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專題06三角函數(shù)與解三角形(選填題9種考法)考法一三角函數(shù)的定義【例1-1】(2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模)在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)繞著原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn),點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_(kāi)__________.【答案】【解析】由題意得,設(shè)與x軸正半軸的夾角為,則,則與x軸正半軸的夾角為,故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,故答案為:【例1-2】(2023·四川攀枝花·攀枝花七中校考模擬預(yù)測(cè))已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),始邊為x軸正半軸,終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn),則______.【答案】【解析】由三角函數(shù)的定義可得,故答案為:.【例1-3】(2023·上海黃浦·統(tǒng)考一模)在平面直角坐標(biāo)系中,若角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊與以點(diǎn)O為圓心的單位圓交于點(diǎn),則的值為_(kāi)_____.【答案】【解析】由題意知,,所以.故答案為:.【例1-4】(2023·重慶沙坪壩·重慶南開(kāi)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))已知為角終邊上一點(diǎn),則(
)A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意知為角終邊上一點(diǎn),則,故,故,故選:A【例1-5】(2023·黑龍江·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)??家荒#┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中,已知點(diǎn)為角終邊上一點(diǎn),若,則(
)A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意得:,,,因?yàn)?,所以,因?yàn)?,所以,故,所?故選:B考法二同角三角函數(shù)【例2-1】(2022·浙江·統(tǒng)考高考真題)設(shè),則“”是“”的(
)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因?yàn)榭傻茫寒?dāng)時(shí),,充分性成立;當(dāng)時(shí),,必要性不成立;所以當(dāng),是的充分不必要條件.故選:A.【例2-2】(2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題)若,則(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】將式子進(jìn)行齊次化處理得:.故選:C.【例2-3】(2023·四川資陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知,,則(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】由①得,即,因?yàn)?,所以,,則,即②,聯(lián)立①②可得:,則.故選:C【例2-4】(2023·湖南·模擬預(yù)測(cè))已知,則(
)A. B. C. D.【答案】A【解析】,,得,得,可得,,,,又,得,解得.故選:A考法三誘導(dǎo)公式及恒等變化【例3-1】(2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題)(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意,.故選:D.【例3-2】(2023·甘肅蘭州·??家荒#┑扔冢?/p>
)A. B. C. D.1【答案】C【解析】因?yàn)椋?故選:C.【例3-3】(2023·遼寧·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)??寄M預(yù)測(cè))(多選)設(shè)為第一象限角,,則(
)A.B.C.D.【答案】BD【解析】由題意得,則,若在第四象限,則,所以也是第一象限角,即,,A項(xiàng)錯(cuò)誤;,B項(xiàng)正確;,C項(xiàng)錯(cuò)誤;,D項(xiàng)正確.故選:BD.【例3-4】(2023·福建南平)若是第二象限角,,則___________.【答案】【解析】因?yàn)槭堑诙笙藿?,且,所以為第三象限角,所以,所?故答案為:【例3-5】(2023春·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí))若銳角、滿足,,則_________.【答案】【解析】因?yàn)椋?,則,,由、,則,,所以,,,所以.故答案為:.【例3-6】(2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模)已知,則【答案】【解析】由可得,,由二倍角公式可得;即故選:A考法四三角函數(shù)的性質(zhì)【例4-1】(2022·天津·統(tǒng)考高考真題)已知,關(guān)于該函數(shù)有下列四個(gè)說(shuō)法:①的最小正周期為;②在上單調(diào)遞增;③當(dāng)時(shí),的取值范圍為;④的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到.以上四個(gè)說(shuō)法中,正確的個(gè)數(shù)為(
)A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋缘淖钚≌芷跒椋俨徽_;令,而在上遞增,所以在上單調(diào)遞增,②正確;因?yàn)椋?,所以,③不正確;由于,所以的圖象可由的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到,④不正確.故選:A.【例4-2】(2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考一模)函數(shù)(,)的部分圖象如圖所示,為了得到的圖象,只需將的圖象(
)A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】D【解析】根據(jù)函數(shù)(其中,的圖象,可得,,再根據(jù)五點(diǎn)法作圖,可得,,.故把圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,可得到的圖象,故選:D.【例4-3】(2023·貴州貴陽(yáng)·統(tǒng)考一模)函數(shù)的部分圖象如圖所示,則下列關(guān)于函數(shù)的說(shuō)法正確的是(
