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文檔簡介
河北省部分重點高中2023屆高三下學期第一次月考數(shù)學試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知復數(shù),則的虛部是()A. B. C. D.12.若(1+2ai)i=1-bi,其中a,b∈R,則|a+bi|=().A. B. C. D.53.設命題函數(shù)在上遞增,命題在中,,下列為真命題的是()A. B. C. D.4.已知復數(shù)(為虛數(shù)單位,),則在復平面內(nèi)對應的點所在的象限為()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.的展開式中的系數(shù)是()A.160 B.240 C.280 D.3206.設集合,集合,則=()A. B. C. D.R7.在聲學中,聲強級(單位:)由公式給出,其中為聲強(單位:).,,那么()A. B. C. D.8.已知全集,集合,,則陰影部分表示的集合是()A. B. C. D.9.設雙曲線(a>0,b>0)的右焦點為F,右頂點為A,過F作AF的垂線與雙曲線交于B,C兩點,過B,C分別作AC,AB的垂線交于點D.若D到直線BC的距離小于,則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是()A.B.C.D.10.函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于直線對稱的點,則的取值范圍是()A. B. C. D.11.中,點在邊上,平分,若,,,,則()A. B. C. D.12.下列函數(shù)中,在定義域上單調(diào)遞增,且值域為的是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設定義域為的函數(shù)滿足,則不等式的解集為__________.14.棱長為的正四面體與正三棱錐的底面重合,若由它們構(gòu)成的多面體的頂點均在一球的球面上,則正三棱錐的內(nèi)切球半徑為______.15.若,且,則的最小值是______.16.已知數(shù)列的各項均為正數(shù),記為的前n項和,若,,則________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).(1)若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),試求的取值范圍;(2)若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個零點,且,求的取值范圍.18.(12分)己知的內(nèi)角的對邊分別為.設(1)求的值;(2)若,且,求的值.19.(12分)已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期以及單調(diào)遞增區(qū)間;(2)已知,若,,,求的面積.20.(12分)班主任為了對本班學生的考試成績進行分析,決定從本班24名女同學,18名男同學中隨機抽取一個容量為7的樣本進行分析.(1)如果按照性別比例分層抽樣,可以得到多少個不同的樣本?(寫出算式即可,不必計算出結(jié)果)(2)如果隨機抽取的7名同學的數(shù)學,物理成績(單位:分)對應如下表:學生序號1234567數(shù)學成績60657075858790物理成績70778085908693①若規(guī)定85分以上(包括85分)為優(yōu)秀,從這7名同學中抽取3名同學,記3名同學中數(shù)學和物理成績均為優(yōu)秀的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學期望;②根據(jù)上表數(shù)據(jù),求物理成績關(guān)于數(shù)學成績的線性回歸方程(系數(shù)精確到0.01);若班上某位同學的數(shù)學成績?yōu)?6分,預測該同學的物理成績?yōu)槎嗌俜??附:線性回歸方程,其中,.768381252621.(12分)已知直線的參數(shù)方程:(為參數(shù))和圓的極坐標方程:(1)將直線的參數(shù)方程化為普通方程,圓的極坐標方程化為直角坐標方程;(2)已知點,直線與圓相交于、兩點,求的值.22.(10分)在最新公布的湖南新高考方案中,“”模式要求學生在語數(shù)外3門全國統(tǒng)考科目之外,在歷史和物理2門科目中必選且只選1門,再從化學、生物、地理、政治4門科目中任選2門,后三科的高考成績按新的規(guī)則轉(zhuǎn)換后計入高考總分.