2021年全國高考數(shù)學(xué)演練試卷（文科）（一）附答案解析

2021年全國高考數(shù)學(xué)演練試卷（文科）（一）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=22-1在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.已知集合/={0,1,2,3,4,5},8=卜|工2一7%+10<0},則4。8的子集可以是（）

A.{3,4,5}B.{4,5}C.{3,5}D.{4}

3.魏晉時期，數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù)，他在仇章算術(shù)注J）方田章圓田術(shù)中指出：“割之彌細(xì)，

所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣這是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化

過程，比如在正數(shù)出:中的“…”代表無限次重復(fù)，設(shè)％=島，則可利用方程x=?求得X,

類似地可得正數(shù)J5J5后二:等于（）

A.3B.5C.7D.9

4.設(shè)無窮等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為無，若一的<。2<的，則（）

A.{Sn}為遞減數(shù)列B.卜工為遞增數(shù)列

C.數(shù)列{S"}有最大項(xiàng)D.數(shù)列{S"}有最小項(xiàng)

5.asin2a—y/3cos2a=1"是"a=:"的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

x—y+2>0

6.若變量x,y滿足約束條件久+y-4=0,且z=4x+8y的最大值為（）

,x—3y+3<0

A.21B.23C.28D.31

7.已知函數(shù)f①的定義域?yàn)镽，若存在常數(shù)加>0,對任意reR,有If（切4MI4則稱/（?

x

為F函數(shù),給出下列函數(shù)：①，（力=/；@/M=sinx+cosr：③/（力”.”；④

/①是定義在R上的奇函數(shù),且滿足對-切實(shí)數(shù)4衛(wèi)均有|/（看）-/（功91%-再I-其中

是尸函數(shù)的序號為

A.②④B.①③C.③④D.①②

8.在AABC中，已知tan&^=sinC,給出以下四個論斷：

(l)tanAcotB—1；

(2)1<sinA+sinB<V2

(3)sin2^+cos2B=1；

(4)cos2i4+COS2B=sin2C；

其中正確論斷的個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

9.已知函數(shù)f(x)=N-3%,若過點(diǎn)4(0,16)的直線方程為y=ax+16,與曲線y=/(x)相切，則

實(shí)數(shù)a的值是()

A.-3B.3C.6D.9

io.函數(shù)解=K署外寓笈樸翔在實(shí)數(shù)集上是增函數(shù)，則

A.Si；；：!1——B.轟y——C.愚:>顧D.8電0

誓當(dāng)

11.若雙曲線C：mx2+y2=1的離心率為2k(k>0),其中k為雙曲線C的一條漸近線的斜率，則m的

值為()

A.--pC.一3

12.已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,滿足2Sn=4an+m,且數(shù)列｛nan｝的前6項(xiàng)和等于321,則ni的值

等于()

A.-1B.-2

二、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.如圖，正三角形力BC邊長為2,。是線段BC上一點(diǎn)，過C點(diǎn)作直線4。的垂

線，交線段4。的延長線于點(diǎn)E,則|/1D|?|DE|的最大值為.

14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線ax+y-2=0與圓心為C的圓(x-I)2+(y-a)2=?相交于

A,B兩點(diǎn)，且△ABC為正三角形，則實(shí)數(shù)a的值是.

15.已知側(cè)棱長為8的正三棱錐S-4BC如圖所示，其側(cè)面是頂角為20。的等腰/

三角形，一只螞蟻從點(diǎn)4出發(fā)，圍繞棱錐側(cè)面爬行兩周后又回到點(diǎn)4則/\

螞蟻爬行的最短路程為...入

16.給出以下四個命題:

①“若a/<bm2,則a<b”的逆命題；

②“全等三角形的面積相等”的否命題；

③“若qW-1,則/+x+q=0有實(shí)根”的逆否命題；

④若函數(shù)/'(%)=a%2+2%-1只有一個零點(diǎn)，則a=-1.

其中真命題是.(寫出所有真命題的序號)

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分)

17.在△ABC中，a,b,c分別是角4B,C所對的邊，且a=[c+bcosC.

(/)求角B的大小

(II)若S&ABC=也，b=屈，求a+c的值.

