二次根式教案

本文格式為Word版，下載可任意編輯——二次根式教案浙江版數(shù)學(xué)八年級(jí)下教案——第一章《二次根式》

§1.1二次根式

教學(xué)目標(biāo)：

1、經(jīng)歷二次根式概念的發(fā)生過(guò)程；2、了解二次根式的概念；

3、理解二次根式何時(shí)有意義，無(wú)意義，會(huì)在簡(jiǎn)單狀況下求根號(hào)內(nèi)所含字母的取值范圍；4、會(huì)求二次根式的值。

重點(diǎn)與難點(diǎn)：本節(jié)教學(xué)的重點(diǎn)是二次根式的概念。例1的第（2），（3）題學(xué)生不簡(jiǎn)單理解，是本節(jié)教學(xué)的難點(diǎn)。

教學(xué)設(shè)想：課本在回想算術(shù)平方根的基礎(chǔ)上，通過(guò)“合作學(xué)習(xí)〞的三個(gè)問(wèn)題引出二次根式的概念，并說(shuō)明以前學(xué)的數(shù)的算術(shù)平方根也叫二次根式，在例題和練習(xí)的安排上，著重表達(dá)三個(gè)方面的要求：一是求二次根式中字母的取值范圍；二是求二次根式的值；三是用二次根式表示有關(guān)的問(wèn)題。因此在教學(xué)中我采用基本依照教材的主體設(shè)計(jì)意圖，按教材的步驟進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生在自主學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)教材中的學(xué)習(xí)重點(diǎn)，概括學(xué)習(xí)所得，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。教學(xué)過(guò)程：

一、引入（合作學(xué)習(xí)）：

根據(jù)圖1—1所示的直角三角形、正方形和等邊三角形的條件，完成以下填空：

直角三角形的斜邊長(zhǎng)是____________；正方形的邊長(zhǎng)是____________；等邊三角形的邊長(zhǎng)是_________。

首先是讓學(xué)生進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，并在實(shí)際情境中寫(xiě)出表示算術(shù)平方根的式子。提問(wèn)：你認(rèn)為所得的各代數(shù)式的共同特點(diǎn)是什么？

1、表示的是算術(shù)平方根；2、根號(hào)內(nèi)含有字母的代數(shù)式。

在學(xué)生自主學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，要求學(xué)生對(duì)上述答案進(jìn)行解釋。其中學(xué)生對(duì)于答案3，等邊三角形的邊長(zhǎng)為2s，一些學(xué)生會(huì)采用教材中以下的答案抄寫(xiě)，而不知該答案得到的原因。因此首先選不同程度的幾名學(xué)生回復(fù)，勉勵(lì)學(xué)生大膽表述看法，然后作適當(dāng)點(diǎn)評(píng)。對(duì)于該題的答案的得到過(guò)程可以用幾何的推理的方法，即畫(huà)出其中一條高后利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算的方法或利用公式S正?＝３a2（a為該三角形的邊長(zhǎng)）的方法得到。

４補(bǔ)充練習(xí)：判斷，以下各式中哪些是二次根式？

7；

12；

x2y(y?0)；x2?y2；?3；a；a（a＜0＝；

二、新課講授

1、二次根式的概念：

（1）引導(dǎo)學(xué)生概括二次根式的定義：像a2?4,b?3,2s這樣表示的算術(shù)平方根，且根號(hào)內(nèi)含字母的代數(shù)式叫做二次根式。為了便利，我們把一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根（如1）3,2也叫做二次根式。??即一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根。

（2）概念深化：

提問(wèn)：a?1是不是二次根式？a?1呢？9呢？??學(xué)生對(duì)于上述的問(wèn)題，在判斷上會(huì)產(chǎn)生一定的歧義，此時(shí)應(yīng)依照教參的要求進(jìn)行教學(xué)：a?1、9是二次根式，而a?1不是二次根式，只能稱(chēng)為含有二次根式的代數(shù)式。此外對(duì)于2x?2x?3這樣的代數(shù)式，他們的系數(shù)或常數(shù)項(xiàng)是二次根式，而整個(gè)代數(shù)式仍看做是整式。

