【解析】山西省忻州市第一中學2019-2020學年高二下學期期中考試數(shù)學（理）試題

20192020學年度第二學期期中考試高二數(shù)學（理）試題第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（每小題給出的四個選項中，只有一個選項正確.每小題5分，共60分）1.若復數(shù)共軛復數(shù)滿足，則復數(shù)等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，代入已知等式利用復數(shù)相等的定義計算．【詳解】設(shè)，則為，即，所以，解得，．故選：B．【點睛】本題考查復數(shù)的運算，考查復數(shù)相等的定義，掌握復數(shù)相等定義是解題關(guān)鍵．2.已知:命題“”;命題“”,則下列命題正確的是A.命題“”是真命題 B.命題“”是真命題C.命題“”是真命題 D.命題“”是真命題【答案】B【解析】【詳解】【分析】因為,所以命題p是假命題,則命題是真命題;由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知,命題q是真命題,命題是假命題,故命題“”是真命題.故選B3.如右邊程序框圖所示，已知集合A={x|框圖中輸出的x值}，集合B={y|框圖中輸出的y值}，全集U=Z（Z為整數(shù)集），當輸入x的值為一l時．（A. B. C. D.【答案】D【解析】考點：循環(huán)結(jié)構(gòu)；交、并、補集的混合運算．專題：圖表型．分析：結(jié)合程序框圖的要求，寫出所有的循環(huán)結(jié)果，即求出集合A，B；利用集合的交集，補集的定義求出值．解答：解；經(jīng)過第一次循環(huán)輸出y=3，x=0經(jīng)過第二次循環(huán)輸出y=1，x=1經(jīng)過第三次循環(huán)輸出y=1，x=2經(jīng)過第四次循環(huán)輸出y=3，x=3經(jīng)過第五次循環(huán)輸出y=5，x=4經(jīng)過第六次循環(huán)輸出y=7，x=5經(jīng)過第七次循環(huán)輸出y=9，x=6結(jié)束循環(huán)所以A={0，1，2，3，4，5，6}；B={3，1，1，3，5，7，9}（CUA）∩B={3，1，7，9}故選D點評：本題考查解決程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)是常采用寫出其前幾次循環(huán)結(jié)果，找規(guī)律、考查集合的交集，補集，并集的定義．4.已知向量滿足,向量是與同向的單位向量,則向量在向量上的投影向量為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)投影的公式以及單位向量的概念求解即可.【詳解】.故在上的投影為.又因為是與同向的單位向量.故在上的投影向量為.故選：A【點睛】本題主要考查了投影的公式以及單位向量的理解等.屬于基礎(chǔ)題型.5.等于（）A.1 B.2 C. D.4【答案】D【解析】【分析】對定積分進行化簡，然后根據(jù)的正負進行分段，根據(jù)定積分的公式，得到答案.【詳解】.故選：D.【點睛】本題考查利用微積分基本定理求定積分的值，屬于簡單題.6.現(xiàn)有6位同學站成一排照相，甲乙兩同學必須相鄰的排法共有多少種？（）A.720 B.360 C.240 D.120【答案】C【解析】【分析】6名同學排成一排，其中甲、乙兩人必須排在一起，這是相鄰問題，一般用“捆綁法”.將甲乙兩名同學“捆綁”在一起，看成一個元素，再與剩下的4人一起全排列，根據(jù)分步計數(shù)原理即可得出結(jié)果.【詳解】將甲乙“捆綁”在一起看成一個元素，與其余4人一起排列，而甲和乙之間還有一個排列，共有.故選：C.【點睛】本題考查了排列組合、兩個基本原理的應(yīng)用，相鄰問題“捆綁法”求解，屬于基礎(chǔ)題.7.若，則函數(shù)的圖象在處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由微積分基本定理求得值，再根據(jù)導函數(shù)求切線方程.【詳解】，，，，則切線方程為，即．【點睛】本題考查微積分基本定理和由導函數(shù)求切線方程，屬于基礎(chǔ)題.8.從點向圓引切線，則切線長的最小值()A. B.5 C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)切線長為,則再利用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)求函數(shù)的最小值得解.【詳解】設(shè)切線長為,則,.故選:A.【點睛】本題主要考查圓的切線問題,考查直線和圓的位置關(guān)系,意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.9.已知某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是邊長為的等腰三角形和邊長為的正方形，則該幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】【分析】根據(jù)幾何體的三視圖，得；該幾何體是棱長為的正方體中一三棱錐P﹣ABC，如圖所示；∴該三棱錐的體積為××a2×a=．故選A．點睛：思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長對正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長是幾何體的長；俯視圖的長是幾何體的長，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.10.