18.某媒體對“男女同齡退休”這一公眾關(guān)注的問題進(jìn)行了民意調(diào)查，右表是在某單位得到的數(shù)據(jù)(

人數(shù))：

贊同反對合計(jì)

男5611

女11314

合計(jì)16925

(1)能否有90%以上的把握認(rèn)為對這一問題的看法與性別有關(guān)？

(2)進(jìn)一步調(diào)查：(i)從贊同“男女同齡退休”16人中選出3人進(jìn)行陳述發(fā)言，求事件“男士和

女士各至少有1人發(fā)言”的概率；

(ii)從反對“男女同齡退休”的9人中選出3人進(jìn)行座談，設(shè)參加調(diào)查的女士人數(shù)為X,求X的分

布列和期望.

附表：

P(K2>K)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

?2=n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

19.如圖，四棱柱力BCD-aBiGDi中，側(cè)棱4遇L)^ABCD,AB//DC,

ABLAD,AD=CD=1,AA^=AB=2,E為棱的中點(diǎn)

(I)證明：BC_L平面CGE；

(II)求二面角E-B[C-Q的正弦值.

20.已知函數(shù)/(x)=ax-Inx.

(I)討論/Q)的單調(diào)性；

(H)若a6(-8,—*],求證：/(x)>2ax-xeax-1.

21.設(shè)橢圓C：接+《=19>6>0)的兩個焦點(diǎn)為&,尸2,點(diǎn)8i為其短軸的一個端點(diǎn)，滿足|瓦瓦+

瓦玲=2|瓦可|+|瓦西|=2,瓦冗?瓦瓦=-2.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點(diǎn)M(l,0)作兩條互相垂直的直線%,12,設(shè)%與橢圓交于點(diǎn)4,B,與橢圓交于C,D,求前?西

的最小值.

22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線2的極坐標(biāo)方程

為0=g(peR),曲線C的參數(shù)方程為優(yōu)二:鬻(。為參數(shù)).

q—sinc7

(1)寫出直線2與曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(2)過點(diǎn)M平行于直線I的直線與曲線C交于4、B兩點(diǎn)，若|M*“MB|=3,求點(diǎn)M軌跡的直角坐標(biāo)方

程.

23./(%)-Inx-ax有最大值，且最大值大于0.

(I)求a的取值范圍；

xx

(口)當(dāng)a=1時，f(x)有兩個零點(diǎn)％1、x2(i＜2)＞證明＜30.(參考數(shù)據(jù)：仇0.9々一0.1)

參考答案及解析

1.答案：B

解析：解：復(fù)數(shù)z=2i-l在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)(-1,2)在第二象限，

故選:B.

利用復(fù)數(shù)的幾何意義即可得出.

本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.答案：D

解析：解：由小-7刀+10<0,得2<X<5,

:,B={x\x2—7x+10<0}={x\2<x<5},

又4={0,1,234,5},

■■AC\B={3,4},

則力ClB的子集可以是{4}.

故選：D.

求解一元二次不等式化簡集合B,然后利用交集運(yùn)算求得ACB,則答案可求.

本題考查交集及其運(yùn)算，考查了一元二次不等式的解法，是基礎(chǔ)題.

3.答案：B

解析：解：設(shè)=X,則％=悔^，解得：％=5或0(舍去).

故選：B.

設(shè)15而沅W=x可解決此題?

本題考查方程思想，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.答案：D

解析：解：由一％<<%可得%>0,

所以q=?<l,

al

因?yàn)榈胵=荒>一1，

所以一1<q<1,

因?yàn)镾”=專羅，

當(dāng)0<q<l時，{Sn}遞增，當(dāng)一l<q<0時，{Sn}遞減，48錯誤；

當(dāng)0<q<l時，S"最小項(xiàng)Si，沒有最大項(xiàng)，

當(dāng)-l<q<0時，%>0,a2<0,a3>0,CI4<0且<13+>。，Sn最小項(xiàng)S2,沒有最大項(xiàng)，C錯

誤，D正確.

故選：D.

由已知分析等比數(shù)列的公比范圍，然后結(jié)合求和公式分析｛S"的單調(diào)性，結(jié)合選項(xiàng)可求.

本題主要考查了等比數(shù)列的單調(diào)性的判斷，通項(xiàng)公式及求和公式，屬于中檔題.

5.答案：B

解析：

本題考查了三角函數(shù)求值、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

通過sin2a—Wcos2a=1,化為sin(2a—與)=；,可得2a—g=2卜"+?或2/OT+兀一￡keZ.即可

32Soo

判斷出.

