川師概率論其次章習(xí)題解答

本文格式為Word版，下載可任意編輯——川師概率論其次章習(xí)題解答習(xí)題二

1.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

x?0,?0,?14,0?x?1,??F(x)??13,1?x?3,

?12,3?x?6,??x?6.?1,試求X的概率分布列及P(X?1)，P(X?1)，P(X?3)，P(X?3).解:隨機(jī)變量X的分布列為036X1P(X?1)?P(0)?P(1)?F(1)?；431112P(X?3)?P(6)?；P(X?3)?P(3)?P(6)???.

26232.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

x??1,?0,?a,?1?x?1,?F(x)??2?3?a,1?x?2,?a?b,x?2.?且P(X?2)?12，試求a，b和X的分布列.解：由分布函數(shù)的定義可知a?b?1

又由于P(X?2)?12，則

7?2?1P(X?2)?P(X?2)?P(X?2)?F(2)?F(2?0)?a?b???a???2a?b?

6?3?2故a?16，b?56.

3.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

x?1,?0,?F(x)??lnx,1?x?e,

?1,x?e.?試求P(X?2.5)，P(0?X?3.5)，P(1.5?X?2.5).解:根據(jù)題意X為連續(xù)型隨機(jī)變量，則

P(X?2.5)?F(2.5?0)?F(2.5)?ln5?ln2，

P(0?X?3.5)?F(3.5)?F(0?0)?F(3.5)?F(0)?1，

P(1.5?X?2.5)?F(2.5?0)?F(1.5?0)?F(2.5)?F(1.5)?ln5?ln3。

4.若P(X?x1)?1??，P(X?x2)?1??，其中x1?x2，試求P(x1?X?x2).解:P(x1?X?x2)?P(X?x2)?P(X?x1)?P(X?x2)?[1?P(X?x1)]?1???[1?(1??)]?1????.

5.一只口袋中有5個球，編號分別為1，2，3，4，5.從中任意取3個，以X表示取出的

則P(X?1)?P(0)?3個球中的最大號碼.(1)求X的分布列；

(2)寫出X的分布函數(shù)，并作圖.

解：(1)根據(jù)題意X表示取出球中最大的號碼，則其可能取值為3，4，5，故其分布列為

1Ck2?1C1pk?P(X?k)?，k?3,4,5.3C5即

Xp(2)由分布函數(shù)的定義可知311043105610?0,?1,??10F(x)??2?,?5??1,x?3,3?x?4,

4?x?5,x?5.作圖略.

6.有三個盒子，第一個盒子裝有1個白球、4個黑球；其次個盒子裝有2個白球、3個黑球；第三個盒子裝有3個白球和2個黑球.現(xiàn)任取一個盒子，從中任取3個球,以X表示所取到的白球數(shù).

(1)試求X的概率分布列；

(2)取到的白球數(shù)不少于2個的概率為多少？

解：(1)根據(jù)題意X表示所取到的白球數(shù)，則其可能取值為0,1,2,3，故其分布列為

k3?k3?k3?kC31C1kC41C21C3kC2pk?P(X?k)?，k?0,1,2,3.??3333C53C53C5即

Xp(2)根據(jù)題意，所求概率為01611223101.33130P(X?2)?P(X?2)?P(X?3)?7.擲一顆骰子4次，求點(diǎn)數(shù)6出現(xiàn)的次數(shù)的概率分布.解：以X表示骰子點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)6的次數(shù)，則X~B(4,)故其分布列為

k4?k161?k?1??pk?P(X?k)?C4???1???6??6?即

，k?0,1,2,3,4.

Xp00.482310.385820.115730.015440.00088.一批產(chǎn)品共有100件，其中10件是不合格品.根據(jù)驗(yàn)收規(guī)則，從中任取5件產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，假使5件中無不合格品，則這批產(chǎn)品被接受，否則就要重新對這批產(chǎn)品逐個檢驗(yàn).(1)試求5件中不合格品數(shù)X的分布列；

(2)需要對這批產(chǎn)品進(jìn)行逐個檢驗(yàn)的概率為多少？

解：(1)以X表示件產(chǎn)品中的不合格品數(shù)，則其可能取值為0，1，2，4，5.

