而圖1中個(gè)體B′和X′的pareto等級(jí)均小于A′,據(jù)定義6可知:個(gè)體X′和B′都比A′優(yōu)秀,丟棄X′和B′顯然未能準(zhǔn)確反映個(gè)體在種群中的優(yōu)劣程度,會(huì)導(dǎo)致優(yōu)秀個(gè)體被丟棄,種群中優(yōu)秀個(gè)體的數(shù)量減少。4.2改進(jìn)后的更新策略針對(duì)前文分析,本文重新設(shè)計(jì)個(gè)體更新策略為:自適應(yīng)搜索算子產(chǎn)生新個(gè)體、外部集合記錄新個(gè)體和重新構(gòu)造種群3個(gè)部分,具體描述如下。4.2.1自適應(yīng)搜索算子個(gè)體的適應(yīng)度值反映了個(gè)體的質(zhì)量,為使算法搜索時(shí)能根據(jù)個(gè)體在每個(gè)目標(biāo)上的適應(yīng)度值(即個(gè)體質(zhì)量)自適應(yīng)調(diào)整搜索范圍,避免盲目搜索,本文定義個(gè)體適應(yīng)度調(diào)節(jié)項(xiàng)T,如式(5),并設(shè)計(jì)了自適應(yīng)搜索算子,如式(6):式中,m表示目標(biāo)個(gè)數(shù),fjmin和fjmax分別表示當(dāng)前種群中個(gè)體對(duì)應(yīng)的第j個(gè)目標(biāo)的最優(yōu)、最差適應(yīng)度值;fj(Xi)表示個(gè)體Xi對(duì)應(yīng)第j個(gè)目標(biāo)的適應(yīng)度值。式中,R為[-1,1]內(nèi)的隨機(jī)數(shù);用于引導(dǎo)搜索方向,ωj為隨機(jī)權(quán)重,j表示多目標(biāo)問題的第j個(gè)目標(biāo),進(jìn)化過程中每次迭代都需要隨機(jī)產(chǎn)生一次ωj;xdj表示邊界個(gè)體Xj的第d維分量;邊界個(gè)體Xj如圖2所示,表示當(dāng)前迭代的種群中第j個(gè)目標(biāo)適應(yīng)度值最優(yōu)的個(gè)體,即對(duì)于第j個(gè)目標(biāo),。4.2.2外部集合w記錄更新個(gè)體式(6)通過更新個(gè)體Xi的一維分量產(chǎn)生新個(gè)體Xi′,為了能有效保留優(yōu)秀個(gè)體,本文用外部集合W′記錄通過式(6)產(chǎn)生的新個(gè)體Xi′,如式(7):4.2.3pareto分級(jí)在算法一次迭代中所有個(gè)體更新操作(式(6))執(zhí)行完后,算法按定義4對(duì)W∪W′中個(gè)體進(jìn)行pareto分級(jí),根據(jù)定義5對(duì)相同pareto等級(jí)的個(gè)體進(jìn)行擁擠距離排序。然后按照pareto等級(jí)從小到大(如遇到相同pareto等級(jí)的個(gè)體則按擁擠距離從大到小取)的規(guī)則取出Q個(gè)個(gè)體更新種群W。重新構(gòu)造種群W后,本文采用式(8)計(jì)算個(gè)體未更新次數(shù):4.3基于改進(jìn)的更新策略改進(jìn)后的人工蜂群算法流程如下:步驟1算法初始化。隨機(jī)產(chǎn)生Q個(gè)個(gè)體構(gòu)成種群W,每個(gè)個(gè)體Xi=(xi1,xi2,…,xiD)T是一個(gè)D維向量;指定算法結(jié)束條件(最大迭代次數(shù))。步驟2對(duì)W中每一個(gè)體執(zhí)行更新并記錄新個(gè)體。對(duì)于個(gè)體Xi隨機(jī)選擇其一維分量xij利用式(6)進(jìn)行搜索,產(chǎn)生新個(gè)體Xi′,并將Xi′由式(7)記錄進(jìn)外部集合W′。步驟3選擇W中較優(yōu)秀的個(gè)體執(zhí)行更新并記錄新個(gè)體。采用輪盤賭方式執(zhí)行Q次選擇,由定義6的規(guī)則每次選出一個(gè)pareto等級(jí)較低、擁擠距離較大的優(yōu)秀個(gè)體執(zhí)行式(6),產(chǎn)生的新個(gè)體由式(7)記錄進(jìn)外部集合W′。步驟4按4.2.3節(jié)描述的策略重新構(gòu)造種群W,并按式(8)記錄下個(gè)體未被更新次數(shù)triali。