)①的圖象關(guān)于直線對(duì)稱②的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱③將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象④若方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則的取值范圍是A.①④ B.②④ C.③④ D.②③【答案】B【解析】由函數(shù)的圖象可得,由,解得,又函數(shù)過(guò)點(diǎn),所以,,又,得,所以函數(shù),當(dāng)時(shí),,即的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,故②正確;當(dāng)時(shí),,故①錯(cuò)誤;將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到,故③錯(cuò)誤;當(dāng),則,令,解得,此時(shí),即,令,解得,此時(shí),即,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,因?yàn)榉匠淘谏嫌袃蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,即與在上有兩個(gè)交點(diǎn),所以,故④正確;故選:B【例4-4】(2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù).若,且在區(qū)間上單調(diào),則(
)A. B.或4 C.4 D.或【答案】B【解析】由,得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱;由,得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,所以,解得,即,得.因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào),所以,即,所以,解得.又,所以或.當(dāng)時(shí),,則,得.由,得,此時(shí),當(dāng)時(shí),,符合題意;當(dāng)時(shí),,則,得.由,得,此時(shí),當(dāng)時(shí),,符合題意.綜上,或.故選:B.【例4-5】(2023·遼寧·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))(多選)已知函數(shù),則(
)A.是奇函數(shù) B.當(dāng)時(shí),C.的最大值是1 D.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】BCD【解析】對(duì)于A,不恒成立,所以不是奇函數(shù),故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,,當(dāng)時(shí),所以,所以,故B正確;對(duì)于C,令,則,所以,所以原函數(shù)可換元為,令解得,令解得或,所以在單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,,所以函數(shù)的最大值為,故C正確;對(duì)于D,,,因?yàn)樗?,所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,故D正確,故選:BCD.【例4-6】(2023·河北衡水·河北衡水中學(xué)??寄M預(yù)測(cè))(多選)已知函數(shù),其中、.則下列說(shuō)法中正確的有(
).A.的最小值為B.的最大值為C.方程在上有三個(gè)解D.在上單調(diào)遞減【答案】BC【解析】,即,其中,,.由,即,,所以當(dāng)時(shí),,即,,所以當(dāng),即時(shí),,當(dāng),即時(shí),;當(dāng)時(shí),,即,,所以當(dāng),即時(shí),,由于,所以無(wú)最小值.綜上所述,的最小值為,最大值為,故A錯(cuò)誤,B正確;由,所以當(dāng)時(shí),,即,即或,,所以或,.當(dāng)時(shí),,即,即或,,所以,,綜上所述,方程在上有三個(gè)解,故C正確;取時(shí),,令,即;令,即;由于,所以當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,即函數(shù)在上有增有減,則在上有增有減,故D錯(cuò)誤.故選:BC.考法五正余弦定理【例5-1】(2021·全國(guó)·高考真題)在中,已知,,,則(
)A.1 B. C. D.3【答案】D【解析】設(shè),結(jié)合余弦定理:可得:,即:,解得:(舍去),故.故選:D.【例5-2】(2023·江蘇南京·南京市秦淮中學(xué)??寄M預(yù)測(cè))(多選)在中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若,則B的值為(
)A. B. C. D.【答案】BD【解析】根據(jù)余弦定理可知,代入,可得,即,因?yàn)?,所以或,故選:BD.【例5-3】(2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))克羅狄斯·托勒密是古希臘著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和地理學(xué)家,他在所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理,其中涉及如下定理:任意凸四邊形中,兩條對(duì)角線的乘積小于或等于兩組對(duì)邊乘積之和,當(dāng)且僅當(dāng)凸四邊形的對(duì)角互補(bǔ)時(shí)取等號(hào),后人稱之為托勒密定理的推論.如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于半徑為的圓,,,,則四邊形ABCD的周長(zhǎng)為(
