高三第一輪復(fù)習(xí)數(shù)列壓軸題歸納總結(jié)

中國(guó)領(lǐng)先的中小學(xué)教育品牌PAGE1精銳教育網(wǎng)站： -PAGE1-精銳教育·考試研究院高三數(shù)列壓軸題歸納總結(jié)一、奇偶數(shù)列求和問(wèn)題：1、相鄰兩項(xiàng)符號(hào)相異:例：求和：；2、相鄰兩項(xiàng)之和為常數(shù)；例：已知數(shù)列{an}中a1=2，an+an+1=1，Sn為{an}前n項(xiàng)和，求Sn3、相間兩項(xiàng)之差為常數(shù)；例：已知數(shù)列{an}中a1=1，a2=4，an=an-2+2（n≥3），Sn為{an}前n項(xiàng)和，求Sn4、相間兩項(xiàng)之比為常數(shù)；例：已知an，an+1為方程的兩根n∈N+，a1=2，Sn=C1+C2+…+Cn，求an及S2n。二、幾個(gè)字母的取整問(wèn)題：1.設(shè)，等差數(shù)列中，，記=，令，數(shù)列的前n項(xiàng)和為.（1）求的通項(xiàng)公式和；（2）求證：；（3）是否存在正整數(shù)，且，使得成等比數(shù)列？若存在，求出的值，若不存在，說(shuō)明理由.2.等比數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足（1）求的通項(xiàng)公式；（5分）（2）數(shù)列滿足，為數(shù)列的前項(xiàng)和．求；（5分）（3）是否存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列？若存在，求出所有的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（6分）3.數(shù)列的前項(xiàng)和記為，且滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求和；（3）設(shè)有項(xiàng)的數(shù)列是連續(xù)的正整數(shù)數(shù)列，并且滿足：．問(wèn)數(shù)列最多有幾項(xiàng)？并求這些項(xiàng)的和．4.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知（，、為常數(shù)），，，．（1）求、的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）是否存在正整數(shù)，，使得成立？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的有序整數(shù)對(duì)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．5.已知數(shù)列{an}滿足，(其中λ≠0且λ≠–1，n∈N*)，為數(shù)列{an}的前項(xiàng)和．(1)若，求的值；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(3)當(dāng)時(shí)，數(shù)列{an}中是否存在三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，若存在，請(qǐng)求出此三項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．6.已知遞增的等差數(shù)列的首項(xiàng)，且、、成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列對(duì)任意，都有成立，求的值．（3）若，求證：數(shù)列中的任意一項(xiàng)總可以表示成其他兩項(xiàng)之積．三、用放縮法求和問(wèn)題及證明不等式問(wèn)題：1．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足:(1)求證數(shù)列是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)證明：對(duì)任意的整數(shù)>4,有2、已知曲線C：，從C上的點(diǎn)作軸的垂線，交于點(diǎn)，在從點(diǎn)作軸的垂線，交C與點(diǎn)，設(shè)，。（1）求的坐標(biāo)；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：；3、記,求證：4、求證：，四、分段與周期數(shù)列1.已知以a1為首項(xiàng)的數(shù)列{an}滿足：an＋1＝eq\b\lc\{(\a\al(an+c，an<3,eq\f(an,d)，an≥3))⑴當(dāng)a1＝1，c＝1，d＝3時(shí)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式⑵當(dāng)0＜a1＜1，c＝1，d＝3時(shí)，試用a1表示數(shù)列{an}的前100項(xiàng)的和S100⑶當(dāng)0＜a1＜eq\f(1,m)（m是正整數(shù)），c＝eq\f(1,m)，d≥3m時(shí)，求證：數(shù)列a2－eq\f(1,m)，a3m+2－eq\f(1,m)，a6m+2－eq\f(1,m)，a9m+2－eq\f(1,m)成等比數(shù)列當(dāng)且僅當(dāng)d＝3m五、單調(diào)性求最值及恒成立問(wèn)題：1、設(shè)二次函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，有恒成立；數(shù)列滿足.（1）求函數(shù)的解析式和值域；（2）試寫(xiě)出一個(gè)區(qū)間，使得當(dāng)時(shí)，數(shù)列在這個(gè)區(qū)間上是遞增數(shù)列，并說(shuō)明理由；（3）已知，是否存在非零整數(shù)，使得對(duì)任意，都有恒成立，若存在，求之；若不存在，說(shuō)明理由.2、已知函數(shù)，、是圖像上兩點(diǎn)．(1)若，求證：為定值；(2)設(shè)，其中且，求關(guān)于的解析式；(3)對(duì)（2）中的，設(shè)數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，，問(wèn)是否存在角，使不等式…對(duì)一切都成立？若存在，求出角的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．六、與其他知識(shí)點(diǎn)結(jié)合題型：1、與二項(xiàng)式結(jié)合：例：已知遞增的等差數(shù)列的首項(xiàng)，且、、成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列對(duì)任意，都有成立，求的值．（3）在數(shù)列中，，且滿足，求下表中前行所有數(shù)的和.………………與程序框圖結(jié)合：例：對(duì)任意函數(shù)，，可按圖示構(gòu)造一個(gè)數(shù)列發(fā)生器，其工作原理如下：

①輸入數(shù)據(jù)x0∈D，經(jīng)數(shù)列發(fā)生器輸出；②，則數(shù)列發(fā)生器結(jié)束工作；若x1∈D，則將反饋回輸入斷，再輸出，并依此規(guī)律繼續(xù)下去.現(xiàn)定義.