解:sin2a—\p3cos2a=1?化為sin(2a—g)=g,

???2a-?=2kn+/或2/CTT4-zr-7,kEZ.

366

當(dāng)k=0時，可得a=?或得.

??."sin2a-陋cos2a=1”是“a=會必要不充分條件，

故選：B.

6.答案：C

X—y+2N0

解析：解：由約束條件x+y-4<0作出可行域如圖，

,x—3y+340

化目標(biāo)函數(shù)z=4%+8y為y=

2o

由圖可知，當(dāng)直線y=x+?過C時，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為4x1+3x8=28.

ZO

故選：C.

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得

最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案.

本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題.

7.答案：C

解析：本題是一個新定義的題目，故依照定義的所給的規(guī)則對所四個函數(shù)進(jìn)行逐一驗(yàn)證，選出正確

的即可.

對于①，|/(x)|<m\x\,顯然不成立，故其不是廣函數(shù)；

對于②，/(x)=sinx+cosx,由于x=0時，不成立，故不是F函數(shù)；

對于③，/(X)=-y-..........I癡|=<坐1，故對任意的m>￡，都有(x)|<m|%|，

x*+x+1x+x+l3號

故其是F函數(shù)；

對于④，/(%)是定義在R上的奇函數(shù),且滿足對一切實(shí)數(shù)石,%2均有1/(%1)—/(#2)142%—為21，

令%1=X,無2=0，由奇函數(shù)的性質(zhì)知，/(0)=0,故有，(x)|<2田.顯然是F函數(shù)

故選Co

8.答案：B

.A+B

解析：解：(1)由tanW^=sinC,得"扁=sin(A+B)=2s譏W^cos

2COS—22

ui-f.A+Br.A+B24+8

即sin----=2sm-----cos'——.

222

所以整理求得cos(4+B)=0

???4+8=90°.tanA-cotB=tanA-不一定等于1,所以(1)不正確.

(2)sinA4-sinB=sinA+cosA=痘sin(4+45°)

V45°<4+45°<135°,y<sin(A+450)<1,

??.1<sinA+sinB<五,所以(2)正確.

(3)sin2A+COS2B=sin2/4+sir^Z=2sin2A=1不一定成立，故(3)不正確.

(4)cos2A4-cos2B=cos2?!+siM/=1,sin2c=sin290°=1,所以cos?/+cos2B=sin2c.所以(4)

正確.

綜上知(2)(4)正確.

故選：B.

利用三角函數(shù)的相應(yīng)公式分別進(jìn)行化簡證明，即可判斷出答案.

本題主要考查三角函數(shù)的化簡與求值，考查學(xué)生的運(yùn)算能力.

9.答案：D

解析：

設(shè)切點(diǎn)，求導(dǎo)函數(shù)可得切線方程，將4坐標(biāo)代入，求得切線方程，從而可求實(shí)數(shù)a的值.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，正確確定切線方程是關(guān)鍵.

解：設(shè)切點(diǎn)為P(3,瑞一3q)

v/(x)=X3—3%,???/'(x)=3x2—3,

3

???/(%)=x-3x在點(diǎn)就-3通)處的切線方程為y-XQ+3x0=(3詔-3)(尤-x0),

把點(diǎn)4(0,16)代入,得16一端+3%0=(3瑤-3)(0-殉),

解得X。=-2.

.??過點(diǎn)4(0,16)的切線方程為y=9x+16,

Aa=9.

故選D

10.答案：A

解析：試題分析：由一次函數(shù)的單調(diào)性取決于x的系數(shù)符號知，2k+l>0,海—2

獸

考點(diǎn)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性

點(diǎn)評：掌握常見基本函數(shù)的單調(diào)性是解決此類問題的關(guān)鍵

11.答案：C

解析：解：雙曲線C：7n/+y2=1可化為y2一衛(wèi)=1,

m

：?Q=1,b=/——?C=1——9

77n7m

??,雙曲線C：皿/+、2=1的離心率為2似4>0),其中k為雙曲線C的一條漸近線的斜率,

故選：C.

y.2

雙曲線C:g2+y2=1可化為y2一衛(wèi)=1,利用雙曲線c：+y2=1的離心率為2k(k>0),

m

其中k為雙曲線C的一條漸近線的斜率，建立方程，即可求出m的值.