)A. B. C. D.【答案】A【解析】連接AC,BD.由,及正弦定理,得,解得,.在中,,,,所以.因?yàn)樗倪呅蜛BCD內(nèi)接于半徑為的圓,它的對(duì)角互補(bǔ),所以,所以,所以,所以四邊形ABCD的周長(zhǎng)為.故選:A.【例5-4】(2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題)已知中,點(diǎn)D在邊BC上,.當(dāng)取得最小值時(shí),________.【答案】【解析】[方法一]:余弦定理設(shè),則在中,,在中,,所以,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí),等號(hào)成立,所以當(dāng)取最小值時(shí),.故答案為:.[方法二]:建系法令BD=t,以D為原點(diǎn),OC為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系.則C(2t,0),A(1,),B(-t,0)[方法三]:余弦定理設(shè)BD=x,CD=2x.由余弦定理得,,,,令,則,,,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立.[方法四]:判別式法設(shè),則在中,,在中,,所以,記,則由方程有解得:即,解得:所以,此時(shí)所以當(dāng)取最小值時(shí),,即.【例5-5】(2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,,,,則的面積等于______.【答案】【解析】由,①知,,由余弦定理,得.又,所以.由及正弦定理,得②.聯(lián)立①②,得,所以的面積為.故答案為:.【例5-6】(2023·陜西西安·統(tǒng)考一模)已知在中,角A,B,C所對(duì)邊分別為a,b,c,滿足,且,則周長(zhǎng)的取值范圍為_(kāi)_____________.【答案】【解析】在中,由及正弦定理得:,而,于是,有,而,,因此,由余弦定理得,即有,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),從而,而,則,所以周長(zhǎng)的取值范圍為.故答案為:【例5-7】(2023·陜西西安·統(tǒng)考一模)已知在中,角所對(duì)邊分別為,滿足,且,則的取值范圍為_(kāi)_____.【答案】【解析】由題意在中,滿足,即,即,而,故,又,則,同理,故,又,故,則,故答案為:考法六實(shí)際應(yīng)用題【例6-1】(2023·陜西寶雞·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))中國(guó)最早的天文觀測(cè)儀器叫“圭表”,最早裝置圭表的觀測(cè)臺(tái)是西周初年在陽(yáng)城建立的周公測(cè)景(影)臺(tái).“圭”就是放在地面上的土堆,“表”就是直立于圭的桿子,太陽(yáng)光照射在“表”上,便在“圭”上成影.到了周代,使用圭表有了規(guī)范,桿子(表)規(guī)定為八尺長(zhǎng).用圭表測(cè)量太陽(yáng)照射在竹竿上的影長(zhǎng),可以判斷季節(jié)的變化,也能用于丈量土地.同一日子內(nèi),南北兩地的日影長(zhǎng)短倘使差一寸,它們的距離就相差一千里,所謂“影差一寸,地差一尺”(1尺=10寸).記“表”的頂部為A,太陽(yáng)光線通過(guò)頂部A投影到“圭”上的點(diǎn)為B.同一日子內(nèi),甲地日影長(zhǎng)是乙地日影子長(zhǎng)的兩倍,記甲地中直線AB與地面所成的角為,且.則甲、乙兩地之間的距離約為(
)A.15千里 B.14千里 C.13千里 D.12千里【答案】A【解析】由題意可知甲地的日影子長(zhǎng)為尺,從而得到乙地的日影子長(zhǎng)為1.5尺,則甲、乙兩地之間的距離約為千里.故選:A【例6-2】(2023·四川綿陽(yáng)·綿陽(yáng)中學(xué)??寄M預(yù)測(cè))月牙泉,古稱沙井,俗名藥泉,自漢朝起即為“敦煌八景”之一,得名“月泉曉澈”,因其形酷似一彎新月而得名.如圖所示,某月牙泉模型的邊緣都可以看作是圓弧,兩段圓弧可以看成是的外接圓和以AB為直徑的圓的一部分,若,AB的長(zhǎng)約為,則該月牙泉模型的面積約為(
)A. B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)外接圓圓心為,如圖,半徑為,則,,因此,中弓形面積為,從而陰影部分面積為.故選:A.【例6-3】(2023·四川南充·四川省南部中學(xué)??寄M預(yù)測(cè))一艘海輪從處出發(fā),以每小時(shí)40海里的速度沿東偏南方向直線航行,30分鐘后到達(dá)B處.在C處有一座燈塔,海輪在A處觀察燈塔,其方向是東偏南,在B處觀察燈塔,其方向是北偏東,那么B、C兩點(diǎn)間的距離是(
)A.海里 B.海里 C.海里 D.海里【答案】A【解析】依題意,如圖,在中,,則,由正弦定理得,即,因此(海里),所以兩點(diǎn)間的距離是海里.故選:A【例6-4】(2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))“不以規(guī)矩,不能成方圓”出自《孟子·離婁章句上》.“規(guī)”指圓規(guī),“矩”指由相互垂直的長(zhǎng)短兩條直尺構(gòu)成的方尺,是古人用來(lái)測(cè)量?畫(huà)圓和方形圖案的工具.敦煌壁畫(huà)就有伏羲女?huà)z手執(zhí)規(guī)矩的記載(如圖(1)).今有一塊圓形木板,以“矩”量之,如圖(2).若將這塊圓形木板截成一塊四邊形形狀的木板,且這塊四邊形木板的一個(gè)內(nèi)角滿足,則這塊四邊形木板周長(zhǎng)的最大值為(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】由題圖(2)得,圓形木板的直徑為.設(shè)截得的四邊形木板為,設(shè),,,,,,如下圖所示.由且可得,在中,由正弦定理得,解得.在中,由余弦定理,得,所以,,即,可得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.在中,,由余弦定理可得,即,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,因此,這塊四邊形木板周長(zhǎng)的最大值為.故選:D.考法七三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合【例7-1】(2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象.若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn),則的值為(
)A. B. C. D.【答案】A【解析】由,化簡(jiǎn)得,所以.又是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn),所以當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最值,所以,解得.因?yàn)?,所以.故選:A.【例7-2】(2023·陜西榆林·統(tǒng)考一模)已知,函數(shù)在上恰有3個(gè)極大值點(diǎn),則的取值范圍為(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】,因?yàn)樵谏锨∮?個(gè)極大值點(diǎn),由,得,又函數(shù)的極大值點(diǎn)滿足,所以,解得.故選:C.【例7-3】(2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題)設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意可得,因?yàn)?,所以,要使函?shù)在區(qū)間恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn),又,的圖象如下所示:則,解得,即.故選:C.【例7-4】(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè))(多選)已知函數(shù)在上恰有三個(gè)零點(diǎn),則(