步驟5淘汰W中多次未被更新的個(gè)體。選擇triali值最大的且pareto等級(jí)大于1的個(gè)體Xi,隨機(jī)產(chǎn)生新個(gè)體代替Xi。步驟6判斷是否達(dá)到算法結(jié)束條件,若達(dá)到,輸出非支配個(gè)體集合(即pareto=1的個(gè)體集合),否則轉(zhuǎn)到步驟2。值得說明的是:為配合改進(jìn)后的更新策略,步驟5調(diào)整了個(gè)體淘汰機(jī)制,不再需要與閾值比較,直接選擇pareto等級(jí)不為1的最久未被更新的個(gè)體做更新。這樣不但減少了算法參數(shù),而且讓算法在選擇被淘汰個(gè)體時(shí)避開了pareto等級(jí)為1的個(gè)體,防止優(yōu)秀個(gè)體被淘汰。4.4關(guān)于改進(jìn)計(jì)劃的討論(1)改進(jìn)算法的一般描述對(duì)于最小值優(yōu)化問題,種群中適應(yīng)度值大的個(gè)體距離理想最優(yōu)個(gè)體集合較遠(yuǎn),應(yīng)執(zhí)行大范圍鄰域搜索,可使其加速靠近理想最優(yōu)。相反,適應(yīng)度值小的個(gè)體距離理想最優(yōu)個(gè)體集合較近,需要執(zhí)行小范圍鄰域搜索,這樣有利于發(fā)掘和保護(hù)優(yōu)秀個(gè)體。式(6)的搜索范圍能隨個(gè)體Xi的適應(yīng)度值fj(Xi)(即個(gè)體質(zhì)量)作自適應(yīng)調(diào)整,分析如下。為了描述方便,令,式(6)可簡化為:因式(9)是對(duì)個(gè)體的一維分量進(jìn)行操作,且R是[-1,1]的隨機(jī)數(shù),所以式(9)的搜索范圍是[-T×B,T×B],如圖3所示。從圖3不難看出,搜索算子對(duì)個(gè)體Xi的搜索范圍與B、T有關(guān)。其中,據(jù)式(6)和改進(jìn)算法流程步驟2、3的描述可知ωjxdj在一次算法迭代中是不變的,故式(9)在算法一次迭代中針對(duì)個(gè)體Xi的一維分量xid,B可看作固定值。以下就T作討論。設(shè)式(5)中m=2,因本文討論的是連續(xù)函數(shù)優(yōu)化問題,故式(5)表示成如下連續(xù)函數(shù):對(duì)式(10)求偏導(dǎo)數(shù)得:顯然式(11)中導(dǎo)數(shù)的結(jié)果都大于0,故式(10)是關(guān)于個(gè)體適應(yīng)度值的單調(diào)遞增函數(shù),用同樣的方法可以說明當(dāng)m>2時(shí)上述結(jié)論仍然成立。故可得:fj(Xi)減小,T相應(yīng)變小,圖3中的搜索范圍隨之縮小;相反fj(Xi)增大,圖3中的搜索范圍會(huì)隨之變大。即可說明式(6)的搜索范圍能隨個(gè)體Xi的適應(yīng)度值fj(Xi)(個(gè)體質(zhì)量)作自適應(yīng)調(diào)整,從而能有效避免盲目搜索。(2)優(yōu)良性比較的順序改進(jìn)后策略將新產(chǎn)生的個(gè)體記錄在集合W′中,再把W′和當(dāng)前種群合并(W∪W′),保留優(yōu)秀個(gè)體。針對(duì)圖1描述的情況,{X′,B′,A′,X,B,A}∈W∪W′。按照4.2.3節(jié)中描述的規(guī)則重構(gòu)種群時(shí),改進(jìn)前被淘汰的個(gè)體X′和B′需要和W∪W′中個(gè)體進(jìn)行優(yōu)劣比較后才能決定其是否保留,并且根據(jù)圖1和定義6優(yōu)劣比較規(guī)則可知X′和B′要優(yōu)于A′,因此它們被保留的優(yōu)先順序是:X′、B′、A′。從以上分析可以看出,改進(jìn)后的更新策略能準(zhǔn)確反映個(gè)體在種群中的優(yōu)劣程度,有效保留優(yōu)秀個(gè)體。值得說明的是:該機(jī)制引入外部集合W′會(huì)增加算法運(yùn)行所需的存儲(chǔ)空間,但目前常規(guī)的計(jì)算機(jī)內(nèi)存配置都在1G以上,故此處增加的存儲(chǔ)空間對(duì)計(jì)算性能的影響可以忽略。4.5基于改進(jìn)前后算法的一次迭代更新策略與基本人工蜂群算法相比,本文提出的改進(jìn)方案修改了更新策略,以下對(duì)改進(jìn)前后更新策略的計(jì)算量作分析。