概率論與數(shù)理統(tǒng)計第3講

我們首先引入的計算概率的數(shù)學(xué)模型，是在概率論的發(fā)展過程中最早出現(xiàn)的研究對象，通常稱為古典概型一、古典概型

假定某個試驗有有限個可能的結(jié)果

假定從該試驗的條件及實施方法上去分析，我們找不到任何理由認(rèn)為其中某一結(jié)果例如ei，比任一其它結(jié)果，例如ej,更有優(yōu)勢，則我們只好認(rèn)為所有結(jié)果在試驗中有同等可能的出現(xiàn)機(jī)會，即1/N的出現(xiàn)機(jī)會.e1,e2,…，eN

,常常把這樣的試驗結(jié)果稱為“等可能的”.e1,e2,…，eN試驗結(jié)果你認(rèn)為哪個結(jié)果出現(xiàn)的可能性大？23479108615

例如，一個袋子中裝有10個大小、形狀完全相同的球.將球編號為1－10.把球攪勻，蒙上眼睛，從中任取一球.因為抽取時這些球是完全平等的，我們沒有理由認(rèn)為10個球中的某一個會比另一個更容易取得.也就是說，10個球中的任一個被取出的機(jī)會是相等的，均為1/10.1324567891010個球中的任一個被取出的機(jī)會都是1/1023479108615我們用i表示取到i號球，i=1,2,…,10.稱這樣一類隨機(jī)試驗為古典概型.34791086152且每個樣本點(diǎn)(或者說基本事件)出現(xiàn)的可能性相同.S={1,2,…,10},則該試驗的樣本空間如i=2

稱這種試驗為有窮等可能隨機(jī)試驗

或古典概型.定義1

若隨機(jī)試驗滿足下述兩個條件：

(1)它的樣本空間只有有限多個樣本點(diǎn)；

(2)每個樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同.

二、古典概型中事件概率的計算記A={摸到2號球}

P(A)=?

P(A)=1/10記B={摸到紅球}

P(B)=?

P(B)=6/10223479108615132456這里實際上是從“比例”轉(zhuǎn)化為“概率”記B={摸到紅球}

P(B)=6/10靜態(tài)動態(tài)當(dāng)我們要求“摸到紅球”的概率時，只要找出它在靜態(tài)時相應(yīng)的比例.23479108615

這樣就把求概率問題轉(zhuǎn)化為計數(shù)問題.定義2

設(shè)試驗E是古典概型,其樣本空間S由n個樣本點(diǎn)組成,事件A由k個樣本點(diǎn)組成.則定義事件A的概率為：稱此概率為古典概率.這種確定概率的方法稱為古典方法.

A包含的樣本點(diǎn)數(shù)

P(A)＝k/n＝

S中的樣本點(diǎn)總數(shù)排列組合是計算古典概率的重要工具.請回答：1、怎樣的一類隨機(jī)試驗稱為古典概型？2、如何計算古典概型中事件的概率？為什么這樣計算？下面我們就來介紹如何計算古典概率.基本計數(shù)原理這里我們先簡要復(fù)習(xí)一下計算古典概率所用到的1.加法原理設(shè)完成一件事有m種方式，第一種方式有n1種方法，第二種方式有n2種方法,…；第m種方式有nm種方法,無論通過哪種方法都可以完成這件事，則完成這件事總共有n1+n2+…+nm

種方法.例如，某人要從甲地到乙地去,甲地乙地可以乘火車,也可以乘輪船.火車有兩班輪船有三班乘坐不同班次的火車和輪船，共有幾種方法?3

+2

種方法回答是基本計數(shù)原理則完成這件事共有種不同的方法.2.乘法原理設(shè)完成一件事有m個步驟，第一個步驟有n1種方法，第二個步驟有n2種方法,…；第m個步驟有nm種方法,必須通過每一步驟,才算完成這件事，例如，若一個男人有三頂帽子和兩件背心，問他可以有多少種打扮？可以有種打扮加法原理和乘法原理是兩個很重要計數(shù)原理，它們不但可以直接解決不少具體問題，同時也是推導(dǎo)下面常用排列組合公式的基礎(chǔ).三、排列、組合的幾個簡單公式排列和組合的區(qū)別：順序不同是不同的排列3把不同的鑰匙的6種排列而組合不管順序從3個元素取出2個的排列總數(shù)有6種從3個元素取出2個的組合總數(shù)有3種1、排列:

從n個不同元素取k個（1kn)的不同排列總數(shù)為：k=n時稱全排列排列、組合的幾個簡單公式ABDC例如：n=4,k=3第1次選取第2次選取第3次選取BDCBCDBDC……從n個不同元素取k個（允許重復(fù)）（1kn)的不同排列總數(shù)為：例如：從裝有4張卡片的盒中有放回地摸取3張3241n=4,k=3123第1張4123第2張4123第3張4共有4.4.4=43種可能取法2、組合:從n個不同元素取k個（1kn)的不同組合總數(shù)為：常記作，稱為組合系數(shù)。你能證明嗎？組合系數(shù)又常稱為二項式系數(shù)，因為它出現(xiàn)在下面的二項式展開的公式中：3、組合系數(shù)與二項式展開的關(guān)系令

a=-1,b=1利用該公式，可得到許多有用的組合公式：令

a=b=1,得由有比較兩邊

xk

的系數(shù)，可得

運(yùn)用二項式展開4、n個不同元素分為k組，各組元素數(shù)目分別為r1,r2,…,rk的分法總數(shù)為r1個元素r2個元素rk個元素…n個元素因為請回答：對排列組合，我們介紹了幾個計算公式？排列：選排列，全排列，下面我們就用這些公式來計算.分組分配.

組合；允許重復(fù)的排列;四、古典概率計算舉例例1

把C、C、E、E、I、N、S七個字母分別寫在七張同樣的卡片上，并且將卡片放入同一盒中，現(xiàn)從盒中任意一張一張地將卡片取出，并將其按取到的順序排成一列，假設(shè)排列結(jié)果恰好拼成一個英文單詞：CISNCEE問：在多大程度上認(rèn)為這樣的結(jié)果是奇怪的，甚至懷疑是一種魔術(shù)？拼成英文單詞SCIENCE

的情況數(shù)為故該結(jié)果出現(xiàn)的概率為：這個概率很小，這里算出的概率有如下的實際意義：如果多次重復(fù)這一抽卡試驗，則我們所關(guān)心的事件在1260次試驗中大約出現(xiàn)1次.解：七個字母的排列總數(shù)為7！這樣小概率的事件在一次抽卡的試驗中就發(fā)生了，人們有比較大的把握懷疑這是魔術(shù).具體地說，可以99.9%的把握懷疑這是魔術(shù).解：=0.3024允許重復(fù)的排列問：錯在何處？例2

某城市的電話號碼由5個數(shù)字組成，每個數(shù)字可能是從0-9這十個數(shù)字中的任一個，求電話號碼由五個不同數(shù)字組成的概率.