相應地,高校在招生時可對特定專業(yè)設置具體的選修科目要求.雙超中學高一年級有學生1200人,現(xiàn)從中隨機抽取40人進行選科情況調(diào)查,用數(shù)字1~6分別依次代表歷史、物理、化學、生物、地理、政治6科,得到如下的統(tǒng)計表:序號選科情況序號選科情況序號選科情況序號選科情況11341123621156312352235122342223532236323513145232453323541451413524235341355156152362525635156624516236261563623672561715627134371568235182362823538134923519145292463923510236202353015640245(1)雙超中學規(guī)定:每個選修班最多編排50人且盡量滿額編班,每位老師執(zhí)教2個選修班(當且僅當一門科目的選課班級總數(shù)為奇數(shù)時,允許這門科目的1位老師只教1個班).已知雙超中學高一年級現(xiàn)有化學、生物科目教師每科各8人,用樣本估計總體,則化學、生物兩科的教師人數(shù)是否需要調(diào)整?如果需要調(diào)整,各需增加或減少多少人?(2)請創(chuàng)建列聯(lián)表,運用獨立性檢驗的知識進行分析,探究是否有的把握判斷學生“選擇化學科目”與“選擇物理科目”有關(guān).附:0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828(3)某高校在其熱門人文專業(yè)的招生簡章中明確要求,僅允許選修了歷史科目,且在政治和地理2門中至少選修了1門的考生報名.現(xiàn)從雙超中學高一新生中隨機抽取3人,設具備高校專業(yè)報名資格的人數(shù)為,用樣本的頻率估計概率,求的分布列與期望.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
化簡復數(shù),分子分母同時乘以,進而求得復數(shù),再求出,由此得到虛部.【詳解】,,所以的虛部為.故選:C【點睛】本小題主要考查復數(shù)的乘法、除法運算,考查共軛復數(shù)的虛部,屬于基礎題.2、C【解析】試題分析:由已知,-2a+i=1-bi,根據(jù)復數(shù)相等的充要條件,有a=-,b=-1所以|a+bi|=,選C考點:復數(shù)的代數(shù)運算,復數(shù)相等的充要條件,復數(shù)的模3、C【解析】
命題:函數(shù)在上單調(diào)遞減,即可判斷出真假.命題:在中,利用余弦函數(shù)單調(diào)性判斷出真假.【詳解】解:命題:函數(shù),所以,當時,,即函數(shù)在上單調(diào)遞減,因此是假命題.命題:在中,在上單調(diào)遞減,所以,是真命題.則下列命題為真命題的是.故選:C.【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、正弦定理、三角形邊角大小關(guān)系、簡易邏輯的判定方法,考查了推理能力與計算能力,屬于基礎題.4、B【解析】
分別比較復數(shù)的實部、虛部與0的大小關(guān)系,可判斷出在復平面內(nèi)對應的點所在的象限.【詳解】因為時,所以,,所以復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限.故選:B.【點睛】本題考查復數(shù)的幾何意義,考查學生的計算求解能力,屬于基礎題.5、C【解析】
首先把看作為一個整體,進而利用二項展開式求得的系數(shù),再求的展開式中的系數(shù),二者相乘即可求解.【詳解】由二項展開式的通項公式可得的第項為,令,則,又的第為,令,則,所以的系數(shù)是.故選:C【點睛】本題考查二項展開式指定項的系數(shù),掌握二項展開式的通項是解題的關(guān)鍵,屬于基礎題.6、D【解析】試題分析:由題,,,選D考點:集合的運算7、D【解析】
由得,分別算出和的值,從而得到的值.【詳解】∵,∴,∴,當時,,∴,當時,,∴,∴,故選:D.【點睛】本小題主要考查對數(shù)運算,屬于基礎題.8、D【解析】
先求出集合N的補集,再求出集合M與的交集,即為所求陰影部分表示的集合.【詳解】由,,可得或,又所以.故選:D.【點睛】本題考查了韋恩圖表示集合,集合的交集和補集的運算,屬于基礎題.9、A【解析】
由題意,根據(jù)雙曲線的對稱性知在軸上,設,則由得:,因為到直線的距離小于,所以,即,所以雙曲線漸近線斜率,故選A.10、C【解析】