設(shè)一次加法(或減法)的計(jì)算量為C1,一次乘法(或除法)的計(jì)算量為C2,求解問題的目標(biāo)個(gè)數(shù)為m。改進(jìn)前后個(gè)體更新策略的計(jì)算量分析如下:(1)改進(jìn)前個(gè)體更新策略執(zhí)行式(2)時(shí)要做2次加法、1次乘法;執(zhí)行式(4)時(shí)最壞可能要執(zhí)行1次加法。而式(2)、式(4)在改進(jìn)前算法的一次迭代中會(huì)被重復(fù)執(zhí)行2次,因此改進(jìn)前算法一次迭代中更新策略的最大計(jì)算量為:(2)改進(jìn)后個(gè)體更新策略執(zhí)行式(5)時(shí)要做3m-1次加法、m次乘法;執(zhí)行式(6)時(shí)要做m+1次加法、m+2次乘法;執(zhí)行式(8)時(shí)最壞可能要執(zhí)行1次加法。根據(jù)改進(jìn)后算法流程,式(5)、式(6)會(huì)在步驟2和步驟3被執(zhí)行,式(8)會(huì)在步驟4被執(zhí)行。因此改進(jìn)后算法一次迭代中更新策略的最大計(jì)算量為:因此,本文改進(jìn)方案在算法一次迭代中更新策略增加的計(jì)算量為:(8m-5)×C1+(4m+2)×C2。另外,除以上增加的計(jì)算量外,在4.2.3節(jié)重構(gòu)種群的操作也會(huì)導(dǎo)致算法計(jì)算量有一定增加。增加的計(jì)算量對(duì)求解效率的影響在下文實(shí)驗(yàn)中作相應(yīng)討論。5數(shù)值實(shí)驗(yàn)5.1實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)本文實(shí)驗(yàn)選擇如下6個(gè)具有代表性的多目標(biāo)連續(xù)優(yōu)化問題進(jìn)行測(cè)試。(1)SCH(2)FON(3)zdt1(4)zdt2(5)實(shí)驗(yàn)2:改進(jìn)算法實(shí)驗(yàn)在CPU2.6G、內(nèi)存2G的計(jì)算機(jī)上進(jìn)行。實(shí)驗(yàn)采用文獻(xiàn)中的收斂指標(biāo)γ、多樣性指標(biāo)Δ來評(píng)價(jià)算法結(jié)果接近理想最優(yōu)集合的程度和均勻分布程度。以下將本文改進(jìn)算法記為IMABC,第3節(jié)中描述的基本人工蜂群算法記為MABC。實(shí)驗(yàn)從如下4個(gè)方面進(jìn)行:(1)測(cè)試算法參數(shù)對(duì)IMABC性能的影響。(2)測(cè)試問題在不同維數(shù)下,對(duì)比IMABC、MABC以及經(jīng)典算法NSGA2的性能。(3)比較IMABC與MABC達(dá)到規(guī)定的指標(biāo)精度需要的迭代次數(shù)、運(yùn)行時(shí)間和求得的非支配個(gè)體數(shù)量,評(píng)估改進(jìn)算法增加的計(jì)算量對(duì)求解效率的影響。(4)IMABC與文獻(xiàn)報(bào)道的優(yōu)秀算法性能對(duì)比。5.2不同進(jìn)化天數(shù)下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果從4.3節(jié)中改進(jìn)算法流程看出IMABC的參數(shù)有進(jìn)化代數(shù)G和種群中個(gè)體數(shù)Q,故IMABC需要討論的參數(shù)為G和Q。測(cè)試函數(shù)中:SCH維數(shù)D=1,FON維數(shù)D=3,ZDT1、ZDT2、ZDT3維數(shù)D=30,ZDT6維數(shù)D=10。表1列出了Q=200時(shí)不同進(jìn)化代數(shù)下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果,表2列出了G=400時(shí)不同種群中個(gè)體數(shù)對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。