故其分布列為

k5?kC10C90pk?P(X?k)?，k?0,1,2,3,4,5.5C100(2)根據(jù)題意，所求概率為P(X?0)?1?P(X?0)?1?P(0)?0.4162.

9.設(shè)某人射擊命中率為0.8，現(xiàn)向一目標(biāo)射擊20次，試寫出目標(biāo)被擊中次數(shù)X的分布列.解：以X表示目標(biāo)被擊中的次數(shù)，則X~B(20,0.8)故其分布列為

kpk?P(X?k)?C20(0.8)k(0.2)20?k，k?0,1,2,?,20.

10.某車間有5臺車床，每臺車床使用電力是間歇的，平均每小時有10分鐘使用電力.假定每臺車床的工作是相互獨(dú)立的，試求

(1)同一時刻至少有3臺車床用電的概率；(2)同一時刻至多有3臺車床用電的概率.

解：以X表示同一時刻用電車床的臺數(shù)，則X~B(5,)故其分布列為

k5?k16?1?pk?P(X?k)?C???6?k5?5????6?，k?0,1,2,?,5.

(1)根據(jù)題意所求概率為

P(X?3)?P(X?3)?P(X?4)?P(X?5)?0.0355；(2)根據(jù)題意所求概率為

P(X?3)?1?P(X?3)?1?P(X?4)?P(X?5)?0.9967.

11.某優(yōu)秀的射擊手命中10環(huán)的概率為0.7，命中9環(huán)的概率為0.3.試求該射手三次射擊所得的環(huán)數(shù)不少于29環(huán)的概率？

解：以X表示射擊手命中環(huán)10的次數(shù)，則X~B(3,0.7)故其分布列為

kpk?P(X?k)?C3(0.7)k(0.3)3?k，k?0,1,2,3.

根據(jù)題意所求概率為

P(X?2)?1?P(X?2)?1?P(X?0)?P(X?1)?0.784.12.設(shè)隨機(jī)變量X和Y均聽從二項(xiàng)分布，即X~B(2,p)，Y~B(4,p).若

P(X?1)?89，試求P(Y?1)?

解：根據(jù)題意隨機(jī)變量X~B(2,p)，則

kkP(X?k)?C2p(1?p)2?k，k?0,1,2.

又由于P(X?1)?89，則

P(X?1)?1?P(X?1)?1?P(X?0)?1?C2p(1?p)?則Y~B(4,).

0?2?故P(Y?1)?1?P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?C4???3?000282?p?.9323?1?80???.?3?81413.已知一電話交換臺每分鐘的召喚次數(shù)聽從參數(shù)為4的泊松分布，求：(1)每分鐘恰有8次召喚的概率；(2)每分鐘召喚次數(shù)大于8的概率.

解：以X表示交換臺每分鐘的召喚次數(shù)，則X~P(4)故其分布列為

4k?4pk?P(X?k)?e，k?0,1,2,?.

k!(1)根據(jù)題意所求概率為

48?4p8?P(X?8)?e?0.0298；

8!(2)根據(jù)題意所求概率為

P(X?8)?1?P(X?8)?1?0.979?0.021.

14.某公司生產(chǎn)的一種產(chǎn)品，根據(jù)歷史生產(chǎn)記錄可知，該產(chǎn)品的次品率為0.01，問該種產(chǎn)品300件中次品數(shù)大于5的概率為多少？

解：以X表示300件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X~B(300,0.01)

用參數(shù)為??np?300?0.01?3的泊松分布作近似計(jì)算，得所求概率為

3k?3P(X?5)?1?P(X?5)?1??e?1?0.916?10.083.9k!k?0515.保險(xiǎn)公司在一天內(nèi)承保了5000份同年齡段，為期一年的壽險(xiǎn)保單，在合同有效期內(nèi)

若投保人死亡，則公司需賠付3萬元.設(shè)在一年內(nèi)，該年齡段的死亡率為0.0015，且各投保人是否死亡相互獨(dú)立.求該公司對于這批投保人的賠付總額不超過30萬元的概率.

