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文檔簡介

八年級數(shù)學上分層優(yōu)化堂堂清十四章整式的乘法與因式分解第二課時單項式乘以多項式(解析版)學習目標:1.探索并掌握單項式乘以多項式的法則.2.靈活運用單項式乘以多項式的法則進行運算.重點:單項式與多項式乘法法的應用.難點:單項式與多項式相乘時結果的符號的確定.老師對你說:知識點1單項式乘以多項式(1)單項式與多項式相乘的運算法則:單項式與多項式相乘,就是用單項式去乘多項式的每一項,再把所得的積相加.(2)單項式與多項式相乘時,應注意以下幾個問題:①單項式與多項式相乘實質上是轉化為單項式乘以單項式;②用單項式去乘多項式中的每一項時,不能漏乘;③注意確定積的符號.知識點2單項式乘多項式的應用根據題目的需要利用單項式乘以多項式的法則進行運算,從而解決問題.基礎提升教材核心知識點精練知識點1單項式乘以多項式【例11】計算2x(3x2+1),正確的結果是()A.5x3+2x B.6x3+1 C.6x3+2x D.6x2+2x【答案】C【詳解】試題分析:原式利用單項式乘以多項式法則計算即可得到結果.解:原式=6x3+2x,故選C.【點評】此題考查了單項式乘多項式,熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.【例12】化簡:.【答案】【分析】按照整式之間的混合運算法則及順序進行計算即可.【詳解】==【點睛】本題主要考查了整式的混合運算,熟練掌握相關概念是解題關鍵.【例13】先化簡,后求值(1),其中.(2),其中,,.【答案】(1);8;(2);1【分析】(1)(2)原式利用單項式乘以多項式法則計算,去括號合并得到最簡結果,把x的值代入計算即可.【詳解】.解:(1)解:將代入上式,得原式(2)解:將,代入上式,得原式【點睛】此題考查了整式的混合運算?化簡求值,熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.【例14】閱讀:已知x2y=3,求2xy(x5y23x3y4x)的值.分析:考慮到x,y的可能值較多,不能逐一代入求解,故考慮整體思想,將x2y=3整體代入.解:2xy(x5y23x3y4x)=2x6y36x4y28x2y=2(x2y)36(x2y)28x2y=2×336×328×3=24.你能用上述方法解決以下問題嗎?試一試!(1)已知ab=3,求(2a3b23a2b+4a)·(2b)的值;(2)已知a2+a-1=0,求代數(shù)式a3+2a2+2018的值.【答案】(1)78;(2)2019.【分析】(1)將待求式展開化為?4(ab)3+6(ab)2?8ab形式,將ab=3整體代入所化簡的式子求值即可;(2)所求式子第二項拆項后,前兩項提取a,將已知等式變形為a2+a=1代入計算即可求出值.【詳解】解:(1)(2a3b23a2b+4a)·(2b)=4a3b3+6a2b28ab=4(ab)3+6(ab)28ab將ab=3代入上式,得?4×33+6×32?8×3=78所以(2a3b23a2b+4a)·(2b)=?78(2)∵a2+a=1,∴a3+2a2+2018=a3+a2+a2+2018=a(a2+a)+a2+2018=a+a2+2018=1+2018=2019.【點睛】本題考查了單項式乘多項式,將所求式子進行適當?shù)淖冃魏驼w代入是解題關鍵.