)A.的最小值為 B.在上只有一個(gè)極小值點(diǎn)C.在上恰有兩個(gè)極大值點(diǎn) D.在上單調(diào)遞增【答案】BD【解析】對(duì)于A選項(xiàng),因?yàn)?,?dāng)時(shí),,由函數(shù)在上恰有三個(gè)零點(diǎn),所以,,解得,所以,的最小值為,A錯(cuò);對(duì)于B選項(xiàng),由A選項(xiàng)知,,則當(dāng),即時(shí),函數(shù)取得極小值,即在上只有一個(gè)極小值點(diǎn),B對(duì);對(duì)于C選項(xiàng),當(dāng)時(shí),函數(shù)在上只有一個(gè)極大值點(diǎn),C錯(cuò);對(duì)于D選項(xiàng),當(dāng)時(shí),,因?yàn)?,所以,,所以,函?shù)在上單調(diào)遞增,D對(duì).故選:BD.考法八扇形的弧長(zhǎng)與面積【例8-1】(2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題)沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作,其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”,如圖,是以O(shè)為圓心,OA為半徑的圓弧,C是AB的中點(diǎn),D在上,.“會(huì)圓術(shù)”給出的弧長(zhǎng)的近似值s的計(jì)算公式:.當(dāng)時(shí),(
)A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖,連接,因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),所以,又,所以三點(diǎn)共線,即,又,所以,則,故,所以.故選:B.【例8-2】(2023·吉林·統(tǒng)考二模)(多選)如圖,A,B是在單位圓上運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn).初始時(shí)刻,質(zhì)點(diǎn)A在(1,0)處,質(zhì)點(diǎn)B在第一象限,且.質(zhì)點(diǎn)A以的角速度按順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng),質(zhì)點(diǎn)B同時(shí)以的角速度按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng),則(
)A.經(jīng)過(guò)1后,扇形AOB的面積為B.經(jīng)過(guò)2后,劣弧的長(zhǎng)為C.經(jīng)過(guò)6后,質(zhì)點(diǎn)B的坐標(biāo)為D.經(jīng)過(guò)后,質(zhì)點(diǎn)A,B在單位圓上第一次相即【答案】BD【解析】對(duì)于,由題意可知:經(jīng)過(guò)1后,,所以此時(shí)扇形AOB的面積為,故選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于,經(jīng)過(guò)2后,,所以此時(shí)劣弧的長(zhǎng)為,故選項(xiàng)正確;對(duì)于,經(jīng)過(guò)6后,質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為,結(jié)合題意,此時(shí)質(zhì)點(diǎn)為角的終邊與單位圓的交點(diǎn),所以質(zhì)點(diǎn)B的坐標(biāo)為,故選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于,經(jīng)過(guò)后,質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為,質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為,因?yàn)椋越?jīng)過(guò)后,質(zhì)點(diǎn),在單位圓上第一次相遇,故選項(xiàng)正確,故選:.考法九三角函數(shù)與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用【例9-1】(2023·江蘇蘇州·蘇州中學(xué)??寄M預(yù)測(cè))已知,,,若,則(
)A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?,所以,,,所以或,又,所以,所以,所以,故選:B.【例9-2】(2023·四川南充·四川省南部中學(xué)??寄M預(yù)測(cè))若分別是與的等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng),則的值為(
)A. B. C. D.【答案】A【解析】依題意可得,,且,所以,即,解得又因?yàn)?,所以,所以故選:A【例9-3】(2022·北京·統(tǒng)考高考真題)在中,.P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),且,則的取值范圍是(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系,則,,,因?yàn)椋栽谝詾閳A心,為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),設(shè),,所以,,所以,其中,,因?yàn)椋?,即;故選:D1.(2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模)“”是“”的(
)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由可得,即充分性成立;當(dāng)時(shí),可得;所以必要性不成立;所以“”是“”的充分不必要條件.故選:A2.(2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知角,且,則(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?,所以,又,所以,所以,即,因?yàn)?,所?故選:D.3.(2023·內(nèi)蒙古·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,則的最小值是(
)A. B. C. D.【答案】A【解析】關(guān)于直線對(duì)稱,,解得:,當(dāng)時(shí),取得最小值.故選:A.4.(2023·內(nèi)蒙古·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))在中,內(nèi)角所對(duì)應(yīng)的邊分別是,若,,,則(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】由余弦定理得:,即,解得:(舍)或,.故選:D.5.(2023·陜西西安·統(tǒng)考一模)下列是函數(shù)圖像的對(duì)稱軸的是(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】,顯然,,,,所以函數(shù)圖像的對(duì)稱軸的是,ABC錯(cuò)誤,D正確.故選:D6.(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè))已知,則(