由題可知,曲線與有公共點,即方程有解,可得有解,令,則,對分類討論,得出時,取得極大值,也即為最大值,進而得出結(jié)論.【詳解】解:由題可知,曲線與有公共點,即方程有解,即有解,令,則,則當時,;當時,,故時,取得極大值,也即為最大值,當趨近于時,趨近于,所以滿足條件.故選:C.【點睛】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的基本方法,考查化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想,考查抽象概括、運算求解等數(shù)學能力,屬于難題.11、B【解析】
由平分,根據(jù)三角形內(nèi)角平分線定理可得,再根據(jù)平面向量的加減法運算即得答案.【詳解】平分,根據(jù)三角形內(nèi)角平分線定理可得,又,,,,..故選:.【點睛】本題主要考查平面向量的線性運算,屬于基礎題.12、B【解析】
分別作出各個選項中的函數(shù)的圖象,根據(jù)圖象觀察可得結(jié)果.【詳解】對于,圖象如下圖所示:則函數(shù)在定義域上不單調(diào),錯誤;對于,的圖象如下圖所示:則在定義域上單調(diào)遞增,且值域為,正確;對于,的圖象如下圖所示:則函數(shù)單調(diào)遞增,但值域為,錯誤;對于,的圖象如下圖所示:則函數(shù)在定義域上不單調(diào),錯誤.故選:.【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性和值域的判斷問題,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)F(x),求函數(shù)的導數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論.【詳解】設F(x),則F′(x),∵,∴F′(x)>0,即函數(shù)F(x)在定義域上單調(diào)遞增.∵∴,即F(x)<F(2x)∴,即x>1∴不等式的解為故答案為:【點睛】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和應用,根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵.14、【解析】
由棱長為的正四面體求出外接球的半徑,進而求出正三棱錐的高及側(cè)棱長,可得正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相互垂直,進而求出體積與表面積,設內(nèi)切圓的半徑,由等體積,求出內(nèi)切圓的半徑.【詳解】由題意可知:多面體的外接球即正四面體的外接球作面交于,連接,如圖則,且為外接球的直徑,可得,設三角形的外接圓的半徑為,則,解得,設外接球的半徑為,則可得,即,解得,設正三棱錐的高為,因為,所以,所以,而,所以正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相互垂直,所以,設內(nèi)切球的半徑為,,即解得:.故答案為:.【點睛】本題考查多面體與球的內(nèi)切和外接問題,考查轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查空間想象能力、運算求解能力,求解時注意借助幾何體的直觀圖進行分析.15、8【解析】
利用的代換,將寫成,然后根據(jù)基本不等式求解最小值.【詳解】因為(即取等號),所以最小值為.【點睛】已知,求解()的最小值的處理方法:利用,得到,展開后利用基本不等式求解,注意取等號的條件.16、127【解析】
已知條件化簡可化為,等式兩邊同時除以,則有,通過求解方程可解得,即證得數(shù)列為等比數(shù)列,根據(jù)已知即可解得所求.【詳解】由..故答案為:.【點睛】本題考查通過遞推公式證明數(shù)列為等比數(shù)列,考查了等比的求和公式,考查學生分析問題的能力,難度較易.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】
(1)求出,再求恒成立,以及恒成立時,的取值范圍;(2)由已知,在區(qū)間內(nèi)恰有一個零點,轉(zhuǎn)化為在區(qū)間內(nèi)恰有兩個零點,由(1)的結(jié)論對分類討論,根據(jù)單調(diào)性,結(jié)合零點存在性定理,即可求出結(jié)論.【詳解】(1)由題意得,則,當函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增時,在區(qū)間上恒成立.∴(其中),解得.當函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減時,在區(qū)間上恒成立,∴(其中),解得.綜上所述,實數(shù)的取值范圍是.(2).