,0.0015)解：以X表示該年齡段投保人在一年內(nèi)的死亡人數(shù)，則X~B(5000用參數(shù)為??np?5000?0.0015?7.5的泊松分布作近似計(jì)算，得所求概率為

P(X?10)?10?Ck?0k5000(0.001)5(0.998)5k10?k7.5k?7.5??e?0.862.2k!k?01016.有一繁忙的汽車站，每天有大量汽車通過，設(shè)一輛汽車在一天的某段時間內(nèi)出事故的

概率為0.0001.在某天的該段時間內(nèi)有1000輛汽車通過,問出事故的車輛數(shù)不小于2的概率是多少？

,0.0001)解：以X表示該汽車站每天出事故的車輛數(shù)，則X~B(1000用參數(shù)為??np?1000?0.0001?0.1的泊松分布作近似計(jì)算，得所求概率為

0.1k?0.1e?0.P(X?2)?1?P(X?2)?1??k!k?017.進(jìn)行重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，設(shè)每次試驗(yàn)成功的概率為p，則失敗的概率為q?1?p(0?p?1).

(1)將試驗(yàn)進(jìn)行到第一次成功為止，求所需試驗(yàn)次數(shù)X的分布列.

(2)將試驗(yàn)進(jìn)行到第r次成功為止，求所需試驗(yàn)次數(shù)Y的分布列.（此分布被稱為負(fù)二項(xiàng)分

2布）

解：(1)根據(jù)題意，以X表示試驗(yàn)第一次成功為止所需試驗(yàn)次數(shù)，則X聽從參數(shù)為p的幾何分布，其分布列為

pk?P(X?k)?p(1?p)k?1，k?1,2,??,(0?p?1)

(2)根據(jù)題意，以Y表示試驗(yàn)第r次成功為止所需試驗(yàn)次數(shù)，則Y的可能取值為r,r?1,?,r?m,?，（即在k次伯努利試驗(yàn)中，最終已此一定是成功，而前面k?1次中一

r?1r?1定有r?1次是成功的，由二項(xiàng)分布得其概率為Ck(1?p)k?r，再乘以最終一次成功的?1p概率p），則其分布列為

r?1rk?rpk?P(X?k)?Ck，k?r,r?1,??,(0?p?1).?1p(1?p)18.一籃球運(yùn)動員的投籃命中率為0.45，求他首次投中時累計(jì)已投籃次數(shù)X的分布列，并計(jì)算X為偶數(shù)的概率.

解：根據(jù)題意，以X表示籃球運(yùn)動員首次投籃命中的投籃次數(shù)，則其分布列為

pk?P(X?k)?0.45(1?0.45)k?1，k?1,2,??

故籃球運(yùn)動員首次投籃命中的投籃次數(shù)為偶數(shù)次的狀況是互不相容的，即所求概率為

p??P(X?2k)??0.45(1?0.45)k?1k?1??2k?1?0.3548.

19.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

0?x?1,?x,?f(x)??2?x,1?x?2,

?0,其它.?試求P(X?1.5).

解：由概率密度函數(shù)的定義可知

P(X?1.5)??1.5??f(x)dx??xdx??(2?x)dx?0.875.

0111.520.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

??Acosx,f(x)???0,?試求：

(1)常數(shù)A;(2)X落在區(qū)間(0,x?,2?x?.2??4)內(nèi)的概率.

??解：(1)由概率密度函數(shù)的正則性可知

1????f(x)dx???2??2Acosxdx?2A?A?1；2(2)根據(jù)題意，所求概率為

P(0?X??4)???40f(x)dx???4012cosxdx?.2421.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

x?0,?0,?2F(x)??Ax,0?x?1,

?1,x?1.?試求：

(1)常數(shù)A；

(2)X落在區(qū)間(0.3,0.7)內(nèi)的概率；(3)X的概率密度.