本題給出一個含有字母參數(shù)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，在已知其離心率的情況下求參數(shù)的值，著重考查

了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

12.答案：B

解析：解：依題意得：當(dāng)n=l時，有2si=4%+小，解得：的=-最

當(dāng)n>2時，由25在=4an+znn2S"_i=4斯-1+小，

兩式相減可得：20n=4an-40n_i，

即：an=2an_1；

n-1n2n2

故a”=%?2=-m-2-,nan=—mn-2~,

故數(shù)列也斯｝的前6項(xiàng)和為一：(1X21+2x22+3x23+…+6x26).

令X=1x2】+2x22+3x23+…+6x26?.則2X=1x22+2x23+-+6x27@,

由①-②可得：-X=21+22+23+…+26-6X27=-6x27=-5x27-2,

則X=642,

321=--X642=,

42

解得：m=-2.

故選：B.

先由題設(shè)條件得到：即=2M-「再由的=-三求得an，進(jìn)而求得幾品，再由其前6項(xiàng)和等于321求

得m的值.

本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及前n項(xiàng)和的求法，屬于基礎(chǔ)題.

13.答案：；

4

解析：解：因?yàn)锳aBC是正三角形，所以正?前=2x2cos60。=2,

又因?yàn)?0ICE,所以而?謂=0,

不妨設(shè)前=2BC(O<A<1),則配=(1-2)fit=(1-4)(而-AB)，

所以方?屁=近?(反+方)=而?比+而?3=而?比,

又因?yàn)榻?AB+~BD=AB+ABC=AB+A(AC-AB)=-A')AB+AAC<

所以而?屁=[(1-^AB+AAC]-[(1-2)^4C-(1-2)^45]=(1-AYAB-AC-(1-A)2AB2+

2

A(1-A)^4C-A^l-A)AC-AB

=-4A2+6A-2=-4(A-|)2+J(0<A<1),

所以當(dāng)A=:時，|4D|?|￡?E|取最大值".

故答案為：

4

設(shè)前=4近(0<4<1)，用4以及題目中特殊向量荏?前:=2,赤?荏=0來表示同?詬，再求

最值.

本題考查向量在幾何圖形中的應(yīng)用，應(yīng)用加法，減法，共線向量去表示，屬于中檔題.

14.答案：0

解析：解：直線ax+y-2=0與圓心為C的圓-+(y-a/=竽相交于4,B兩點(diǎn)，

且A4BC為正三角形，

圓心C(l,a),半徑r=后=殍,

???圓心到直線ax+y—2=0的距離d=卑％=/恪2_(嗎2,

Va^+1k37

解得Q=0.

故答案為：0.

推導(dǎo)出圓心C(l,a),半徑r=后=號,圓心到直線ax+y-2=0的距離￡/=器善=

](?)2一(誓)2,由此能求出a的值.

本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查直線方程、圓、點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，

考查函數(shù)與方程思想，是中檔題.

15.答案：8^3

解析：

此題考查了多面體側(cè)面展開的問題，屬基礎(chǔ)題.

需把三棱錐側(cè)面展開，因?yàn)榕佬袃芍?，故需展開兩次成并列的六個三角形，利用兩點(diǎn)之間線段最短

得解.

解：需要把三棱錐側(cè)面展開兩次，

形成共頂點(diǎn)的六個等腰三角形，如圖：

線段44,的長度即為螞蟻爬行的最短路程，

由己知可知SA=S4'=8,

/.ASA'=120°,

求得44'=\!AS2+A'S2-2SA-SA'cos^ASA'=873.

故答案為8V5.

16.答案：③

解析：

本題考查四種命題的關(guān)系與真假判定.對各個命題逐一判斷，進(jìn)而得出答案.

解：①“若。病<bm2,則a<b"的逆命題為：

“若a<b,則am2<bm2?,為假命題；

②““全等三角形的面積相等”的否命題是：

若兩個三角形不是全等三角形，則這兩個三角形的面積不相等，它是假命題;

③“若qS-1,則/+x+q=0有實(shí)根”為真，其逆否命題為真；

④a=0時，函數(shù)/'(x)=a/+2x—1只有一個零點(diǎn)，故④為假命題.

故答案為③.

17.答案：解：(/)???Q=jc+bcosC.