由,知在區(qū)間內(nèi)恰有一個零點,設該零點為,則在區(qū)間內(nèi)不單調(diào).∴在區(qū)間內(nèi)存在零點,同理在區(qū)間內(nèi)存在零點.∴在區(qū)間內(nèi)恰有兩個零點.由(1)易知,當時,在區(qū)間上單調(diào)遞增,故在區(qū)間內(nèi)至多有一個零點,不合題意.當時,在區(qū)間上單調(diào)遞減,故在區(qū)間內(nèi)至多有一個零點,不合題意,∴.令,得,∴函數(shù)在區(qū)間上單凋遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增.記的兩個零點為,∴,必有.由,得.∴又∵,∴.綜上所述,實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查導數(shù)的綜合應用,涉及到函數(shù)的單調(diào)性、零點問題,意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學計算能力,屬于較難題.18、(1)(2)【解析】
(1)由正弦定理將,轉(zhuǎn)化,即,由余弦定理求得,再由平方關(guān)系得再求解.(2)由,得,結(jié)合再求解.【詳解】(1)由正弦定理,得,即,則,而,又,解得,故.(2)因為,則,因為,故,故,解得,故,則.【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式,考查運算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.19、(1)最小正周期為,單調(diào)遞增區(qū)間為;(2).【解析】
(1)利用三角恒等變換思想化簡函數(shù)的解析式為,利用正弦型函數(shù)的周期公式可求得函數(shù)的最小正周期,解不等式可求得該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)由求得,由得出或,分兩種情況討論,結(jié)合余弦定理解三角形,進行利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】(1),所以,函數(shù)的最小正周期為,由得,因此,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為;(2)由,得,或,或,,,又,,即.①當時,即,則由,,得,則,此時,的面積為;②當時,則,即,則由,解得,,.綜上,的面積為.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間的求解,同時也考查了三角形面積的計算,涉及余弦定理解三角形的應用,考查計算能力,屬于中等題.20、(1)不同的樣本的個數(shù)為.(2)①分布列見解析,.②線性回歸方程為.可預測該同學的物理成績?yōu)?6分.【解析】
(1)按比例抽取即可,再用乘法原理計算不同的樣本數(shù).(2)名學生中物理和數(shù)學都優(yōu)秀的有3名學生,任取3名學生,都優(yōu)秀的學生人數(shù)服從超幾何分布,故可得其概率分布列及其數(shù)學期望.而線性回歸方程的計算可用給出的公式計算,并利用得到的回歸方程預測該同學的物理成績.【詳解】(1)依據(jù)分層抽樣的方法,24名女同學中應抽取的人數(shù)為名,18名男同學中應抽取的人數(shù)為名,故不同的樣本的個數(shù)為.(2)①∵7名同學中數(shù)學和物理成績均為優(yōu)秀的人數(shù)為3名,∴的取值為0,1,2,3.∴,,,.∴的分布列為0123∴.②∵,.∴線性回歸方程為.當時,.可預測該同學的物理成績?yōu)?6分.【點睛】在計算離散型隨機變量的概率時,注意利用常見的概率分布列來簡化計算(如二項分布、超幾何分布等).21、(1):,:;(2)【解析】
(1)消去參數(shù)求得直線的普通方程,將兩邊同乘以,化簡求得圓的直角坐標方程.(2)求得直線的標準參數(shù)方程,代入圓的直角坐標方程,化簡后寫出韋達定理,根據(jù)直線參數(shù)的幾何意義,求得的值.【詳解】(1)消去參數(shù),得直線的普通方程為,將兩邊同乘以得,,∴圓的直角坐標方程為;(2)經(jīng)檢驗點在直線上,可轉(zhuǎn)化為①,將①式代入圓的直角坐標方程為得,化簡得,設是方程的兩根,則,,∵,∴與同號,由的幾何意義得.【點睛】本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程、極坐標方程化為直角坐標方程,考查利用直線參數(shù)的幾何意義求解距離問
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