知識點2單項式乘多項式的應用【例21】如圖,陰影部分的面積是()A.xy B.xy C.4xy D.2xy【答案】A【詳解】方法1:可把圖形分割成如圖1所示的兩部分,則面積可表示為2y(2xxxy=3xyxyxy=xy.方法2:把圖形補成如圖2所示的形狀,則陰影部分的面積為2x·2yx·(2y-y)]=xy.故選A.【例22】一塊長方形硬紙片,長為(5a2+4b2)m,寬為6a4m,在它的四個角上分別剪去一個邊長為a3m的小正方形然后折成一個無蓋的盒子,請你求這個無蓋盒子的表面積.【答案】21a6+24a4b2(m2)【分析】先求得原長方形紙片的面積及減去小正方形的面積,再利用原長方形紙片的面積減去4個剪去小正方形的面積列出算式,計算即可求解【詳解】解:紙片的面積是(5a2+4b2)·6a4=30a6+24a4b2(m2),小正方形的面積是(a3)2=a6(m2),則無蓋盒子的表面積是30a6+24a4b2-4×a6=21a6+24a4b2(m2)答:這個無蓋盒子的表面積為(21a6+24a4b2)m2【點睛】本題考查了整式的運算的應用,根據題意求得長方形紙片及減去正方形的面積是解決問題的關鍵.【例23】將大小不同的兩個正方形按圖1,圖2的方式擺放.若圖1中陰影部分的面積是20,圖2中陰影部分的面積是14,則大正方形的邊長是()A.6 B.7 C.8 D.9【分析】設大正方形的邊長為a,小正方形的邊長為b,根據題意列方程組,即可得到結論.【解答】解:設大正方形的邊長為a,小正方形的邊長為b,根據題意可得:12ab+12b(a﹣b)=20,解得:a=7.故選:B.【例24】老師在黑板上書寫了一個正確的演算過程,隨后用手掌捂住了一個多項式,形式如下:÷(?12y)=﹣6x+2y﹣1則手掌捂住的多項式3xy﹣y2+12【分析】根據題意可得捂住的部分為(﹣6x+2y﹣1)?(?12【解答】解:(﹣6x+2y﹣1)?(?12=﹣6x?(?12y)+2y?(?12y=3xy﹣y2+12故答案為:3xy﹣y2+12能力提升訓練當|a+b-1|+(a-b-3)2=0時,化簡求值:3a2(a3b2-2a)+4a(-a2b)2.解:由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a+b-1=0,,a-b-3=0,))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a=2,,b=-1,))原式=3a5b2-6a34a5b2=a5b2-6a3,當a=2,b=-1時,原式=25×12-6×23=3248=-802.已知a2(b+c)=b2(a+c)=2017,且a、b、c互不相等,對c2(a+b)﹣2016=()A.0 B.1 C.2016 D.2017【分析】先對已知條件進行變形和因式分解,得到ab+ac+bc=0,然后再將2016看成是2017﹣1,即看成a2(b+c)﹣1代入即可求解.【解析】∵a2(b+c)=b2(a+c),∴a2b+a2c﹣ab2﹣cb2=0,∴ab(a﹣b)+c(a+b)(a﹣b)=0,即:(a﹣b)(ab+ac+bc)=0,∵a,b,c互不相等,∴ab+ac+bc=0,∴c2(a+b)﹣2016=c2(a+b)﹣[a2(b+c)﹣1]=ac2+bc2﹣a2b﹣a2c+1=ac(c﹣a)+b(a+c)(c﹣a)+1=(c﹣a)(ac+ab+bc)+1=(c﹣a)×0+1=0+1=1.故選:B.3.已知關于x的多項式a(x+1)2﹣b(x+1)+c﹣7的化簡結果為2x2+5x,則a+b+c=.