表1、表2中數(shù)據(jù)為算法獨(dú)立運(yùn)行10次的平均結(jié)果,括號(hào)外的數(shù)據(jù)表示收斂性指標(biāo)γ,括號(hào)內(nèi)的數(shù)據(jù)表示多樣性指標(biāo)Δ。從表1可以看出:IMABC在不同進(jìn)化代數(shù)下得到的兩個(gè)指標(biāo)都在同一數(shù)量級(jí)。從表2可以看出:除ZDT3問題Q=400的結(jié)果外,IMABC在種群個(gè)數(shù)變化時(shí)得到的結(jié)果也處于同一數(shù)量級(jí)。以上數(shù)據(jù)說明:進(jìn)化代數(shù)(從400代開始)和種群個(gè)體數(shù)(從100個(gè)開始)增長不會(huì)對(duì)IMABC的性能造成明顯影響。5.3算法測(cè)試結(jié)果對(duì)比實(shí)驗(yàn)在測(cè)試問題不同維數(shù)的情況下,將IMABC與MABC、經(jīng)典算法NSGA2作性能對(duì)比。IMABC的參數(shù)設(shè)置為:進(jìn)化代數(shù)G=400,種群個(gè)體數(shù)Q=200;MABC的G、Q同IMABC,閾值limit參考文獻(xiàn)設(shè)置為Q*D;NSGA2的G、Q同IMABC,其余參數(shù)設(shè)置參考文獻(xiàn)。表3中數(shù)據(jù)為算法獨(dú)立運(yùn)行10次的平均結(jié)果,圖4-圖9為3種算法針對(duì)相同維數(shù)下的測(cè)試問題得到的非支配個(gè)體集合效果對(duì)比。值得說明的是:測(cè)試問題SCH和FON本身限定了維數(shù)分別是1和3,故實(shí)驗(yàn)對(duì)SCH和FON問題只做了一種維數(shù)的對(duì)比。從表3中數(shù)據(jù)可以看出,除SCH問題外,IMABC的γ指標(biāo)及方差都比另外兩種算法領(lǐng)先1個(gè)數(shù)量級(jí)以上,IMABC的Δ指標(biāo)及方差比NSGA2和MABC領(lǐng)先或處于相同數(shù)量級(jí)。從圖5-圖9可以發(fā)現(xiàn),IMABC求得的非支配個(gè)體集合相比另外兩種算法更接近各個(gè)目標(biāo)的理論最優(yōu),且分布均勻,尤其是ZDT1、ZDT2、ZDT3和ZDT6問題,IMABC的優(yōu)勢(shì)更加明顯。綜合比較3種算法,IMABC性能處于領(lǐng)先;并且隨問題的維數(shù)變大,求解復(fù)雜度增加,IMABC的各項(xiàng)指標(biāo)仍能領(lǐng)先于MABC與NSGA2,并且性能穩(wěn)定(方差值最小)。5.4算法的運(yùn)行結(jié)果為了評(píng)估IMABC增加的計(jì)算量對(duì)算法效率的影響,實(shí)驗(yàn)選擇了5.1節(jié)中4個(gè)ZDT測(cè)試問題,在限定指標(biāo)精度下對(duì)比改進(jìn)前后算法(IMABC與MABC)的進(jìn)化代數(shù)、運(yùn)行時(shí)間以及求得的非支配個(gè)體數(shù)。實(shí)驗(yàn)指定測(cè)試問題的指標(biāo)精度為γ=0.09、Δ=0.9。其中,ZDT1、ZDT2、ZDT3取30維,ZDT6取10維,算法設(shè)置種群個(gè)體數(shù)為200,最大進(jìn)化代數(shù)為500,如果500代進(jìn)化算法都沒有達(dá)到指定精度,就結(jié)束程序。另外,MABC的閾值limit參考文獻(xiàn)設(shè)置為Q*D。表4中數(shù)據(jù)為算法獨(dú)立運(yùn)行10次的平均結(jié)果,括號(hào)外的數(shù)據(jù)表示算法IMABC結(jié)果,括號(hào)內(nèi)的數(shù)據(jù)表示算法MABC結(jié)果。從表4可以看出,IMABC僅需要較少進(jìn)化代數(shù)就能達(dá)到規(guī)定的指標(biāo)精度,并且得到的非支配個(gè)體數(shù)和運(yùn)行時(shí)間都優(yōu)于MABC。尤其是對(duì)ZDT6問題,IMABC不僅進(jìn)化代數(shù)在100代以內(nèi),