)A. B. C. D.【答案】A【解析】,故選:A.7.(2022·浙江·統(tǒng)考高考真題)為了得到函數(shù)的圖象,只要把函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)(
)A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】D【解析】因?yàn)?,所以把函?shù)圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到函數(shù)的圖象.故選:D.8(2022·北京·統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù),則(
)A.在上單調(diào)遞減 B.在上單調(diào)遞增C.在上單調(diào)遞減 D.在上單調(diào)遞增【答案】C【解析】因?yàn)?對(duì)于A選項(xiàng),當(dāng)時(shí),,則在上單調(diào)遞增,A錯(cuò);對(duì)于B選項(xiàng),當(dāng)時(shí),,則在上不單調(diào),B錯(cuò);對(duì)于C選項(xiàng),當(dāng)時(shí),,則在上單調(diào)遞減,C對(duì);對(duì)于D選項(xiàng),當(dāng)時(shí),,則在上不單調(diào),D錯(cuò).故選:C.9.(2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題)將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲線C,若C關(guān)于y軸對(duì)稱,則的最小值是(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意知:曲線為,又關(guān)于軸對(duì)稱,則,解得,又,故當(dāng)時(shí),的最小值為.故選:C.10.(2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題)函數(shù)的最小正周期和最大值分別是(
)A.和 B.和2 C.和 D.和2【答案】C【解析】由題,,所以的最小正周期為,最大值為.故選:C.11.(2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題)下列區(qū)間中,函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是(
)A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,對(duì)于函數(shù),由,解得,取,可得函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為,則,,A選項(xiàng)滿足條件,B不滿足條件;取,可得函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為,且,,CD選項(xiàng)均不滿足條件.故選:A.12.(2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題)記函數(shù)的最小正周期為T(mén).若,且的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱,則(
)A.1 B. C. D.3【答案】A【解析】由函數(shù)的最小正周期T滿足,得,解得,又因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,所以,且,所以,所以,,所以.故選:A13(2021·北京·統(tǒng)考高考真題)函數(shù)是A.奇函數(shù),且最大值為2 B.偶函數(shù),且最大值為2C.奇函數(shù),且最大值為 D.偶函數(shù),且最大值為【答案】D【解析】由題意,,所以該函數(shù)為偶函數(shù),又,所以當(dāng)時(shí),取最大值.故選:D.14.(2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題)把函數(shù)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍,縱坐標(biāo)不變,再把所得曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)的圖像,則(
)A. B.C. D.【答案】B【解析】解法一:函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍,縱坐標(biāo)不變,得到的圖象,再把所得曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,應(yīng)當(dāng)?shù)玫降膱D象,根據(jù)已知得到了函數(shù)的圖象,所以,令,則,所以,所以;解法二:由已知的函數(shù)逆向變換,第一步:向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到的圖象,第二步:圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變,得到的圖象,即為的圖象,所以.故選:B.15.(2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題)若,則(
)A. B.C. D.【答案】C【解析】[方法一]:直接法由已知得:,即:,即:所以故選:C[方法二]:特殊值排除法解法一:設(shè)β=0則sinα+cosα=0,取,排除A,B;再取α=0則sinβ+cosβ=2sinβ,取β,排除D;選C.[方法三]:三角恒等變換所以即故選:C.16.(2021·全國(guó)·高考真題)若,則(
)A. B. C. D.【答案】A【解析】,,,,解得,,.故選:A.17.(2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,則常數(shù)的值為(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】,當(dāng)時(shí),,則函數(shù)的最大值為,解得.故選:C.18.(2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模)已知角在第四象限內(nèi),,則(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知可得,,所以,所以,.又角在第四象限內(nèi),所以.故選:D.19.(2023·上海黃浦·統(tǒng)考一模)已知,且函數(shù)恰有兩個(gè)極大值點(diǎn)在,則的取值范圍是(