【分析】將多項式化簡,根據化簡結果即可求得a,b,c的值,再代入所求式子即可求解.【解析】a(x+1)2﹣b(x+1)+c﹣7=ax2+2ax+a﹣bx﹣b+c﹣7=ax2+(2a﹣b)x+a﹣b+c﹣7,∵a(x+1)2﹣b(x+1)+c﹣7的化簡結果為2x2+5x,∴a=2,2a﹣b=5,a﹣b+c﹣7=0,∴a=2,b=﹣1,c=4,∴a+b+c=5,故答案為:5.4.小明外祖母家的住房裝修三年后,地磚出現(xiàn)破損,破損部分的圖形如圖:現(xiàn)有A、B、C三種地磚可供選擇,請問需要A磚塊,B磚塊,C磚塊.【分析】計算出破損部分的面積,再根據A、B、C磚的面積進行選擇即可.【解析】A磚的面積為a2,B磚的面積為ab,C磚的面積為b2,∵(4a+b)?2b=8ab+2b2,∴需要B磚8塊,C磚2塊,拼圖如圖所示:故答案為:0,8,2.堂堂清一、選擇題(每小題4分,共32分)1.計算:(-2a2)·(3ab25ab3)結果是()A.6a3b2+10a3b3 B.6a3b2+10a2b3C.6a3b2+10a3b3 D.6a3b210a3b3【答案】C【知識點】單項式乘多項式【解析】【解答】(-2a2)·(3ab25ab3)=(-2a2)·3ab2+(-2a2)·(5ab3)=6a3b2+10a3b3,故選C.【分析】利用單項式乘多項式的法則計算得出.2.計算(―xy)3·(7xy2―9x2y)正確的是()A.―7x2y5+9x3y4 B.7x2y5―9x3y4C.―7x4y5+9x5y4 D.7x4y5+9x5y4【答案】C【知識點】單項式乘多項式【解析】【解答】(―xy)3·(7xy2―9x2y)=(xy3)(xy3)=(xy3)·7xy2+(xy3)·(―9x2y)=―7x4y5+9x5y4,故選C.【分析】利用單項式乘多項式的法則計算得出.3.計算(3x)·(2x25x1)的結果是()A.6x215x23x B.6x3+15x2+3xC.6x3+15x2 D.6x3+15x21【答案】B【知識點】單項式乘多項式【解析】【解答】(3x)·(2x25x1)=(3x)·2x2+(3x)·(5x)+(3x)·(1)=6x3+15x2+3x,故選B.【分析】利用單項式乘多項式的法則計算得出.4.要使(﹣6x3)(x2+ax﹣3)的展開式中不含x4項,則a=()A.1 B.0 C.﹣1 D.1【分析】原式利用單項式乘以多項式法則計算,根據結果不含x4項求出a的值即可.【解析】原式=﹣6x5﹣6ax4+18x3,由展開式不含x4項,得到a=0,故選:B.5.在一次數(shù)學課上,學習了單項式乘多項式,小明回家后,拿出課堂筆記本復習,發(fā)現(xiàn)這樣一道題:,“□”的地方被墨水污染了,你認為“□”內應填寫()A. B. C. D.【答案】B【知識點】單項式乘多項式【解析】【解答】.即“□”=.故答案為:B.

【分析】利用單項式乘多項式的計算方法求出,再利用待定系數(shù)法可求出答案。6.已知正方形ABCD邊長為x,長方形EFGH的一邊長為2,另一邊的長為x,則正方形ABCD與長方形EFGH的面積之和等于()A.邊長為x+1的正方形的面積 B.一邊長為2,另一邊的長為x+1的長方形面積 C.一邊長為x,另一邊的長為x+1的長方形面積 D.一邊長為x,另一邊的長為x+2的長方形面積【分析】根據題意列出關系式,化簡后判斷即可.【解析】根據題意得:正方形ABCD與長方形EFGH面積之和為x2+2x=x(x+2),則正方形ABCD與長方形EFGH的面積之和等于一邊長為x,另一邊的長為x+2的長方形面積,故選:D.7.