解：(1)由分布函數(shù)的連續(xù)性可知

F(x)?limAx?A?F(1)?1??A?1；F(1?0)?lim??x?1x?12(2)根據(jù)題意，所求概率為

P(0.3?X?0.7)?F(0.7)?F(0.3)?0.4；(3)由分布函數(shù)和密度函數(shù)的關(guān)系可知

?2x,0?x?1,f(x)?F?(x)??其它.?0,22.某加油站每周補(bǔ)給一次油，假使這個加油站每周的銷售量（單位：千升）為一隨機(jī)變

量，其概率密度為

4?x???1??,0?x?100,f(x)??0.05?100???0,其它.?試問該加油站的儲油罐需要多大，才能把一周內(nèi)斷油的概率控制在5%以下？

解：設(shè)該油站的儲油罐容量為a升(a?0)，以X表示該加油站每周油品銷售量，則根據(jù)題意

x?a???P(X?a)?0.05??f(x)dx??0.05?1?dx??1????0.05

aa100100????5?a?100?0.05?a?46.

23.在區(qū)間[0,a]上任意投擲一個質(zhì)點(diǎn)，以X表示這個質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo).設(shè)該質(zhì)點(diǎn)落在區(qū)間[0,a]中任意小區(qū)間的概率與這個小區(qū)間的長度成正，試求X的分布函數(shù)和概率密度.解：設(shè)X的分布函數(shù)為F(x)，則

當(dāng)x?0時，由于{X?x}是不可能事件，所以F(x)?P(X?x)?0；當(dāng)x?a時，由于{X?x}是必然事件，所以F(x)?P(X?x)?1；

當(dāng)0?x?a時，有F(x)?P(X?x)?P(0?X?x)?kx，其中k為比例系數(shù)，由分布

1F(x)?ka?k?函數(shù)的右連續(xù)性可知，1?F(a)?F(a?0)?limx?a?a??1005則X的分布函數(shù)為

?0,x?0,?xF(x)??,0?x?a,

?a?1,x?a.由分布函數(shù)和密度函數(shù)的關(guān)系可得其概率密度函數(shù)為

?1?,0?x?a,f(x)??a

??0,其它.24.設(shè)隨機(jī)變量X聽從區(qū)間(0,10)上的均勻分布，求對X進(jìn)行4次獨(dú)立觀測中，至少有

3次的觀測值大于5的概率？

解：根據(jù)題意，隨機(jī)變量X~U(0,10)，則其概率密度函數(shù)為

?1?,0?x?10,f(x)??10

?其它.?0,故對X進(jìn)行獨(dú)立觀測中觀測值大于5的概率為

p?P(X?5)????5f(x)dx??0.1dx?0.5

510以Y表示對X進(jìn)行獨(dú)立觀測中觀測值大于5的次數(shù)，則Y~B(4,p)

故所求概率為

P(X?3)?P(X?3)?P(X?4)?C4(0.5)(0.5)?C4(0.5)?0.3125.25.設(shè)隨機(jī)變量K~U(0,5)，求方程4x?4Kx?K?2?0無實(shí)根的概率和有實(shí)根的概率.

解：根據(jù)題意，隨機(jī)變量K~U(0,5)，則其密度函數(shù)為

233144?1?,0?x?5,f(x)??5

??0,其它.根據(jù)韋達(dá)定理可得，

當(dāng)??16K?16K?32?0??1?K?2時，方程無實(shí)根，其概率為

P(?1?X?2)?22?2?1f(x)dx??0.2dx?0.6；

?12當(dāng)??16K?16K?32?0?K??1或K?2時，方程有實(shí)根，其概率為

P({X??1}?{X?2})?1?P(?1?X?2)?0.4.

26.設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時間X（以分計(jì)）聽從指數(shù)分布，其概率密度為

?0.2e?0.2x,x?0,f(x)??

x?0.?0,某顧客在窗口等待服務(wù)，若超過10分鐘他便離開，他每月要到銀行5次，以Y表示他未等

到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，試求他至少有一次沒有等到服務(wù)而離開的概率.