)A. B. C. D.【答案】B【解析】∵,,∴,又∵在恰有2個(gè)極大值點(diǎn),∴由正弦函數(shù)圖象可知,,解得:.故選:B.20.(2023·陜西西安·統(tǒng)考一模)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家僧一行應(yīng)用“九服晷影算法”在《大衍歷》中建立了晷影長(zhǎng)1與太陽(yáng)天頂距的對(duì)應(yīng)數(shù)表,這是世界數(shù)學(xué)史上較早的一張正切函數(shù)表,根據(jù)三角學(xué)知識(shí)可知,晷影長(zhǎng)度l等于表高h(yuǎn)與太陽(yáng)天頂距正切值的乘積,即.對(duì)同一“表高”兩次測(cè)量,第一次和第二次太陽(yáng)天頂距分別為,且,若第二次的“晷影長(zhǎng)”與“表高”相等,則第一次的“晷影長(zhǎng)”是“表高”的(
)A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍【答案】B【解析】依題意,,則,所以第一次的“晷影長(zhǎng)”是“表高”的2倍.故選:B21.(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè))若且,則的最小值為(
)A. B. C. D.【答案】B【解析】由,得,得,則,因?yàn)?,因?yàn)?,所以,故,?dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,故,所以,所以的最小值是,故選:B22.(2023·四川南充·??寄M預(yù)測(cè))若銳角滿足,則(
)A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?,所以,又因?yàn)椋裕?,所?故選:A23.(2023·陜西榆林·統(tǒng)考一模)已知,則(
)A. B.3 C. D.【答案】C【解析】由,解得,則.故選:C.24.(2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模)若,,則(
)A. B. C. D.【答案】B【解析】變形為,即,因?yàn)?,所以,,所以,因?yàn)椋?,解得:,因?yàn)?,,解得?故選:B25.(2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù),則下列結(jié)論正確的是(
)A.在區(qū)間上單調(diào)遞減B.在區(qū)間上有極小值C.設(shè)在區(qū)間上的最大值為M,最小值為m,則D.在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)【答案】D【解析】因?yàn)?,所以.?dāng)時(shí),令,解得,則當(dāng)x變化時(shí),,的變化情況如下表所示.x-0+0-單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞減所以在區(qū)間上的圖象如圖所示.對(duì)A,在區(qū)間上單調(diào)遞增,A錯(cuò);對(duì)B,在區(qū)間上有極大值,無(wú)極小值,B錯(cuò);對(duì)C,在區(qū)間上的最大值為,最小值為,,C錯(cuò);對(duì)D,在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),D對(duì).故選:D.26.(2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,其中.在已知的條件下,則下列選項(xiàng)中可以確定其值的量為(
)A. B. C. D.【答案】B【解析】根據(jù)圖象可知,函數(shù)的圖象是由向右平移個(gè)單位得到的;由圖可知,利用整體代換可得,所以,若為已知,則可求得.故選:B27.(2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模)已知函數(shù)(,)的圖象過(guò)點(diǎn),且在區(qū)間內(nèi)不存在最值,則的取值范圍是(
)A. B.C. D.【答案】D【解析】函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn),,,即,又,,令,即,當(dāng)時(shí),函數(shù)取最值,在區(qū)間內(nèi)不存在最值,,解得,當(dāng)時(shí),不存在;當(dāng)時(shí),,又,,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),不存在;綜合得的取值范圍是.故選:D.28.(2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)在上單調(diào)遞增,且,則(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】當(dāng)時(shí),,∵在上單調(diào)遞增,∴,∴,即,∴,,,則由得:,解得:.當(dāng)時(shí),滿足題要求.故選:D29.(2023·湖南·模擬預(yù)測(cè))將函數(shù)圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)的圖像,若對(duì)于滿足的,,都有,則的值為(
)A. B. C. D.【答案】A【解析】由題可得,若滿足,則和必然一個(gè)為極大值點(diǎn),一個(gè)為極小值點(diǎn),又,則,即,所以,所以.故選:A.30.(2023·陜西·西安市西光中學(xué)校聯(lián)考一模)函數(shù)在上有唯一的極大值,則(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】方法一:當(dāng)時(shí),,因?yàn)楹瘮?shù)在上有唯一的極大值,所以函數(shù)在上有唯一極大值,所以,,解得.故選:C方法二:令,,則,,所以,函數(shù)在軸右側(cè)的第一個(gè)極大值點(diǎn)為,第二個(gè)極大值點(diǎn)為,因?yàn)楹瘮?shù)在上有唯一的極大值,所以,解得.故選:C31(2023·陜西榆林·??寄M預(yù)測(cè))將函數(shù)的圖像分別向左?向右各平移個(gè)單位長(zhǎng)度后,所得的兩個(gè)圖像的對(duì)稱軸重合,則的最小值為(
)A.3 B. C.6 D.【答案】D【解析】∵將函數(shù)的圖像分別向左、向右各平移個(gè)單位長(zhǎng)度后,所得的兩個(gè)函數(shù)圖像的對(duì)稱軸重合,故當(dāng)最小時(shí),有
,解得:,故選:D.32.(2023·吉林·統(tǒng)考二模)近日,吉林市豐滿區(qū)東山頂上新建了一處打卡地朱雀云頂觀景塔,引來(lái)廣大市民參觀,某同學(xué)在與塔底水平的A處利用無(wú)人機(jī)在距離地面21的C處觀測(cè)塔頂?shù)母┙菫?,在無(wú)人機(jī)正下方距離地面1的B處觀測(cè)塔頂仰角為,則該塔的高度為(