已知a2(b+c)=b2(a+c)=2017,且a、b、c互不相等,對c2(a+b)﹣2016=()A.0 B.1 C.2016 D.2017【分析】先對已知條件進行變形和因式分解,得到ab+ac+bc=0,然后再將2016看成是2017﹣1,即看成a2(b+c)﹣1代入即可求解.【解析】∵a2(b+c)=b2(a+c),∴a2b+a2c﹣ab2﹣cb2=0,∴ab(a﹣b)+c(a+b)(a﹣b)=0,即:(a﹣b)(ab+ac+bc)=0,∵a,b,c互不相等,∴ab+ac+bc=0,∴c2(a+b)﹣2016=c2(a+b)﹣[a2(b+c)﹣1]=ac2+bc2﹣a2b﹣a2c+1=ac(c﹣a)+b(a+c)(c﹣a)+1=(c﹣a)(ac+ab+bc)+1=(c﹣a)×0+1=0+1=1.故選:B.三個連續(xù)奇數(shù),若中間的一個為n,則這三個連續(xù)奇數(shù)之積為()A.4n3﹣n B.n3﹣4n C.8n2﹣8n D.4n3﹣2n【分析】直接表示出各奇數(shù),再利用乘法公式以及單項式乘以多項式運算法則求出即可.【解析】∵中間的一個為n,∴較小的奇數(shù)為:n﹣2,較大的奇數(shù)為:n+2,∴這三個連續(xù)奇數(shù)之積為:n(n﹣2)(n+2)=n(n2﹣4)=n3﹣4n.故選:B.二、填空題(每小題4分,共20分)9.計算.【答案】【知識點】單項式乘多項式【解析】【解答】解:故答案為:.【分析】利用先去括號,然后根據整式的加減運算法則計算即可10.如圖所示,四邊形均為長方形,根據圖形,寫出一個正確的等式:(答案不唯一).【分析】根據長方形的面積公式解答即可.【解析】由題意得:m(m+a)=m2+ma,故答案為:m(m+a)=m2+ma(答案不唯一).11.如果m2﹣2m﹣2=0,那么代數(shù)式3m(m﹣2)+2的值是.【分析】先化簡,然后將m2﹣2m﹣2=0代入原式即可求出答案.【解答】解:原式=3m2﹣6m+2當m2﹣2m﹣2=0時,∴m2﹣2m=2,∴原式=3(m2﹣2m)+2=3×2+2=6+2=8.故答案為:8.12.一個長方體的長、寬、高分別是3x﹣2、2x和x,它的體積等于.【分析】根據長方體的計算公式長×寬×高,列出算式,再進行計算即可.【解析】根據題意得:(3x﹣2)?2x?x=6x3﹣4x2,答:它的體積等于6x3﹣4x2;故答案為:6x3﹣4x2.13.______________.【答案】【分析】設,,將所求問題轉化為整式的運算,再根據整式的運算法則化簡求值即可.【詳解】設,則原式故答案為:.【點睛】本題考查了整式的乘法與加減法運算,利用換元法,將所求問題轉化為整式的運算是解題關鍵.這是常用技巧,需掌握.三、解答題(共6小題,48分)14.(9分)計算:(1)(﹣2ab)(3a2﹣2ab﹣4b2);(2)3x(2x﹣3y)﹣(2x﹣5y)?4x;(3)5a(a﹣b+c)﹣2b(a+b﹣c)﹣4c(﹣a﹣b﹣c).【分析】(1)先用單項式﹣2ab與括號內的每一項分別相乘,再把所得結果相加即可;(2)先利用單項式乘多項式的運算法則分別計算減號兩邊的算式,再合并同類項即可;(3)先利用單項式乘多項式的運算法則分別計算減號兩邊的算式,再合并同類項即可.【解析】(1)(﹣2ab)(3a2﹣2ab﹣4b2)=(﹣2ab)?(3a2)﹣(﹣2ab)?(2ab)﹣(﹣2ab)?