（1）若輸出,則由數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生數(shù)列{xn}.請(qǐng)寫(xiě)出數(shù)列{xn}的所有項(xiàng)；輸入開(kāi)始輸出結(jié)束是輸入開(kāi)始輸出結(jié)束是否

（3）(理)若輸出x0時(shí)，產(chǎn)生的無(wú)窮數(shù)列{xn}滿足：對(duì)任意正整數(shù)n均有，求x0的取值范圍.3、與概率統(tǒng)計(jì)結(jié)合：例：已知數(shù)列是僅從這三個(gè)整數(shù)中取值所得到的數(shù)列，為常數(shù)，經(jīng)過(guò)右框圖中的程序處理，輸出和.（1）若輸入及一個(gè)確定的值，且輸出的和分別滿足，.試求總體的標(biāo)準(zhǔn)差；（2）若輸入，，且輸出的和分別滿足，.試求滿足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù)；（3）已知數(shù)列中恰有項(xiàng)的值為，且輸出的的值為，若對(duì)于任意的都有恒成立，試求數(shù)列的項(xiàng)數(shù)的最小值.4、與圓錐曲線集合：如圖，，，…，，…是曲線上的點(diǎn)，，，…，，…是軸正半軸上的點(diǎn)，且，，…，，…均為斜邊在軸上的等腰直角三角形（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．（1）寫(xiě)出、和之間的等量關(guān)系，以及、和之間的等量關(guān)系；（2）猜測(cè)并證明數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)，集合，，若，求實(shí)常數(shù)的取值范圍．5、與函數(shù)結(jié)合：例：已知定義域?yàn)镽的二次函數(shù)的最小值為0，且有，直線被的圖像截得的弦長(zhǎng)為，數(shù)列滿足，（1）求函數(shù)的解析式；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)，求數(shù)列的最值及相應(yīng)的6、與絕對(duì)值不等式結(jié)合：給定常數(shù)，定義函數(shù)，數(shù)列滿足.（1）若，求及；（2）求證：對(duì)任意，；（3）是否存在，使得成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的，若不存在，說(shuō)明理由.七、創(chuàng)新定義數(shù)列：1、如果存在常數(shù)使得數(shù)列滿足：若是數(shù)列中的一項(xiàng)，則也是數(shù)列中的一項(xiàng)，稱(chēng)數(shù)列為“兌換數(shù)列”，常數(shù)是它的“兌換系數(shù)”.

（1）若數(shù)列：是“兌換系數(shù)”為的“兌換數(shù)列”，求和的值；

（2）已知有窮等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是，所有項(xiàng)之和是，求證：數(shù)列是“兌換數(shù)列”，并用和表示它的“兌換系數(shù)”；

（3）對(duì)于一個(gè)不少于3項(xiàng)，且各項(xiàng)皆為正整數(shù)的遞增數(shù)列，是否有可能它既是等比數(shù)列，又是“兌換數(shù)列”？給出你的結(jié)論并說(shuō)明理由.2、如果無(wú)窮數(shù)列滿足下列條件：①；②存在實(shí)數(shù)，使．其中，那么我們稱(chēng)數(shù)列為數(shù)列．（1）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為，且是數(shù)列，求的取值范圍；（2）設(shè)是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，是其前項(xiàng)和，證明：數(shù)列是數(shù)列；（3）設(shè)數(shù)列是各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列，求證：．3、對(duì)于給定數(shù)列，如果存在實(shí)常數(shù)使得對(duì)于任意都成立，我們稱(chēng)數(shù)列是“M類(lèi)數(shù)列”．（1）若，，，數(shù)列、是否為“M類(lèi)數(shù)列”？若是，指出它對(duì)應(yīng)的實(shí)常數(shù)，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）證明：若數(shù)列是“M類(lèi)數(shù)列”，則數(shù)列也是“M類(lèi)數(shù)列”；（3）若數(shù)列滿足，，為常數(shù)．求數(shù)列前2013項(xiàng)的和．并判斷是否為“M類(lèi)數(shù)列”，說(shuō)明理由；（4）根據(jù)對(duì)（2）（3）問(wèn)題的研究，對(duì)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)、，提出一個(gè)條