2議一議：二次根式a?1表示什么意義？此算術(shù)平方根的被開(kāi)方式是什么？被開(kāi)方式必需滿足什么條件的二次根式才有意義？其中字母a需滿足什么條件？為什么？??經(jīng)學(xué)生探討后，指定一名學(xué)生回復(fù)，在指定一名學(xué)生點(diǎn)評(píng)。教師總結(jié)：強(qiáng)調(diào)二次根式根號(hào)內(nèi)字母的取值范圍必需滿足被開(kāi)方式（數(shù)）大于或等于零（非負(fù)）。三、講解例題：

例1、求以下二次根式中字母a的取值范圍：（因?qū)W生學(xué)習(xí)的需要，將例題進(jìn)行適當(dāng)改變，并進(jìn)行一定增加。）

①?3a；②1；③1?2a(a?3)2；④x?3；⑤23?4x；⑥?5x；⑦|x|?1。

練習(xí)1：當(dāng)以下各題的字母取何值時(shí)，以下各式為二次根式：（1）a2?b2(2)?3x(3)

12x(4)

?32?x

按提問(wèn)→回復(fù)→板書(shū)→獨(dú)立解答的方式教學(xué)，問(wèn)題設(shè)計(jì)如下：被開(kāi)方式需滿足什么?由此可得怎樣的不等式？第（1）（2）兩題可以轉(zhuǎn)化為解怎樣的不等式？第（3）題不解不等式就能確定a的取值范圍嗎？

教師總結(jié)：從整體上來(lái)說(shuō)，求二次根式中字母的取值范圍主要是應(yīng)用整個(gè)被開(kāi)方式大于等于0這一結(jié)論。二次根式的本質(zhì)是數(shù)的算術(shù)平方根，這是解決有關(guān)二次根式的一系列問(wèn)題的最根本的依據(jù)。屬于此類(lèi)問(wèn)題的基礎(chǔ)條件。這類(lèi)問(wèn)題可以化歸為解決開(kāi)方數(shù)（或式）不小于零的不等式.但是，這類(lèi)問(wèn)題還需要顧及其他代數(shù)式的條件.

練習(xí)2：求以下二次根式中字母的取值范圍：（1）a?3；（2）?13?a2a?1.；（3）例2當(dāng)x=4時(shí)，求二次根式1?2x的值.

1、引導(dǎo)學(xué)生回想代數(shù)式的值的概念和如何求代數(shù)式的值.2、指出二次根式也是一種代數(shù)式，求二次根式的值和求其他代數(shù)式的值方法一致.四、課堂練習(xí)：

1、完成課本“課內(nèi)練習(xí)〞.

2、物體自由下落時(shí)，下落距離h（米）可用公式h=5t2來(lái)估計(jì)，其中t（秒）表示物體下落所經(jīng)過(guò)的時(shí)間，（1）把這個(gè)公式變形成用h表示t的公式；（2）一個(gè)物體從54.5米高的塔頂自由下落，落到地面需幾秒（確切到0.1秒）?

3、已知a.b為實(shí)數(shù)，且滿足a?2b?1?1?2b?1求a的值4、按以下程序運(yùn)算，全班分成4個(gè)組，當(dāng)x=1時(shí)，每人做一步，看哪一組完成得快.x取其他數(shù)試一試.

五、小結(jié)

師生共同完成：通過(guò)今天的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲或困惑？六、布置作業(yè)

課本“作業(yè)題〞及作業(yè)本。

§1.2二次根式的性質(zhì)（第一課時(shí)）

教學(xué)目標(biāo)：

1、經(jīng)歷二次根式的性質(zhì)：

?a?2?a(a?0)?a?a?0?、a2?a??的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，體驗(yàn)歸

?-a(a?0)納、猜想的思想方法。

2、了解二次根式的上述兩特性質(zhì)。3、會(huì)運(yùn)用上述兩特性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算。

重點(diǎn)與難點(diǎn)：

本節(jié)教學(xué)重點(diǎn)：是理解二次根式的上述兩特性質(zhì)；教學(xué)難點(diǎn)：是靈活運(yùn)用上述兩特性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算。

