2021-2022學(xué)年廣東省廣州市六中高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

20212022學(xué)年廣東省廣州市六中高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用一元二次不等式的解法求出集合A，根據(jù)偶次根式被開方式大于等于0求出集合B，然后由并集的定義即可求解.【詳解】解：因?yàn)榧希?，所以，故選：D.2．冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，帶點(diǎn)計(jì)算可得，得到，令轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的值域求解即可.【詳解】設(shè)，代入點(diǎn)得，則，令，函數(shù)的值域是.故選：C.3．“”是“的最小正周期為”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的最小正周期求得，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可的解.【詳解】解：由的最小正周期為，可得，所以，所以“”是“的最小正周期為”的充分不必要條件.故選：A.4．已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，函數(shù)是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（

）A．18 B．12 C．8 D．6【答案】D【分析】首先根據(jù)題意得到，再根據(jù)的奇偶性求解即可.【詳解】由題知：，所以當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以.故選：D5．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由函數(shù)的奇偶性質(zhì)可知函數(shù)為偶函數(shù)，再結(jié)合時(shí)函數(shù)的符號(hào)即可得答案.【詳解】解：由題知函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，其圖像關(guān)于軸對(duì)稱，故排除B，D，當(dāng)時(shí)，，故排除C，得A為正確選項(xiàng).故選：A6．已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，將角的終邊按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)角的旋轉(zhuǎn)與三角函數(shù)定義得，利用兩角和的正切公式求得，然后待求式由二倍公式，“1”的代換，變成二次齊次式，轉(zhuǎn)化為的式子，再計(jì)算可得．【詳解】解：將角的終邊按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后所得的角為，因?yàn)樾D(zhuǎn)后的終邊過點(diǎn)，所以，所以.所以.故選：A．7．己知第二象限角的終邊上有異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，，且，若，則的最小值為（

）A． B．3 C． D．4【答案】B【分析】根據(jù)，得到，從而得到，進(jìn)而得到，再利用“1”的代換以及基本不等式求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，又第二象限角的終邊上有異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，，所以，則，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故選：B8．生物體死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會(huì)按確定的比率衰減（稱為衰減率），與死亡年數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式為（其中為常數(shù)），大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”．若2021年某遺址文物出土?xí)r碳14的殘余量約占原始含量的，則可推斷該文物屬于（

）參考數(shù)據(jù)：參考時(shí)間軸：A．宋 B．唐 C．漢 D．戰(zhàn)國【答案】D【分析】根據(jù)給定條件可得函數(shù)關(guān)系，取即可計(jì)算得解.【詳解】依題意，當(dāng)時(shí)，，而與死亡年數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式為，則有，解得，于是得，當(dāng)時(shí)，，于是得：，解得，由得，對(duì)應(yīng)朝代為戰(zhàn)國，所以可推斷該文物屬于戰(zhàn)國.故選：D二、多選題9．下列選項(xiàng)中，正確的是（

）A．函數(shù)（且）的圖象恒過定點(diǎn)B．若不等式的解集為，則C．若，，則，D．函數(shù)恰有1個(gè)零點(diǎn)．【答案】CD【分析】對(duì)A：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求解；對(duì)B：根據(jù)一元二次不等式的解法即可求解；對(duì)C：由特稱命題的否定為全稱命題即可求解；對(duì)D：由函數(shù)零點(diǎn)存在定理即可求解.【詳解】解：對(duì)A：函數(shù)（且）的圖象恒過定點(diǎn)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)B：若不等式的解集為，則，且和是方程的兩根，所以，解得，所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)C：若，，則，，故選項(xiàng)C正確；對(duì)D：易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，所以由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可得存在唯一，使，所以選項(xiàng)D正確.故選：CD.10．下列說法正確的是（

