第4章單樣本決策

西南科技大學(xué)工業(yè)工程與設(shè)計(jì)系朱伏平10/24/2023110/24/20232

統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門有關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的科學(xué)。它提供了探索數(shù)據(jù)內(nèi)在規(guī)律的一套方法，通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)得收集和分析，找出內(nèi)在的數(shù)學(xué)規(guī)律。一般來(lái)說(shuō)，包括以下幾類問(wèn)題：一、參數(shù)估計(jì)的基本問(wèn)題(Thebasicparameterestimationproblems)未知分布函數(shù)的估計(jì)參數(shù)估計(jì)統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)參數(shù)估計(jì)的幾類問(wèn)題矩估計(jì)法最大似然估計(jì)法10/24/20233統(tǒng)計(jì)量是用樣本構(gòu)造的函數(shù)，它包含了樣本中的信息，因而可以用統(tǒng)計(jì)量的值來(lái)推斷總體參數(shù)，如均值、方差、成數(shù)等。統(tǒng)計(jì)量設(shè)X1,X2,···,Xn

為總體X

的一個(gè)樣本,g(X1,X2,···,Xn)為一連續(xù)函數(shù)，若g中不含未知參數(shù)，為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。設(shè)x1,x2,···,xn是一組樣本觀察值，稱g(x1,x2,···,xn)是統(tǒng)計(jì)量g(X1,X2,···,Xn)的一個(gè)觀察值。則稱g(X1,X2,···,Xn)10/24/20234點(diǎn)估計(jì)的概念

設(shè)

是總體X分布的未知數(shù)，是用X的樣本構(gòu)造的統(tǒng)計(jì)量，的一個(gè)觀察值去估計(jì)未知參數(shù)

的真值，參數(shù)

的點(diǎn)估計(jì)；為

的估計(jì)量；為

的一個(gè)估計(jì)值。由于估計(jì)量是隨機(jī)變量，抽取不同的樣本，其取值是各不相同的。用一個(gè)特定樣本對(duì)總體未知參數(shù)所作的估計(jì)，僅是所有可能估計(jì)值中的一個(gè)點(diǎn)，故稱為點(diǎn)估計(jì)。

稱為并稱統(tǒng)計(jì)量10/24/2023510/24/2023610/24/20237參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)(Thepointestimateparameters)常用的兩種點(diǎn)估計(jì)方法：矩估計(jì)法和最大似然估計(jì)法。1矩估計(jì)法：基本思想：樣本X1，……，Xn作為總體的一個(gè)代表，由其構(gòu)成的樣本一定程度上反映了總體矩，由大數(shù)定理知，樣本矩依概率收斂于總體矩。因此只要總體X的K階原點(diǎn)矩存在，就可以用樣本矩作為相應(yīng)的總體矩的估計(jì)量。按矩估計(jì)法，樣本均值是總體均值的估計(jì)量，即：10/24/20238樣本方差S2是總體方差的估計(jì)量，即：備注：矩估計(jì)法的優(yōu)缺點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)單、直觀，并且不必知道總體的分布類型，廣泛應(yīng)用。缺點(diǎn)：首先它要求總體的k階原點(diǎn)矩存在，否則無(wú)法估計(jì)；其次它不考慮總體分布類型，不利于充分利用總體分布函數(shù)所提供的信息。10/24/20239統(tǒng)計(jì)學(xué)中對(duì)矩的定義，所謂的k階原點(diǎn)矩和k階中心矩，對(duì)于離散情形下，是取和之后再平均；而對(duì)于連續(xù)情況，取而代之的則是積分。而原點(diǎn)矩和中心矩的區(qū)別就在于對(duì)數(shù)據(jù)的處理上的不同，原點(diǎn)矩描述的是數(shù)據(jù)在原點(diǎn)0處附近的特性，中心矩則描述的是數(shù)據(jù)在其平均值附近的特性，二者的關(guān)系就好比如概率論中期望與方差的關(guān)系。10/24/202310設(shè)某種元件的壽命X～N(

,

2)，其中

,

2未知，現(xiàn)隨機(jī)測(cè)得10個(gè)元件的壽命如下(小時(shí))1502,1453,1367,1108,16501213,1208,1480,1550,1700試估計(jì)

和

2。解：使用excel中，AVERAGE，VARP功能可得【例1】產(chǎn)品壽命均值和方差的估計(jì)10/24/20231110/24/20231210/24/20231310/24/20231410/24/20231510/24/2023161.無(wú)偏性為未知參數(shù)

的估計(jì)量，則稱為

的無(wú)偏估計(jì)量，無(wú)偏性是對(duì)估計(jì)量的最基本要求，無(wú)偏估計(jì)將不會(huì)出現(xiàn)系統(tǒng)性的估計(jì)偏差。不難證明，對(duì)任意總體X，和樣本方差S2分別是總體均值和總體方差的無(wú)偏估計(jì)。估計(jì)量的優(yōu)良準(zhǔn)則簡(jiǎn)稱無(wú)偏估計(jì)。若樣本均值樣本比例也是總體比例的無(wú)偏估計(jì)。