教學(xué)設(shè)想：在教學(xué)中首先是進(jìn)一步梳理和穩(wěn)定已生成的知識(shí)，引入二次根式的性質(zhì)1與

平方根的關(guān)系。并從學(xué)生熟悉的知識(shí)出發(fā)先練習(xí)、再觀測(cè)發(fā)現(xiàn)總結(jié)規(guī)律得出性質(zhì)一。先練習(xí)、再觀測(cè)發(fā)現(xiàn)總結(jié)規(guī)律得出性質(zhì)二。再通過(guò)梳理知識(shí)使條理明白，并及時(shí)練習(xí)穩(wěn)定，運(yùn)用二次根式的兩特性質(zhì)解決基礎(chǔ)的運(yùn)算問(wèn)題。其間還要求規(guī)范書(shū)寫(xiě)知道運(yùn)算程序、強(qiáng)調(diào)性質(zhì)運(yùn)用的條件，二次根式運(yùn)算順序。

教學(xué)過(guò)程：

1、動(dòng)動(dòng)腦筋：（利用教材中的例子）。

你能把一張三邊分別為5、5、10的三角形紙片放入4×4方格內(nèi)，使它的三個(gè)頂點(diǎn)都在方格的頂點(diǎn)上嗎?

2、利用教材中的填空：

①圖1中正方形的邊長(zhǎng)是_________。（a）②參考圖2，完成以下填空：2??2=______；7??2?=_________；???12????2=_________。

（將教材中的直觀圖形[正方形]作適當(dāng)拓展，啟發(fā)誘導(dǎo)數(shù)形結(jié)合思想，目的是從熟

悉的知識(shí)出發(fā)先練習(xí)、再觀測(cè)發(fā)現(xiàn)總結(jié)規(guī)律得出性質(zhì)一。）

你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

歸納二次根式性質(zhì)1：?a?2?a?a?0?3、穩(wěn)定新學(xué)知識(shí)，搶答：13(1)(3)2?___；(2)(3)2?____(3)(?5)2?____；(4)(?2)2?____

22；。

4、合作學(xué)習(xí)：

232?____；3?____。(?5)?____；?5?__。02?__；0?__。

并猜想：a2??

此處的“合作學(xué)習(xí)〞包含著兩個(gè)過(guò)程：一是比較左右兩邊的式子的結(jié)果，得到基本形狀a2=a。二是比較右邊的式子，得到絕對(duì)值的解答結(jié)果。

你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？對(duì)于學(xué)生不能回復(fù)回思路不明時(shí)，則如下點(diǎn)撥：

比較a2和a有何關(guān)系？當(dāng)a≥0時(shí)，a2＝_____；和a﹤0，a2＝_____。歸納二次根式性質(zhì)2：5、看誰(shuí)的正確率高？

21(1)(?1)2?____；(2)()2?____；(3)(?2)2?____；(4)(?3)2?_____；

53(5)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖，則a2?_____。

6、例1、計(jì)算：

a-2-101(1)(?10)2?(15)2；

(2)[2?(?2)2]?2?22；

22(3)3(3?1)?3；(4)(?5)?16?(?2)處理：此題關(guān)鍵是先化簡(jiǎn)后計(jì)算，講解時(shí)邊引導(dǎo)學(xué)生分析邊板書(shū).特別是（3）在計(jì)算時(shí)應(yīng)用結(jié)合律。對(duì)學(xué)生的要求是能領(lǐng)悟方法，會(huì)正遷移。

當(dāng)堂練習(xí)：

（1）??17??2?（2）?3?13；

???2??3?2??3?23??在本環(huán)節(jié)教學(xué)中評(píng)價(jià)及強(qiáng)調(diào)性質(zhì)運(yùn)用的條件及部驟，要求能書(shū)寫(xiě)a2＝a的過(guò)程。

2例2、計(jì)算：（1）(2?2)?|1?2|；（2）(?)2?352342?53觀測(cè)與思考，一名學(xué)生板演，其余自己練習(xí)，比較先算括號(hào)

里與直接利用二次根式性質(zhì)的優(yōu)劣強(qiáng)調(diào)先判斷a2中a的符號(hào)。而對(duì)于此題2，學(xué)生可能會(huì)先算減法，后開(kāi)方。因此增加了（1），這樣處理的目的是：（1）學(xué)生去做只能先化簡(jiǎn)，接下來(lái)引導(dǎo)學(xué)生去分析如何去絕對(duì)值，后計(jì)算。（2）有（1）做鋪墊學(xué)生多數(shù)（設(shè)想）會(huì)應(yīng)用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)（不會(huì)先減掉），但最終說(shuō)明這種題目這樣做不用通分，明顯簡(jiǎn)便。