(4b2)=﹣6a3b+4a2b2+8ab3,(2)3x(2x﹣3y)﹣(2x﹣5y)?4x;=6x2﹣9xy﹣8x2+20xy=﹣2x2+11xy,(3)5a(a﹣b+c)﹣2b(a+b﹣c)﹣4c(﹣a﹣b﹣c)=5a2﹣5ab+5ac﹣2ab﹣2b2+2bc+4ac+4bc+4c2=5a2﹣2b2+4c2﹣7ab+9ac+4bc.15.(6分)先化簡,再求值3a(2a2﹣4a+3)﹣2a2(3a+4),其中a=﹣2.【答案】解:3a(2a2﹣4a+3)﹣2a2(3a+4)=6a3﹣12a2+9a﹣6a3﹣8a2=﹣20a2+9a,當a=﹣2時,原式=﹣20×4﹣9×2=﹣98【知識點】單項式乘多項式【解析】【分析】首先根據單項式與多項式相乘的法則去掉括號,然后合并同類項,最后代入已知的數(shù)值計算即可.16.(7分)先化簡,再求值:A=3a2b﹣ab2,B=ab2+3a2b,其中a=,b=.求5A﹣B的值.【答案】【分析】先把所求代入進行化簡,然后把a、b的值代入求值即可.【詳解】解:原式=5(3a2b﹣ab2)﹣(ab2+3a2b)=15a2b﹣5ab2﹣ab2﹣3a2b=12a2b﹣6ab2當a=,b=時,原式=12××﹣6××=1﹣=.【點睛】多項式的化簡求值是本題的考點,正確化簡多項式是解題的關鍵.17.(8分)已知:A=12x,B是多項式,王虎同學在計算A+B時,誤把A+B看成了A×B,結果得3x3﹣2x2﹣(1)求多項式B.(2)求A+B.【分析】(1)根據整式的除法運算即可求出答案;(2)根據整式的加法運算即可求出答案.【解析】(1)由題意可知:12x?B=3x3﹣2x2﹣x∴B=(3x3﹣2x2﹣x)÷1=6x2﹣4x﹣2;(2)A+B=12x+(6x2﹣4=6x2?7218.(8分)閱讀:已知x2y=3,求2xy(x5y2﹣3x3y﹣4x)的值.分析:考慮到x,y的可能值較多,不能逐一代入求解,故考慮整體思想,將x2y=3整體代入.解:2xy(x5y2﹣3x3y﹣4x)=2x6y3﹣6x4y2﹣8x2y=2(x2y)3﹣6(x2y)2﹣8x2y=2×33﹣6×32﹣8×3=﹣24.你能用上述方法解決以下問題嗎?試一試?。?)已知ab=3,求(2a3b2﹣3a2b+4a)?(﹣2b)的值.(2)已知a2+a﹣1=0,求代數(shù)式a3+2a2+2020的值.【分析】(1)直接利用單項式乘多項式運算法則化簡,進而把已知代入得出答案;(2)直接利用已知變形,進而代入原式得出答案.【解析】(1)(2a3b2﹣3a2b+4a)?(﹣2b)=﹣4a3b3+6a2b2﹣8ab,∵ab=3,∴原式=﹣4×33+6×32﹣8×3=﹣108+54﹣24=﹣78;(2)∵a2+a﹣1=0,∴a2+a=1,∴a3+2a2+2020=a(a2+a)+a2+2020,=a2+a+2020=1+2020=2021.19.(10分)如圖,大正方形邊長為,小正方形邊長為.(1)若,求陰影部分面積的和;(2)定義:單項式乘多項式就是用單項式去乘多項式的每一項,再把所得的積相加:例如.試用含、的式子表示陰影部分面積之和.【答案】(1)(2)【分析】(1)根據絕對得非負性得出x和y得值,再根據三角形的面積公式即可;(2)數(shù)形結合,通過圖象面積求代數(shù)式.(1)解:,,,,.∵,.陰影面積為.(2)解:陰影面積為.【點睛】本題考查了絕對值的性質及單項式與多項式相乘,解題關鍵是根據材料掌握整式乘法公式拓展培優(yōu)*沖刺滿分1.一張長方形餐桌的表

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