由正弦定理可得，sinA=^sinC+sinBcosC

??,A=7T—(B+C)

???sinA=sin(8+C)

，sinBcosC+sinCcosB=-sinC+sinBcosC

2

即cosB=|

.??B=-7l

3

(〃),**S&ABC=V3

???-acsin-=V3

23

???ac—

由余弦定理可得，b2=a2+c2-ac

???(a4-c)?=爐+3ac=25

???a+c=5

解析：(/)由已知結(jié)合正弦定理可得，si幾4=］勿。+sEBcosC,而A=兀一(8+C),代入后利用兩

角和的正弦公式展開可求cosB,進(jìn)而可求8

(〃)由已知結(jié)合三角形的面積公式可求ac,然后由余弦定理可得，塊=/+一QC可求

18.答案：解：(1*2=25X(5X3-6X11)2人？§32>2.706,

,716X9X11X14

由此可知，有90%的把握認(rèn)為對這一問題的看法與性別有關(guān)；

(2)(12)記題設(shè)事件為4則

所求概率為PQ4)=普/生=芻

C1616

(ii)根據(jù)題意，X服從超幾何分布，P(X=fc)=^P，k=0,1,2,3,

C9

X的分布列為

X0123

5153

P

212KU84

X的期望E(X)=0x5+lxH+2xV+3x2=l.

解析：⑴由題設(shè)知片=嘲鬻詈=2.932>2.706,由此得到結(jié)果;

(2)(i)記題設(shè)事件為4,利用組合數(shù)公式得P(A)=忠空生，由此能求出事件''男士和女士各至少

有1人發(fā)言”的概率；

5)根據(jù)題意，X服從超幾何分布，P(X=k)=零+,k=0,1,2,3.由此能求出X的分布列和期

C9

望.

考查獨(dú)立性檢驗(yàn)、互斥事件的概率、超幾何分布、分布列、期望，以及分析解決實(shí)際問題的能力.

19.答案：(1)證明：因?yàn)閭?cè)棱1底面4BCD,

48u平面4BCD,ADu平面4BCD,

所以4遇_1.48,AiAlAD,AB1AD,所以AC,AAr,AB兩兩互相垂直，

以4為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

Bi(0,2,2),6(1,2,1),C(l,0,l),E(0,l,0),(0,0,2),

BC=(1,0,-1).CE=(-1,1,-1).

BCCE=lx(-1)+0x1+(-1)x(-1)=0.

所以阮1而，所以就_LCE,又CC)IA、A,所以CCiJ■底面4BCD,

則BClCCi，CECCC、=C,CE,CC；u平面。加/，所以BC1平面CGE,

(2)解：函=(-1,2,1),肩=(0,2,0),

設(shè)平面CEB1的一個法向量為沅=(Xi，yi，zi),

z

設(shè)平面CG'i的一個法向量為五=(x2(y2.2)>

所以［沆,CE=0(-Xi+yi-Zj=0xi=V

明以(沆?西=0(-X1+2乃+句=0=L=-岑

令%=2,則%1=3,Zi=-1,所以沆=(3,2,-1)，

伊.國=0=(2y2=0=仔=0

,

1沅?鬲=01-^2+2y2+z2=0lz2=x2

令小=1，則Z2=1，所以元=(1,0,1),

所以cos你㈤=襦="+/+%：)2g+12=當(dāng)

所以sin(沅㈤=W，

所以二面角E-B.C-G的正弦值為手.

解析：(1)建系，證明而1CE，同時利用CGJL底面ABCD,得到BC1CC],最后根據(jù)線面垂直的判

定定理可得結(jié)果.

(2)分別得到平面CEB1、平面CC】Bi的一個法向量，然后根據(jù)空間向量的夾角公式計(jì)算即可.

本題主要考查線面垂直的證明，二面角的余弦值的求解，空間向量的應(yīng)用等知識，屬于中等題.

20.答案：解：(I)因?yàn)?'(x)=ax—mx,=a-\x>0,a€R,

若a<0,則((x)<0對x>0恒成立，

所以，此時f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+8);

若a>0,則令/'(x)=乎>0時，解得出>，

尸(x)<0時，解得0<x<\

???/。)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,今，單調(diào)遞增區(qū)間為弓,+8);

綜上：當(dāng)a<0時，在(0,+8)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時，/(x)在(0,》上單調(diào)遞減，在6,+8)上單調(diào)遞增.

