概率統(tǒng)計課件概統(tǒng)

Ch3-97§3.3隨機變量的獨立性——將事件獨立性推廣到r.v.設(shè)(X,Y)為二維r.v.若對任何則稱r.v.X

和Y相互獨立

兩個r.v.的相互獨立性實數(shù)x,y都有§3.3定義Ch3-98由定義知二維r.v.(X,Y)相互獨立Ch3-99X與Y

獨立即連續(xù)型二維隨機變量

(X,Y)

相互獨立,則邊緣分布完全確定聯(lián)合分布對一切i,j

有離散型X與Y

獨立對任何x,y有Ch3-100二維連續(xù)r.v.(X,Y)相互獨立Ch3-101設(shè)離散r.v.X,Y相互獨立,且服XP-110.50.5YP-110.50.5問題從同一分布,是否有X=Y？為簡單計不妨假設(shè)-11

-110.250.250.250.250.50.50.50.5XY由X,Y獨立性問題Ch3-102故不能說

X

=Y.由上表易得:（即使概率為1的事件未必是必然事件）Ch3-103證對任何x,y有取X與Y相互獨立正態(tài)分布性質(zhì)4(必要性)正態(tài)性質(zhì)4Ch3-104故充分性將代入即得Ch3-105例1已知(X,Y)的聯(lián)合d.f.為(1)(2)討論X,Y是否獨立？例1Ch3-106解(1)由圖知邊緣d.f.為11顯然，故X,Y相互獨立Ch3-107(2)由圖知邊緣d.f.

為顯然，故X,Y不獨立11Ch3-108判斷連續(xù)

r.v.

相互獨立的有關(guān)命題設(shè)f(x,y)是連續(xù)r.v.(X,Y)的d.f.

r(x),g(y)為非負可積函數(shù),且則X,Y相互獨立且判獨立由命題,不用計算即知(1)中的X與Y獨立Ch3-109對于分布函數(shù)也有類似結(jié)果設(shè)F(x,y)是二維連續(xù)r.v.(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù),則(X,Y)相互獨立的充要條件為且Ch3-110判斷獨立的一個重要命題設(shè)X,Y為相互獨立的r.v.

u(x),v(y)為連續(xù)函數(shù),則U=u(X),V=v(Y)也相互獨立.即獨立

r.v.的連續(xù)函數(shù)仍獨立.下面予以證明.Ch3-111設(shè)X與Y的d.f.

分別為fX(x),fY(y),則因此，事實上,Ch3-112證明:隨機變量例2例2設(shè)X與Y獨立同分布,其密度函數(shù)

也相互獨立.

與采用隨機變量代換法Ch3-113本題需驗證現(xiàn)知,那么與有何關(guān)系？由微積分學知其中為雅可賓行列式Ch3-114證由題設(shè)知二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為由于變換

是一對一變換，其逆變換為

Ch3-115且變換的雅可賓行列式為

Ch3-116

從而的聯(lián)合密度函數(shù)為

Ch3-117關(guān)于的邊緣密度函數(shù)為關(guān)于的邊緣密度函數(shù)為Ch3-118由于所以與相互獨立.

注還可用下一節(jié)(§3.4)介紹的方法證明本題Ch3-119若X,Y為相互獨立的r.v.則aX+b,cY+d也相互獨立；X2,Y2也相互獨立；隨機變量相互獨立的概念可以推廣到n

維隨機變量若則稱r.v.X