人教版高數(shù)必修四第4講三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)（教師版）

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一、三角函數(shù)的圖像：

1．正弦線：設(shè)任意角α的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P(x，y)，過P作x軸的垂線，垂足為M，則有sin??y?MP，向線段MP叫做角α的正弦線，r2．用單位圓中的正弦線作正弦函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的圖象（幾何法）：

把y=sinx，x∈[0，2π]的圖象，沿著x軸向右和向左連續(xù)地平行移動(dòng)，每次移動(dòng)的距離為2π，就得到y(tǒng)=sinx，x∈R叫做正弦曲線

1-6?-5?-4?-3?-2?-?-1y0?2?3?4?5?6?xf?x?=sin?x?

3．用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)的簡圖（描點(diǎn)法）：

正弦函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：1、用單位圓中的余弦線作余弦函數(shù)的圖象（幾何法）：為了作三角函數(shù)的圖象，三角函數(shù)的自變量要用弧度制來度量，使自變量與函數(shù)值都為實(shí)數(shù)．在一般狀況下，兩個(gè)坐標(biāo)軸上所取的單位長度應(yīng)當(dāng)一致，否則所作曲線的形狀各不一致，從而影響初學(xué)者對曲線形狀的正確認(rèn)識．

1

2、余弦函數(shù)y=cosxx?[0,2?]的五個(gè)點(diǎn)關(guān)鍵是

?3?,0)(?,-1)(,0)(2?,1)22現(xiàn)在把上述圖象沿著x軸向右和向左連續(xù)地平行移動(dòng)，每次移動(dòng)的距離為2π，就得到

y=cosx，x∈R的圖象，

(0,1)(

1-6?-5?-4?-3?-2?-?-1y0?2?3?4?5?6?xf?x?=cos?x?3、正切函數(shù)y?tanx的圖象：我們可選擇??

????,?的區(qū)間作出它的圖象?22?

根據(jù)正切函數(shù)的周期性，把上述圖象向左、右擴(kuò)展，得到正切函數(shù)y?tanx且x?x?R，

?2?k??k?z?的圖象，稱“正切曲線〞

2

(0,0)(

3??,1)(π,0)(,-1)(2π,0)

22

二、三角函數(shù)的性質(zhì):函數(shù)y?sinx性質(zhì)y?cosxy?tanx圖象定義域值域當(dāng)RR????xx?k??,k???2??R??1,1?x?2k????1,1?時(shí)，當(dāng)x?2k?時(shí)，?2ymax?1；當(dāng)x?2k????最y?1；當(dāng)x?2k??值max2時(shí)，ymin??1．時(shí)，ymin??1．周期性奇偶性既無最大值也無最小值2?2??奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)???單?在?2k??,2k???調(diào)22??性上是增函數(shù)；

在?2k???,2k??上是增函數(shù)；3

在?k?????2,k?????2?上是增函數(shù)．在?2k?????2,2k??3??在?2k?,2k????上是減函2??數(shù)．上是減函數(shù)．對對稱中心?k?,0?稱?性對稱軸x?k??對稱中心?k??對稱軸x?k?????,0?2?對稱中心?無對稱軸?k??,0??2?2

類型一、三角函數(shù)的圖像：

例1.作出函數(shù)y?1?cos2x的圖象

分析：首先將函數(shù)的解析式變形，化為最簡形式，然后作出函數(shù)的圖象。

2y?1?cosx化為y?|sinx|解析：

?sinx(2k??x?2k???)y????sinx(2k????x?2k??2?)(k?Z)即

其圖象如圖：

點(diǎn)評：畫y?|sinx|的圖象可分為兩步完成，第一步先畫出y?sinx，x?[0，?]和

y??sinx，x?(?，2?)的圖象，其次步將得到的圖象向左、右平移，即可得到完整的曲線。

例2：y?cos(x?解析：

?????11)，x???,?6?66?

類型二、三角函數(shù)的性質(zhì)：

例3.求以下函數(shù)的周期

4

（1）y?sin1x2（2）y?2sin(x??)36分析：該例的兩個(gè)函數(shù)都是復(fù)合函數(shù)，我們可以通過變量替換將它們歸結(jié)為基本三角函數(shù)去處理。

解析：（1）假使令，則sinx2?sinm是周期函數(shù)，且周期為2??sin(1x?21

2?)?sin2x即sin[12(x?4?)]?sin12x

?sinx2的周期是4?

（2）?2sin(x?x?3?6?2?)?2sin(3?6)

即2sin[1?x3(x?6?)??6]?2sin(3?6)

?y?2sin(x3??6)的周期是6?。

練習(xí)：求以下三角函數(shù)的周期：

1?y=sin(x+

?3)2?y=cos2x3?y=3sin(x2+?5)4例:4.比較以下各組數(shù)的大小。

（1）sin194°和cos160°；（2）sin74和cos53；（3）sin(sin3?8)和sin(cos3?8)分析：先化為同名函數(shù)，然后利用單調(diào)性來比較函數(shù)值的大小。

解析：（1）sin194??sin(180??14?)??sin14?cos160??cos(180??20?)??cos20???sin70?

?0??14??70??90?，?sin14??sin70?從而?sin14???sin70?即sin194??cos160?