已知實數(shù)1，，4構(gòu)成一個等比數(shù)列，則圓錐曲線的離心率為（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】，則，當，則，離心率；當，則，離心率；所以離心率為或，故選C．11.設(shè)函數(shù)是定義在上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為，且有則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】令，確定在上是減函數(shù)，不等式等價為，根據(jù)單調(diào)性解得答案.【詳解】由，得，即，令，則當時，得，即在上是減函數(shù)，，，即不等式等價為，在是減函數(shù)，由得，即，又，解得，故.故選:：.【點睛】本題考查了利用函數(shù)單調(diào)性解不等式，構(gòu)造函數(shù)，確定其單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.12.已知函數(shù)，，，若，，使得成立，則的最小值為（）A.5 B.4 C. D.3【答案】A【解析】【詳解】【分析】,則當時，,當時，,,,作函數(shù)的圖像如圖所示，

當時，方程兩根分別為和，則的最小值為.故選A點晴:本題考查函數(shù)導數(shù)與單調(diào)性,任意性與存在性問題，可利用數(shù)形結(jié)合的辦法解決，如果函數(shù)較為復雜，可結(jié)合導數(shù)知識確定極值點和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象.對于方程的有解，恒成立問題以及可轉(zhuǎn)化為有解、恒成立問題的問題，注意利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法.第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分）13.若，滿足約束條件，則的最小值為_____．【答案】【解析】【分析】先畫出約束條件的可行域，再求出可行域中各角點的坐標，將各點坐標代入目標函數(shù)的解析式，分析后易得目標函數(shù)的最小值．【詳解】解：由約束條件得如圖所示的三角形區(qū)域，令，，顯然當平行直線過點，時，取得最小值為：；故答案為：．【點睛】本題考查線性規(guī)劃求最小值問題，我們常用幾何法求最值.14.已知向量與的夾角為，，，則__________.【答案】6.【解析】【分析】求出即得解.【詳解】由題意，向量的夾角為，所以，所以.故答案為：6【點睛】本題主要考查向量模的計算，考查向量的數(shù)量積運算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.15.若函數(shù)在上無極值點，則實數(shù)的取值范圍是_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，函數(shù)的導數(shù)在R上恒大于等于零即可，，分離參數(shù)即可.【詳解】因為函數(shù)在R上無極值點，故函數(shù)單調(diào)遞增，所以恒成立，即恒成立，又，所以.【點睛】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性，極值，函數(shù)的導數(shù)，屬于中檔題.16.已知定義在上的函數(shù)存在零點，且對任意，都滿足，則函數(shù)有_____個零點．【答案】3.【解析】因為定義在上的函數(shù)存在零點，且對任意，都滿足，所以可設(shè)為的零點，則，，，令得分別作出和函數(shù)圖象，如圖所示，由圖象可知，和函數(shù)圖象有三個交點，有三個零點，故答案為.【方法點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)與方程思想以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于難題.數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學問題的一種重要思想方法，.函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表達形式，它形象地揭示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究函數(shù)的數(shù)量關(guān)系提供了“形”的直觀性．歸納起來，圖象的應(yīng)用常見的命題探究角度有：1、確定方程根的個數(shù)；2、求參數(shù)的取值范圍；3、求不等式的解集；4、研究函數(shù)性質(zhì)．三、解答題（本大題6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，并把解答寫在答卷紙的相應(yīng)位置上只寫最終結(jié)果的不得分）17.在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且asinB＝－bsin.(1)求A；(2)若△ABC的面積S＝c2，求sinC的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化簡已知等式即得A=.(2)先根據(jù)△ABC的面積S＝c2得到b＝c，再利用余弦定理得到a＝c，再利用正弦定理求出sinC的值．