解：根據(jù)題意，顧客在銀行窗口等待服務(wù)的時間X聽從指數(shù)分布，則等候時間超過10分鐘的概率為

p?P(X?10)????10f(x)dx??0.2e?0.2xdx?e?2

10??以Y表示他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，則Y~B(5,e?2)故所求概率為

0P(X?1)?1?P(X?1)?1?P(X?0)?1?C5(e?2)0(1?e?2)5?0.516。7

27.某儀器裝了3個獨(dú)立工作的同型號電子元件，其壽命X（以小時計(jì)）都聽從同一指數(shù)分布

1x?1?600?e,x?0,f(x)??600?0,x?0?試求：此儀器在最初使用的300小時內(nèi)，至少有一個該種電子元件損壞的概率.

解：根據(jù)題意，以X表示該型號電子元件的壽命，則該型號電子元件壽命小于300小時的概率為

?1?60x00??f(x)dx??edx?1?e2p?P(X?30)??0600?0.5以Y表示該型號電子元件損壞數(shù)，則Y~B(3,1?e)

30030011故所求概率為

0P(X?1)?1?P(X?1)?1?P(X?0)?1?C3(1?e?0.5)0(e?0.5)3?0.310.128.設(shè)隨機(jī)變量X~N(3,2)，求(1)P(?1?X?5)；(2)P(X?5)；

(3)確定a，使得P(X?a)?P(X?a)？

2X?3可得

?25?3???1?3(1)P(?3?X?5)?P??U???P(?2?U?1)

2??2??(1)??(?2)??(1)??(2)?1?0.8185；

1?3???1?3(2)P(X?1)?P??U???P(?2?U??1)

2??2??(?1)??(?2)??(2)??(1)?0.1359；(3)根據(jù)題意P(X?a)?P(X?a)，則

解：由正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化U?X???a?3?a?3?a?3?a?3???????P?U???P?U???1?P?U??2?2?2?2??????a?3??a?3??a?3?1????1?????????(??(0)?0.5)

222??????2故a?3。

29.設(shè)隨機(jī)變量X~N(4,32)，求(1)P(?2?X?5)

P?U?(2)P(X?3)

(3)設(shè)a為參數(shù)，使得P(X?a)?0.9，問a最多取為多少？

X?4可得

?35?4?1???2?4?(1)P(?2?X?5)?P??U???P??2?U??

3?3??3???(13)??(?2)??(13)??(2)?1?0.6065；

3?4?1???3?4?7(2)P(X?3)?1?P(X?3)?1?P??U???1?P???U???

3?3??3?3?1?[?(73)??(13)]?0.6392；(3)根據(jù)題意P(X?a)?0.9，則

a?4?a?4?a?4????P?U???1?P?U???0.9?P?U???0.1

333???????a?4?即????0.1(??(1.28)?0.8997，?(1.29)?0.9015)

?3?a?4??1.285?a?0.145故由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分位數(shù)定義可得3即參數(shù)a最大取為0.145.

30.測量到某一目標(biāo)的距離時，發(fā)生的隨機(jī)誤差X(以m計(jì))具有概率密度

解：由正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化U?X????1f(x)?e402?(x?20)23200，???x???

試求在三次測量中，至少有一次誤差的絕對值不超過30m的概率.

解：根據(jù)題意，以X表示測量中隨機(jī)產(chǎn)生的誤差，由其密度函數(shù)的定義可知

X~N(20,402)，則誤差絕對值超過30m的概率為

P(X?30)?1?P(X?30)?1?P(?30?X?30)

30?20???30?20?U???P(?1.25?U?0.25)4040????(0.25)??(?1.25)??(0.25)??(1.25)?1?0.4931,以Y表示測量中誤差絕對值超過30m的次數(shù)，則Y~B(3,4931)

?P?故所有概率為

0P(X?1)?1?P(X?1)?1?P(X?0)?1?C3(1?0.4931)0(0.5069)3?0.8698.