)A.15 B.16 C. D.【答案】B【解析】根據(jù)題意可得,m,m,所以m;設(shè)塔頂為點(diǎn),作于,如下圖所示:易知,所以,所以m,同理m,即塔高m;所以該塔的高度為16.故選:B33.(2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題)(多選)已知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱,則(
)A.在區(qū)間單調(diào)遞減B.在區(qū)間有兩個(gè)極值點(diǎn)C.直線是曲線的對(duì)稱軸D.直線是曲線的切線【答案】AD【解析】由題意得:,所以,,即,又,所以時(shí),,故.對(duì)A,當(dāng)時(shí),,由正弦函數(shù)圖象知在上是單調(diào)遞減;對(duì)B,當(dāng)時(shí),,由正弦函數(shù)圖象知只有1個(gè)極值點(diǎn),由,解得,即為函數(shù)的唯一極值點(diǎn);對(duì)C,當(dāng)時(shí),,,直線不是對(duì)稱軸;對(duì)D,由得:,解得或,從而得:或,所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為,切線方程為:即.故選:AD.34.(2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題)(多選)已知為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn),,,,則(
)A. B.C. D.【答案】AC【解析】A:,,所以,,故,正確;B:,,所以,同理,故不一定相等,錯(cuò)誤;C:由題意得:,,正確;D:由題意得:,,故一般來(lái)說(shuō)故錯(cuò)誤;故選:AC35.(2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模)(多選)函數(shù)(,)的部分圖像如圖所示,則下列結(jié)論正確的是(
)A.B.函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱C.函數(shù)在單調(diào)遞減D.函數(shù)是偶函數(shù)【答案】AB【解析】根據(jù)函數(shù)圖象可得,即函數(shù)的最小正周期為,可得,即A正確;又因?yàn)楹瘮?shù)圖象過(guò),所以,可得,又可得,所以;將代入可得,所以為函數(shù)的一條對(duì)稱軸,即B正確;當(dāng)時(shí),,根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性可得函數(shù)在上先減后增,所以C錯(cuò)誤;易得是奇函數(shù),即D錯(cuò)誤.故選:AB36.(2023·山東菏澤·統(tǒng)考一模)(多選)已知函數(shù),下列命題正確的有(
)A.在區(qū)間上有3個(gè)零點(diǎn)B.要得到的圖象,可將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.的周期為,最大值為1D.的值域?yàn)椤敬鸢浮緽C【解析】對(duì)于A項(xiàng),由已知可得,.因?yàn)?,所以,?dāng)或時(shí),即或時(shí),有,所以在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn),故A項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于B項(xiàng),將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù),故B項(xiàng)正確;對(duì)于C項(xiàng),由已知可得,,所以,的周期,最大值為,故C項(xiàng)正確;對(duì)于D項(xiàng),.令,,,則.解,可得.解,可得,所以在上單調(diào)遞增;解,可得或,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞減.且,,,.所以,當(dāng)時(shí),有最小值;當(dāng)時(shí),有最大值.所以,的值域?yàn)椋蔇項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:BC.37.(2023·山東威?!そy(tǒng)考一模)(多選)已知函數(shù)的部分圖像如圖所示,則(
)A. B.C.在上單調(diào)遞增 D.若為偶函數(shù),則【答案】AC【解析】由圖像可知A=1,,則,則,故,且過(guò)點(diǎn),則,,因?yàn)?,所以,故,故A正確,B錯(cuò)誤;,令,在時(shí)單調(diào)遞增,則在上單調(diào)遞增,故C正確;為偶函數(shù),則,即,故D錯(cuò)誤;故選:AC.38.(2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模)(多選)已知函數(shù),其圖象相鄰對(duì)稱軸間的距離為,點(diǎn)是其中一個(gè)對(duì)稱中心,則下列結(jié)論正確的是(
)A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸方程是C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D.將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半,再把得到的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,可得到正弦函數(shù)的圖象【答案】AB【解析】已知函數(shù)(,),其圖像相鄰對(duì)稱中軸間的距離為,故最小正周期,,點(diǎn)是其中一個(gè)對(duì)稱中心,有,,,由,∴,可以求得.最小正周期,故選項(xiàng)正確;由于,所以是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸方程,故選項(xiàng)正確;時(shí),正弦曲線的先增后減,故選項(xiàng)錯(cuò)誤;將函數(shù)圖像上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半,再把得到的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,可得到,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選:.39.(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè))(多選)下列是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程的是(
)A. B.C. D.【答案】BC【解析】,因?yàn)楹瘮?shù)的圖象的對(duì)稱軸方程為,即,所以的圖象的對(duì)稱軸方程為,易知BC正確.故答案為:BC40.(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè))(多選)已知函數(shù),則下列說(shuō)法正確的有(
