概率統(tǒng)計(jì)課件概統(tǒng)

Ch3-97§3.3隨機(jī)變量的獨(dú)立性——將事件獨(dú)立性推廣到r.v.設(shè)(X,Y)為二維r.v.若對(duì)任何則稱r.v.X

和Y相互獨(dú)立

兩個(gè)r.v.的相互獨(dú)立性實(shí)數(shù)x,y都有§3.3定義Ch3-98由定義知二維r.v.(X,Y)相互獨(dú)立Ch3-99X與Y

獨(dú)立即連續(xù)型二維隨機(jī)變量

(X,Y)

相互獨(dú)立,則邊緣分布完全確定聯(lián)合分布對(duì)一切i,j

有離散型X與Y

獨(dú)立對(duì)任何x,y有Ch3-100二維連續(xù)r.v.(X,Y)相互獨(dú)立Ch3-101設(shè)離散r.v.X,Y相互獨(dú)立,且服XP-110.50.5YP-110.50.5問(wèn)題從同一分布,是否有X=Y？為簡(jiǎn)單計(jì)不妨假設(shè)-11

-110.250.250.250.250.50.50.50.5XY由X,Y獨(dú)立性問(wèn)題Ch3-102故不能說(shuō)

X

=Y.由上表易得:（即使概率為1的事件未必是必然事件）Ch3-103證對(duì)任何x,y有取X與Y相互獨(dú)立正態(tài)分布性質(zhì)4(必要性)正態(tài)性質(zhì)4Ch3-104故充分性將代入即得Ch3-105例1已知(X,Y)的聯(lián)合d.f.為(1)(2)討論X,Y是否獨(dú)立？例1Ch3-106解(1)由圖知邊緣d.f.為11顯然，故X,Y相互獨(dú)立Ch3-107(2)由圖知邊緣d.f.

為顯然，故X,Y不獨(dú)立11Ch3-108判斷連續(xù)

r.v.

相互獨(dú)立的有關(guān)命題設(shè)f(x,y)是連續(xù)r.v.(X,Y)的d.f.

r(x),g(y)為非負(fù)可積函數(shù),且則X,Y相互獨(dú)立且判獨(dú)立由命題,不用計(jì)算即知(1)中的X與Y獨(dú)立Ch3-109對(duì)于分布函數(shù)也有類似結(jié)果設(shè)F(x,y)是二維連續(xù)r.v.(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù),則(X,Y)相互獨(dú)立的充要條件為且Ch3-110判斷獨(dú)立的一個(gè)重要命題設(shè)X,Y為相互獨(dú)立的r.v.

u(x),v(y)為連續(xù)函數(shù),則U=u(X),V=v(Y)也相互獨(dú)立.即獨(dú)立

r.v.的連續(xù)函數(shù)仍獨(dú)立.下面予以證明.Ch3-111設(shè)X與Y的d.f.

分別為fX(x),fY(y),則因此，事實(shí)上,Ch3-112證明:隨機(jī)變量例2例2設(shè)X與Y獨(dú)立同分布,其密度函數(shù)

也相互獨(dú)立.

與采用隨機(jī)變量代換法Ch3-113本題需驗(yàn)證現(xiàn)知,那么與有何關(guān)系？由微積分學(xué)知其中為雅可賓行列式Ch3-114證由題設(shè)知二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為由于變換

是一對(duì)一變換，其逆變換為

Ch3-115且變換的雅可賓行列式為

Ch3-116

從而的聯(lián)合密度函數(shù)為

Ch3-117關(guān)于的邊緣密度函數(shù)為關(guān)于的邊緣密度函數(shù)為Ch3-118由于所以與相互獨(dú)立.

注還可用下一節(jié)(§3.4)介紹的方法證明本題Ch3-119若X,Y為相互獨(dú)立的r.v.則aX+b,cY+d也相互獨(dú)立；X2,Y2也相互獨(dú)立；隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念可以推廣到n

維隨機(jī)變量若則稱r.v.X