10/24/20231710/24/202318有效性是衡量估計(jì)量最重要的標(biāo)準(zhǔn)。對(duì)給定的樣本容量，有效估計(jì)是所有無(wú)偏估計(jì)量中估計(jì)誤差最小的。是參數(shù)

的兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)，若有效；容量，是

所有無(wú)偏估計(jì)中方差最小的，是

的最小方差無(wú)偏估計(jì)，2.有效性對(duì)固定的樣本若則稱也稱為

的有效估計(jì)。樣本均值和樣本比例都是總體均值和總體比例的有效估計(jì)；而對(duì)正態(tài)總體，樣本方差也是總體方差的有效估計(jì)。

可以證明，對(duì)任意總體，10/24/20231910/24/202320n1n2n3n3

n2n13、一致性設(shè)是參數(shù)的估計(jì)量，對(duì)于任意給定的，當(dāng)時(shí)有則稱為的一致估計(jì)量。10/24/20232110/24/20232210/24/202323二、假設(shè)檢驗(yàn)1、

參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)

在總體的分布函數(shù)已知，但參數(shù)未知時(shí)，如對(duì)總體分布中的未知參數(shù)提出假設(shè)，則如何利用樣本提供的信息來(lái)檢驗(yàn)這個(gè)假設(shè)，即接受此假設(shè)還是拒絕此假設(shè)。

這類統(tǒng)計(jì)問(wèn)題我們稱之為參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題。參數(shù)估計(jì)和參數(shù)檢驗(yàn)是利用樣本對(duì)總體的統(tǒng)計(jì)特性提供的信息，建立樣本的函數(shù)，即估計(jì)量或檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，是從不同角度處理總體未知參數(shù)的兩種統(tǒng)計(jì)方法。

10/24/20232410/24/202325假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想

設(shè)總體為，建立假設(shè)這里表示原假設(shè)，表示備擇假設(shè)。假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題，就是要建立一個(gè)合理的法則，根據(jù)這一法則，利用已知樣本作出接受原假設(shè)（即拒絕備擇假設(shè)），還是拒絕原假設(shè)（即接受備擇假設(shè)）的決策。

10/24/202326判斷“假設(shè)”的依據(jù)

實(shí)際推斷原理：概率很小的事件在一次試驗(yàn)中幾乎是不會(huì)發(fā)生的。如果原假設(shè)為真，則由一次抽樣計(jì)算而得的樣本觀測(cè)值，滿足不等式此事件幾乎是不會(huì)發(fā)生的。

現(xiàn)在在一次觀測(cè)中竟然出現(xiàn)了滿足上述不等式的樣本均值，則我們有理由懷疑原來(lái)的假設(shè)的正確性，因而拒絕原假設(shè)。

若出現(xiàn)的觀測(cè)值不滿足上述不等式，此時(shí)沒(méi)有足夠的理由拒絕，因此只能接受原假設(shè)。

10/24/20232710/24/20232810/24/20232910/24/202330兩類錯(cuò)誤

在使用任何一個(gè)檢驗(yàn)法(相當(dāng)于確定一個(gè)拒絕域)時(shí),由于抽樣的隨機(jī)性,作出的判斷總可能會(huì)犯兩類錯(cuò)誤：一是假設(shè)實(shí)際上為真時(shí),我們卻作出拒絕的錯(cuò)誤決策,稱這類“棄真”的錯(cuò)誤為第一類錯(cuò)誤；二是當(dāng)實(shí)際上不真時(shí),我們卻接受了,稱這類“取偽”的錯(cuò)誤為第二類錯(cuò)誤。我們這里討論的檢驗(yàn)問(wèn)題中的顯著性水平控制了犯第一類錯(cuò)誤的概率。

這種只對(duì)犯第一類錯(cuò)誤的概率加以控制,而不考慮犯第二類錯(cuò)誤的檢驗(yàn)問(wèn)題,稱為顯著性檢驗(yàn)問(wèn)題。

10/24/20233110/24/20233210/24/20233310/24/20233410/24/202335參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題的步驟：

第一步：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的要求,提出原假設(shè)和備擇假設(shè)；第二步：給定顯著性水平以及樣本容量；第三步：確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其分布，并由原假設(shè)的內(nèi)容確定拒絕域的形式（構(gòu)建統(tǒng)計(jì)量）；第四步：

由{拒絕|為真}≤求出拒絕域；

第五步；根據(jù)樣本觀測(cè)值計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的具體值；第六步；作出拒絕還是接受原假設(shè)的統(tǒng)計(jì)判斷。

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