(II)證明：令g(%)=/(%)—2ax+xeax~r=xeax~r—ax—Lnx,%>0,

則g'(x)=eax~r+axeax_1—a—^=(ax+l)(eax~1—4，

由于eax-l一三=空二2,

XX

設(shè)r(%)=xeax~1—1,rz(x)=(14-ax)eax-1,

由aG(—8,——],令>0=1+ax>0=%V——,

所以r(x)在(0,-》上單調(diào)遞增；

由r'(X)<0=^l+ax<0=>x>一，，所以r(x)在(一，+8)上單調(diào)遞減.

11

??,aw/，

?，?T(X)max(

...ax-l_l<

ex0>

則g(x)在(0,-》上單調(diào)遞減；在(一?,+8)上單調(diào)遞增，

???gMmin=9(一》,

設(shè)t=一：€(o,e2],g(-^)=h(t)=^-lnt+l(0<t<e2),

h'(t)=<0,九(t)在(0,e?]上遞減，

,1,/i(t)>/i(e2)=0；

-5(%)>0,

故/(x)>2ax—xeax~r.

解析：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查分類討論，屬于難題.

(I)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(H)先移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)-2ax+xeax~r=xeax~x-ax-Inx,通過研究g(x)的單調(diào)性，即

問題轉(zhuǎn)化為求證g(x)的最大值大于等于0即可.

21.答案：解:(1)不妨設(shè)Fi(-c,0),F2(C,0),BK0,b),

則I瓦瓦+瓦瓦I=2b=2,b=1,

則B]F；-=—c2+b2=—2,則c=V3>

a2=b2+c2=4,

.??橢圓C的方程式+y2=i；

(2)當(dāng)直線h與*軸重合時,則4(—2,0),B(2,0),C(1號，D(l.-y).

則尼?麗=3xlx也x立=蘭，

224

當(dāng)直線直線，1不與％軸重合時，設(shè)直線％=/ny+l,AQi，%)，8(%2，丫2)，

(x=my4-1mS3o

22o

"(x2+=4>整理得：(m+4)y+2my-3=0,

2

..乃.+力=一2訴m，月內(nèi)3二(?n^+l2),

ACDB=(MC--MD)=-MC-MD-MA-MB<

加=(尤1-l,yj=⑺月以)，MB=(x2-l,y2)=(小及，％)，

—MA-MB=（2）

—'m+l"y21y"2=m2+4

由直線，1與直線％相互垂直，則-覺.而=*;;?,

則而DB=-MC-MD-MA-MB，

_3（1+裙）3（病+1）_同/+以15儂2+1）2_12

l+4m2m2+4（m2+4）（l+4m2）—（空匕至）25,

當(dāng)且僅當(dāng)小=±1時，取"="，

???方?麗的最小值費(fèi).

解析：（1）由向量的加法可知I瓦瓦+瓦瓦I=2b=2,則b=l,則瓦瓦?瓦瓦=-c2+爐=一2,

求得c,則a2=%2+c2=4,即可求得橢圓方程；

（2）分類，直線k與x軸重合時，求得4,B,C和。點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得正.前的值，當(dāng)直線直線。不與

%軸重合時，設(shè)直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算前.麗=-祝.

MB，利用基本不等式的性質(zhì)即可求得萬?麗的最小值.

本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，向量坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)

算能力，屬于中檔題.

22.答案：解：⑴直線，的極坐標(biāo)方程為9=會所以直線斜率為1,直線，：y=x；

曲線C的參數(shù)方程為《二:吃（。為參數(shù)），消去參數(shù)。，

—sinCz

可得曲線C：x2+y2=l,

X=&+V2-

2

（2）設(shè)點(diǎn)MQo.y。）及過點(diǎn)M的直線為=6為參數(shù)）,

y+V2-

yo2

由直線Li與曲線C相交可得：產(chǎn)+72（%0+y（））c+就+羽一1=0,

因?yàn)閨MA|?|M8|=3

所以I詔+羽一1|=3,即：詔+羽=4,

ry=%+m01

]2?21=2x2+2mx+m2—1=0

+y/=1

由△>0=—或<m<V2

故點(diǎn)M的軌跡的直角坐標(biāo)方程為：/+y2=4（夾在兩直線y=%±&之間的兩段圓弧）

解析：（1）根據(jù)題意，由極坐標(biāo)方程的定義可得直線/的方程，對于曲線C的參數(shù)方程，消去參數(shù)計(jì)算

即可得答案；

戈

一