例3、如圖，P是直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)。（1）用二次根式表示點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離。（2）假使x?2,y?7，求點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離。結(jié)合坐標(biāo)軸靈活運(yùn)用二次根式的兩特性質(zhì)。

練習(xí)：如圖，P?5,2是直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)，求點(diǎn)P到原點(diǎn)的距

?y20P離。

7、課堂練習(xí)：課本8頁(yè)作業(yè)題1～6

穩(wěn)定和運(yùn)用二次根式的兩特性質(zhì)，練習(xí)，自由到黑板上解題8、課堂小結(jié)：談?wù)勀憬裉斓氖斋@，教師幫助歸納。（在學(xué)生自由回復(fù)的基礎(chǔ)上幫助他們梳理和穩(wěn)定知識(shí)。）

9、布置作業(yè)：10、動(dòng)動(dòng)腦筋

你能把一張三邊分別為5、5、10的三角形紙片放入4×4方格內(nèi)，使它的三個(gè)頂點(diǎn)都在方格的頂點(diǎn)上嗎?

?5,2?5x

§1.2二次根式的性質(zhì)（其次課時(shí)）

教學(xué)目標(biāo)：

1、經(jīng)歷二次根式的性質(zhì)ab=a.b(a≥0，b≥0)；a=ba(a≥0，b＞0)的發(fā)現(xiàn)b過(guò)程，體驗(yàn)歸納、類(lèi)比的思想方法。

2、了解二次根式的積、商的算術(shù)平方根的兩特性質(zhì)。3、會(huì)用二次根式的性質(zhì)將簡(jiǎn)單二次根式化簡(jiǎn)。

重點(diǎn)與難點(diǎn)：

教學(xué)重點(diǎn)：二次根式的積和商的性質(zhì)。教學(xué)難點(diǎn)：例3第（4）題和探究活動(dòng)涉及較繁雜的化簡(jiǎn)過(guò)程和一些技巧的運(yùn)用，是本節(jié)教學(xué)的難點(diǎn)。

教學(xué)設(shè)想：通過(guò)學(xué)生自己的動(dòng)手操作，在回想舊知的基礎(chǔ)上，探究二次根式的乘法和

除法的性質(zhì)，并在應(yīng)用中注意對(duì)限制條件和總體思路及本卷須知的歸納，真正地讓學(xué)生把握方法，提升學(xué)習(xí)能力。

教學(xué)過(guò)程：

一、合作學(xué)習(xí)，引出課題

1、復(fù)習(xí)舊知：二次根式：（1）定義：a(a?0)

（2）兩個(gè)基本性質(zhì)：①(a)2?a(a?0)；②a2?a???a(a?0)

?-a(a?0)2、合作學(xué)習(xí)：我們繼續(xù)來(lái)探究二次根式的其他性質(zhì)：填空（可用計(jì)算器計(jì)算）4?9?_____，4?9?_____；4?5?_____，4?5?____；100?0.01?____，100?0.01?___；916?_____，9?16?____；3?___，3?2?___；2比較左右兩邊的等式，你發(fā)現(xiàn)了什么？你能用字母表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？

（教材采用的不是證明的方法，而是歸納、類(lèi)比，簡(jiǎn)單使學(xué)生接受。所以教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀測(cè)，從中得到二次根式的乘法、除法性質(zhì)，盡量勉勵(lì)學(xué)生用自己的語(yǔ)言總結(jié)出性質(zhì)，然后作適當(dāng)點(diǎn)評(píng)，從而引出課題）。二、探究新知，體驗(yàn)成功

1、積的算術(shù)平方根的性質(zhì)。

積的算術(shù)平方根，等于積中各因式的算術(shù)平方根的積（各因式必需是非負(fù)數(shù)）。即

ab?a?b(a?0,b?0)。

在此時(shí)，由于學(xué)生還沒(méi)有真正地經(jīng)歷過(guò)運(yùn)用，因此他們對(duì)于a?0,b?0的條件的應(yīng)用還是會(huì)存在一定的錯(cuò)誤，可能會(huì)出現(xiàn)(?4)?(?9)??4??9的錯(cuò)誤。