31.某單位聘請員工，共有10000人報(bào)考.假設(shè)考試成績聽從正態(tài)分布，且已知90分以上有359人，60分以下有1151人，現(xiàn)按考試成績從高分到低分一次錄用2500人，試問被錄用者中最低分?jǐn)?shù)是多少？

解：根據(jù)題意，以X表示報(bào)考人的成績分?jǐn)?shù)，則X~N(?,?)

290????????359?90????1????0.0359???10000??90???90???????1.8?（查表得）??0.9641?????60?????60???1151P(X?60)?P?U????0.1151??????????1000060????1.2?（查表得）??由?、?可得??72，??10，即X~N(72,102)，設(shè)錄用者中最低分?jǐn)?shù)為a，則

2500?0.25?1?P(X?a)，P(X?a)?10000a?72???a?72??0.25?1?P?U???1????

10???10??a?72??????0.75，(??(0.67)?0.7486，?(0.68)?0.7517)

10??a?72?0.675?a?78.75故

1032.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為03X?2?11p15161511511302試求Y?X與Z?X的分布列.故P(X?90)?1?P(X?90)?1?P?U?解：根據(jù)題意可得X?242152?11116000111115393Y?X2Z?Xp151130故合并整理得Y?X的分布列YpZ?X的分布列

Zp01491507301152113031573015113033.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為?0.5cos(0.5x),0?x??,f(x)??0,其它.?對X獨(dú)立重復(fù)觀測4次，Y表示觀測值大于?3的次數(shù)，求Z?2Y?1分布列.

解：根據(jù)題意，由概率密度函數(shù)定義可知，對X進(jìn)行獨(dú)立觀測中觀測值大于?3的概率

為

p?P(X??3)?????3f(x)dx??0.5cos(0.5x)dx?0.5.

?3?以Y表示對X進(jìn)行4次獨(dú)立觀測中觀測值大于?3的次數(shù)，則Y~B(4,0.5)故其分布列為

kpk?P(X?k)?C4(0.5)k(1?0.5)4?k，k?0,1,2,3,4.

即

Y0110.25230.375350.25470.0625Z?2Y?1p故

?10.0625Zp?10.062510.25X30.37550.2570.062534.設(shè)隨機(jī)變量X~U(0,1)，試求以下隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度：(1)Y?1?X；(2)Y?e；(3)Y??2lnX；(4)Y?lnX.

解：根據(jù)題意，隨機(jī)變量X~U(0,1)，則其密度函數(shù)為

?1,0?x?1,fX(x)??

0,其它.?(1)由y?1?x?x?h(y)?1?y，且有h?(y)??1?0，則Y?1?X的密度函數(shù)為

?fX(1?y)(1?y)?,0?1?y?1,fY(y)??0,其它.??1,0?y?1,??

0,其它.?1Xx(2)由y?e?0?x?h(y)?lny，且有h?(y)??0，則Y?e的密度函數(shù)為

y??fX(lny)(lny)?,0?lny?1,fY(y)??

?其它.?0,?1y,1?y?e,??

其它.?0,?0.5y?0.5y(3)由y??2lnx?0?x?h(y)?e，且有h?(y)??0.5e?0，則Y?eX的密度

函數(shù)為

?fX(e?0.5y)(e?0.5y)?,0?e?0.5y?1,fY(y)??

其它.?0,?0.5e?0.5y,y?0,??

其它.?0,(4)由y?lnx?0，故當(dāng)y?0時，有FY(y)?0，從而fY(y)?0

當(dāng)y?0時，y??lnx?0?x?h(y)?e密度函數(shù)為

?y，且有h?(y)??e?y?0，則Y?lnX的

?fX(e?y)(e?y)?,0?e?y?1,fY(y)??

y?0.?0,?e?y,y?0,??

y?0.?0,35.設(shè)隨機(jī)變量X~N(0,1)，試求以下隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度：(