)A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為C.函數(shù)在區(qū)間上取得最大值時(shí)D.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】CD【解析】由題意得,,A選項(xiàng):函數(shù)的最小正周期,所以A錯(cuò)誤;B選項(xiàng):令,得,故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,所以B錯(cuò)誤;C選項(xiàng):當(dāng)時(shí),,則當(dāng),即時(shí),函數(shù)取得最大值,所以C正確;D選項(xiàng):由,得,取,得,故函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,所以D正確.故選:CD41.(2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考二模)(多選)已知函數(shù),將的圖像上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,然后橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)的圖像.若為奇函數(shù),且最小正周期為,則下列說(shuō)法正確的是(
)A.函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C.不等式的解集為D.方程在上有2個(gè)解【答案】ACD【解析】根據(jù)題意可得,,又因?yàn)樽钚≌芷跒椋瑒t,且,則,即,又因?yàn)闉槠婧瘮?shù),則解得,且,所以當(dāng)時(shí),,所以,則,對(duì)于A,當(dāng)時(shí),,所以點(diǎn)是的對(duì)稱中心,故正確;對(duì)于B,令,解得,所以不是的子集,故錯(cuò)誤;對(duì)于C,因?yàn)?,即,所以,解得,故正確;對(duì)于D,分別畫(huà)出與在的圖像,通過(guò)圖像即可得到共有兩個(gè)交點(diǎn),故正確.故選:ACD42(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè))(多選)密位制是度量角的一種方法,把一周角等分為6000份,每一份叫做1密位的角.在角的密位制中,單位可省去不寫(xiě),采用四個(gè)數(shù)碼表示角的大小,在百位數(shù)與十位數(shù)之間畫(huà)一條短線,如7密位寫(xiě)成“0—07”,478密位寫(xiě)成“4—78”.若,則角可取的值用密位制表示可能是(
)A.10—50 B.2—50 C.13—50 D.42—50【答案】BD【解析】,,,,即,或,對(duì)于選項(xiàng)A:密位制10—50對(duì)應(yīng)的角的弧度制為,不符合題意,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)B:密位制2—50對(duì)應(yīng)的角的弧度制為,符合題意,故選項(xiàng)B正確;對(duì)于選項(xiàng)C:密位制13—50對(duì)應(yīng)的角的弧度制為,不符合題意,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D:密位制42—50對(duì)應(yīng)的角的弧度制為,符合題意,故選項(xiàng)D正確;綜上所述,選項(xiàng)BD正確,故選:BD.43.(2023·吉林·長(zhǎng)春十一高校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))(多選)已知函數(shù)()的最小正周期滿足,且是的一個(gè)對(duì)稱中心,則(
)A. B.的值域是C.是的一條對(duì)稱軸 D.是的一個(gè)零點(diǎn)【答案】BC【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期滿足,且,則,解得:,令,,解得:,,則函數(shù)()的對(duì)稱中心為(),又有是的一個(gè)對(duì)稱中心,所以,,即,,所以,所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤;則函數(shù),當(dāng)時(shí),,則,所以B選項(xiàng)正確;當(dāng)時(shí),,則是函數(shù)的一條對(duì)稱軸,所以C選項(xiàng)正確;當(dāng)時(shí),,則不是函數(shù)的零點(diǎn),所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤;故選:BC.44.(2023·海南省直轄縣級(jí)單位·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))(多選)已知函數(shù),則下列說(shuō)法中正確的有(
)A.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B.函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸是C.若,則函數(shù)的最小值為D.若,,則的最小值為【答案】BCD【解析】在的圖象上取一點(diǎn),其關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)不在的圖象上,所以函數(shù)的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,故A不正確;因?yàn)?,所以函?shù)圖象的一條對(duì)稱軸是,故B正確;若,則,所以,故C正確;因?yàn)?,所以,所以,故D正確.故選:BCD45.(2022·浙江·統(tǒng)考高考真題)我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶,發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式,他把這種方法稱為“三斜求積”,它填補(bǔ)了我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白.如果把這個(gè)方法寫(xiě)成公式,就是,其中a,b,c是三角形的三邊,S是三角形的面積.設(shè)某三角形的三邊,則該三角形的面積___________.【答案】.【解析】因?yàn)?,所以.故答案為?46.(2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題)記函數(shù)的最小正周期為T(mén),若,為的零點(diǎn),則的最小值為_(kāi)___________.【答案】【解析】因?yàn)?,(,)所以最小正周期,因?yàn)?,又,所以,即,又為的零點(diǎn),所以,解得,因?yàn)?,所以?dāng)時(shí);故答案為:47.(2022·浙江·統(tǒng)考高考真題)若,則__________,_________.【答案】
【解析】[方法一]:利用輔助角公式處理∵,∴,即,即,令,,則,∴,即,∴,則.故答案為:;.[方
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