）A．當(dāng)x(0，1)時(shí)， B．sin2x+的最小值為2C． D．若，則【答案】ACD【分析】根據(jù)基本不等式及等號(hào)成立的條件判斷各選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，滿足題意；B選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)，所以最小值取不到，不滿足題意；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，滿足題意；D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選：ACD11．對(duì)于函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．的值城為B．函數(shù)的最小正周期是C．當(dāng)且僅當(dāng)（）時(shí)，函數(shù)取得最大值D．當(dāng)且僅當(dāng)（）時(shí)，【答案】CD【分析】化簡得到函數(shù)的分段表達(dá)式，畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像判斷函數(shù)的值域，最值，周期，對(duì)比選項(xiàng)得到答案.【詳解】，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：的值城為，A選項(xiàng)錯(cuò)；的最小正周期是，B選項(xiàng)錯(cuò)；當(dāng)且僅當(dāng)（）時(shí)，取得最大值，C選項(xiàng)對(duì)，當(dāng)且僅當(dāng)（）時(shí)，，D選項(xiàng)對(duì)，故選：CD.12．設(shè)函數(shù)，集合，則下列命題正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)C．若，則k的取值范圍為D．若（其中），則【答案】ABD【分析】A解一元二次方程直接求解集即可；B由題設(shè)易知集合中方程無解即可判斷；C、D畫出的圖象，令根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及所得的圖象判斷正誤即可.【詳解】A：時(shí)，或，結(jié)合解析式：時(shí)有或，時(shí)有，所以，正確；B：時(shí)，方程無解，則，正確；由解析式可得其函數(shù)圖象如下圖示：令，開口向上且對(duì)稱軸為，若，則，即，有以下情況：1、，：此時(shí)，令，則在上有一個(gè)零點(diǎn)，∴，可得，2、，，由A知：.綜上：，故C錯(cuò)誤；若，由函數(shù)的性質(zhì)及圖象知：必有，.此時(shí)，，，所以，，所以，故D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：C、D選項(xiàng)中，畫出大致圖象，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷給定集合對(duì)應(yīng)的的可能取值，再結(jié)合圖象判斷正誤.三、填空題13．函數(shù)的定義域是___________.【答案】【分析】利用根式、分式的性質(zhì)求函數(shù)定義域即可.【詳解】由解析式知：，則，可得，∴函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.14．已知，，則的值為__________．【答案】【分析】根據(jù)兩角和的正弦公式即可求解.【詳解】由題意可知，因?yàn)?，所以，所以，則．故答案為：.15．已知關(guān)于的方程在有解，則的取值范圍是________．【答案】【分析】將原式化為，然后研究函數(shù)在上的值域即可【詳解】解：由，得，令，令，因?yàn)椋?，所以，即，因?yàn)?，所以函?shù)可化為，該函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，所以的取值范圍是，故答案為：16．已知函數(shù)是定義在的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有8個(gè)零點(diǎn)，分別記為，，，，，，，，則的取值范圍是______.【答案】【分析】由偶函數(shù)的對(duì)稱性，將轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為，結(jié)合利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)有8個(gè)零點(diǎn)，所以直線與函數(shù)圖像的交點(diǎn)有8個(gè)，如圖所示：設(shè)，因?yàn)楹瘮?shù)是定義在的偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，所以，且由二次函數(shù)對(duì)稱性有，由有，所以又，所以，所以，故答案為：.四、解答題17．求值：(1)；(2).【答案】(1)112(2)3【分析】（1）依據(jù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可解決；（2）依據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及換底公式即可解決.【詳解】(1)(2)18．已知函數(shù)．(1)求的值及的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值，以及取最值時(shí)x的值．【答案】(1)1，，(2)時(shí)，有最大值；時(shí)，有最小值.【分析】（1）將化簡為，解不等式，，即可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由，得，從而根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解函數(shù)的最值．【詳解】(1)解：因?yàn)椋?，令，，得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，；(2)解：因?yàn)?，所以，所以，所以，?dāng)，即時(shí)，有最大值，當(dāng)，即時(shí)，有最小值．19．已知，且.(1)求；(2)若，，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)相關(guān)公式化簡求解；（2）根據(jù)三角恒等變換化簡求解.【詳解】(1)解：，由，得，解得又，所以.(2)解：若，，則，因?yàn)椋?，所以，所以，所?0．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，在上恒成立，求的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式．【答案】(1)(2)答案不唯一，具體見解析【分析】（1）利用參變量分離法可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）分、、、四種情況討論，結(jié)合二次不等式的解法可求得原不等式的解集.【詳解】(1)由題意得，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，即當(dāng)時(shí)，在上恒成立，不等式可變?yōu)?，令，，則，故，解得．(2)當(dāng)時(shí)，解不等式，即當(dāng)時(shí)，解不等式，不等式可變?yōu)?，若時(shí)，不等式可變?yōu)?，可得；若時(shí)，不等式可變?yōu)椋?dāng)時(shí)，，可得或；當(dāng)時(shí)，，即，可得且；當(dāng)時(shí)，，可得或．綜上：當(dāng)時(shí)，原不等式的解集是；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集是；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集是；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集是．21．環(huán)保生活，低碳出行，電動(dòng)汽車正成為人們購車的熱門選擇.某型號(hào)電動(dòng)汽車，在一段平坦的國道進(jìn)行測試，國道限速（不含）.經(jīng)多次測試得到，該汽車每小時(shí)耗電量（單位：）與速度（單位：）的下列數(shù)據(jù)：01040600132544007200為了描述國道上該汽車每小時(shí)耗電量與速度的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：，，.（1）當(dāng)時(shí)，請(qǐng)選出你認(rèn)為最符合表格所列數(shù)據(jù)實(shí)際的函數(shù)模型，并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）現(xiàn)有一輛同型號(hào)汽車從地駛到地，前一段是的國道，后一段是的高速路，若已知高速路上該汽車每小時(shí)耗電量（單位：）與速度的關(guān)系是：，則如何行駛才能使得總耗電量最少，最少為多少？【答案】（1）選擇，；（2）當(dāng)這輛車在國道上的行駛速度為，在高速路上的行駛速度為時(shí)，該車從地到地的總耗電量最少，最少為.【解析】（1）根據(jù)當(dāng)時(shí)，無意義，以及是個(gè)減函數(shù)，可判斷選擇，然后利用待定系數(shù)法列方程求解即可；（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷在國道上的行駛速度為耗電最少，利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可判斷在高速路上的行駛速度為時(shí)耗電最少，從而可得答案.【詳解】（1）對(duì)于，當(dāng)時(shí)，它無意義，所以不合題意；對(duì)于，它顯然是個(gè)減函數(shù)，這與矛盾；故選擇.根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，有，解得，當(dāng)時(shí)，.（2）國道路段長為，所用時(shí)間為，所耗電量為，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，；高速路段長為，所用時(shí)間為，所耗電量為，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增，所以；故當(dāng)這輛車在國道上的行駛速度為，在高速路上的行駛速度為時(shí)，該車從地到地的總耗電量最少，最少為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合的題型也是高考命題的動(dòng)向，這類問題的特點(diǎn)是通過現(xiàn)實(shí)生活的事例考查書本知識(shí)，解決這類問題的關(guān)鍵是耐心讀題、仔細(xì)理解題，只有吃透題意，才能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解答.22．對(duì)于在區(qū)間上有意義的函數(shù)，若滿足對(duì)任意的，，有恒成立，則稱在上是“友好”的，否則就稱在上是“不友好”的．現(xiàn)有函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在上是否“友好”；(2)若關(guān)于x的方程的解集中有且只有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在，上是“友好”的(2)【分析】（1）當(dāng)