【詳解】(1)因為asinB＝－bsin，所以由正弦定理得sinA＝－sin，即sinA＝－sinA－cosA，化簡得tanA＝－，因為A∈(0，π)，所以A＝.(2)因為A＝，所以sinA＝，由S＝c2＝bcsinA＝bc，得b＝c，所以a2＝b2＋c2－2bccosA＝7c2，則a＝c，由正弦定理得sinC＝.【點睛】本題主要考查三角恒等變換，考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理計算能力.18.已知等差數(shù)列中，，，，順次成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，的前項和，求.【答案】(1)；（2）【解析】【分析】（1）利用三項成等比數(shù)列可得，利用和來表示該等式，可求得；利用等差數(shù)列通項公式求得結(jié)果；（2）由（1）可得，則可利用裂項相消的方法來進行求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，順次成等比數(shù)列，又，化簡得：，解得：（2）由（1）得：【點睛】本題考查等差數(shù)列通項公式的求解、裂項相消法求數(shù)列的前項和的問題，關(guān)鍵是熟練掌握關(guān)于通項中涉及到的裂項方法.19.某蔬果經(jīng)銷商銷售某種蔬果，售價為每公斤25元，成本為每公斤15元.銷售宗旨是當天進貨當天銷售.如果當天賣不出去，未售出的全部降價以每公斤10元處理完.根據(jù)以往的銷售情況，得到如圖所示的頻率分布直方圖：（1）根據(jù)頻率分布直方圖計算該種蔬果日需求量的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值代表）；（2）該經(jīng)銷商某天購進了250公斤這種蔬果，假設(shè)當天的需求量為公斤，利潤為關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并結(jié)合頻率分布直方圖估計利潤不小于1750元的概率.【解析】【分析】（1）用頻率分布直方圖的每一個矩形的面積乘以矩形的中點坐標求和即為平均值；（2）討論日需求量與250公斤的關(guān)系，寫出分段函數(shù)再利用頻率分布直方圖求概率即可.【詳解】（1）故該種蔬果日需求量的平均數(shù)為265公斤.（2）當日需求量不低于250公斤時，利潤元,當日需求量低于250公斤時，利潤元所以由得，所以＝故估計利潤不小于1750元概率為0.7.【點睛】本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，做此類題的關(guān)鍵是理解題意，屬于中檔題.20.如圖，在多面體中，平面，平面平面，是邊長為2的等邊三角形，，．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】(1)通過面面垂直的判定轉(zhuǎn)化為線面垂直，進而轉(zhuǎn)化為線線垂直從而證明;(2)建立空間直角坐標系，利用法向量計算即可.【詳解】證明：（1）取中點，連結(jié)，∵，∴，，∵平面，平面平面，平面平面，∴平面，∵平面，∴，又，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵是等邊三角形，∴，∵平面，平面平面，平面平面，∴平面，∴平面，∵平面，∴平面平面．解：（2）由（1）得平面，∴，又，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，則，平面的一個法向量為，設(shè)平面一個法向量為，，則，取，得，設(shè)平面與平面所成銳二面角的平面角為，則．∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為．【點睛】本題主要考查學生的空間想象能力及計算能力,難度不大.建立合適的空間直角坐標系是解決本題的關(guān)鍵.21.在直角坐標系中，點，是曲線上的任意一點，動點滿足（1）求點的軌跡方程；（2）經(jīng)過點的動直線與點的軌跡方程交于兩點，在軸上是否存在定點（異于點），使得？若存在，求出的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在點符合題意.【解析】【分析】（1）設(shè)，，利用相關(guān)點代入法得到點的軌跡方程；（2）設(shè)存在點，使得，則，因為直線l的傾斜角不可能為，故設(shè)直線l的方程為，利用斜率和為0，求得，從而得到定點坐標.【詳解】（1）設(shè)，，則，，.又，則即因為點N為曲線上的任意一點，所以，所以，整理得，故點C的軌跡方程為.（2）設(shè)存在點，使得，所以.由題易知，直線l的傾斜角不可能為，故設(shè)直線l的方程為，將代入，得.設(shè)，，則，.因為，所以，即，所以.故存在點，使得.【點睛】本題考查相關(guān)點代入法求軌跡方程及拋物線中的定點問題，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，求解時注意直線方程的設(shè)法，能使運算過程更簡潔.22.已知函數(shù)；.（1）判斷在上的單調(diào)性，并說明理由；（2）求的極值；（3）當時，，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）見解析（2）極小值.（3）【解析】【分析】（1）求導數(shù)，根據(jù)導函數(shù)符號確定單調(diào)性，（2）利用導數(shù)研究導函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定導函數(shù)符號