考研數(shù)學(xué)一歷年真題答案2002 2011

則函數(shù)的圖形為【答案】【解析】此題為定積分的應(yīng)用知識(shí)考核，由的圖形可見，其圖像與軸及軸、所圍的圖形的代數(shù)面積為所求函數(shù)，從而可得出幾個(gè)方面的特征：①時(shí)，，且單調(diào)遞減。②時(shí)，單調(diào)遞增。③時(shí)，為常函數(shù)。④時(shí)，為線性函數(shù)，單調(diào)遞增。⑤由于F(x)為連續(xù)函數(shù)結(jié)合這些特點(diǎn)，可見正確選項(xiàng)為。（4）設(shè)有兩個(gè)數(shù)列，若，則當(dāng)收斂時(shí)，收斂. 當(dāng)發(fā)散時(shí)，發(fā)散. 當(dāng)收斂時(shí)，收斂. 當(dāng)發(fā)散時(shí)，發(fā)散.【答案】C【解析】方法一：舉反例A取 B取 D取故答案為（C）方法二：因?yàn)閯t由定義可知使得時(shí)，有又因?yàn)槭諗浚傻脛t由定義可知使得時(shí)，有從而，當(dāng)時(shí)，有，則由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法可知收斂。（5）設(shè)是3維向量空間的一組基，則由基到基的過渡矩陣為. . . .【答案】A【解析】因?yàn)?，則稱為基到的過渡矩陣。則由基到的過渡矩陣滿足所以此題選。（6）設(shè)均為2階矩陣，分別為的伴隨矩陣，若，則分塊矩陣的伴隨矩陣為. . . .【答案】B【解析】根據(jù)，若分塊矩陣的行列式，即分塊矩陣可逆故答案為B。（7）設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，其中為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，則. . . .【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所以而，所以。?）設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，的概率分布為，記為隨機(jī)變量的分布函數(shù)，則函數(shù)的間斷點(diǎn)個(gè)數(shù)為0. 1. 2. 3.【答案】B【解析】獨(dú)立（1）若，則（2）當(dāng)，則為間斷點(diǎn)，故選（B）二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.（9）設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，，則?！敬鸢浮俊窘馕觥?，（10）若二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解為，則非齊次方程滿足條件的解為?！敬鸢浮俊窘馕觥坑沙Ｏ禂?shù)線性齊次微分方程的通解為可知，為其線性無(wú)關(guān)解。代入齊次方程，有從而可見。微分方程為設(shè)特解代入，特解把，代入，得所求（11）已知曲線，則?！敬鸢浮俊窘馕觥坑深}意可知，，則，所以（12）設(shè)，則?！敬鸢浮俊窘馕觥糠椒ㄒ唬悍椒ǘ河奢啌Q對(duì)稱性可知所以，（13）若3維列向量滿足，其中為的轉(zhuǎn)置，則矩陣的非零特征值為?！敬鸢浮?【解析】,的非零特征值為2.(14)設(shè)為來(lái)自二項(xiàng)分布總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，和分別為樣本均值和樣本方差。若為的無(wú)偏估計(jì)量，則【答案】【解析】為的無(wú)偏估計(jì)三、解答題：15－23小題，共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分9分）求二元函數(shù)的極值?！窘馕觥抗蕜t而二元函數(shù)存在極小值（16）（本題滿分9分）設(shè)為曲線與所圍成區(qū)域的面積，記，求與的值?！窘馕觥坑深}意，與在點(diǎn)和處相交，所以，從而由取得（17）（本題滿分11分）橢球面是橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)而成，圓錐面是過點(diǎn)且與橢圓相切的直線繞軸旋轉(zhuǎn)而成。（Ⅰ）求及的方程（Ⅱ）求與之間的立體體積。【解析】（I）的方程為，過點(diǎn)與的切線為，所以的方程為。（II）記，由，記，則（18）（本題滿分11分）（Ⅰ）證明拉格朗日中值定理：若函數(shù)在上連續(xù)，在可導(dǎo)，則存在，使得（Ⅱ）證明：若函數(shù)在處連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，則存在，且?！窘馕觥浚á瘢┳鬏o助函數(shù)，易驗(yàn)證滿足：；在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且。根據(jù)羅爾定理，可得在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使，即（Ⅱ）任取，則函數(shù)滿足；在閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，從而有拉格朗日中值定理可得：存在，使得……又由于，對(duì)上式（*式）兩邊取時(shí)的極限可得：故存在，且。（19）（本題滿分10分）計(jì)算曲面積分，其中是曲面的外側(cè)?！窘馕觥浚渲孝佗冖邰?②+③=由于被積函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)（0，0，0）處不連續(xù)，作封閉曲面（外側(cè)）有（20）（本題滿分11分）設(shè)，（Ⅰ）求滿足的所有向量，（Ⅱ）對(duì)（Ⅰ）中的任一向量，證明：線性無(wú)關(guān)。【解析】（Ⅰ）解方程故有一個(gè)自由變量，令，由解得，求特解，令，得故，其中為任意常數(shù)解方程故有兩個(gè)自由變量，令，由得令，由得求特解故，其中為任意常數(shù)（Ⅱ）證明：由于故線性無(wú)關(guān).（21）（本題滿分11分）設(shè)二次型（Ⅰ）求二次型的矩陣的所有特征值；（Ⅱ）若二次型的規(guī)范形為，求的值?！窘馕觥浚á瘢á颍┤粢?guī)范形為，說明有兩個(gè)特征值為正，一個(gè)為0。則若，則，，不符題意若，即，則，，符合若，即，則，，不符題意綜上所述，故（22）（本題滿分11分）袋中有1個(gè)紅色球，2個(gè)黑色球與3個(gè)白球，現(xiàn)有放回地從袋中取兩次，每次取一球，以分別表示兩次取球所取得的紅球、黑球與白球的個(gè)數(shù)。（Ⅰ）求；（Ⅱ）求二維隨機(jī)變量的概率分布?！窘馕觥浚á瘢┰跊]有取白球的情況下取了一次紅球，利用壓縮樣本空間則相當(dāng)于只有1個(gè)紅球，2個(gè)黑球放回摸兩次，其中摸了一個(gè)紅球（Ⅱ）X，Y取值范圍為0，1，2，故XY01201/41/61/3611/31/9021/900（23）（本題滿分11分） 設(shè)總體的概率密度為，其中參數(shù)未知，，,…是來(lái)自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 (Ⅰ)求參數(shù)的矩估計(jì)量；（Ⅱ）求參數(shù)的最大似然估計(jì)量【解析】（1）由而為總體的矩估計(jì)量（2）構(gòu)造似然函數(shù)取對(duì)數(shù)令故其最大似然估計(jì)量為2011年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題答案解析一、選擇題1、【答案】【考點(diǎn)分析】本題考查拐點(diǎn)的判斷。直接利用判斷拐點(diǎn)的必要條件和第二充分條件即可?！窘馕觥坑煽芍謩e是的一、二、三、四重根，故由導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)之間的關(guān)系可知，，，，故（3，0）是一拐點(diǎn)。2、【答案】【考點(diǎn)分析】本題考查冪級(jí)數(shù)的收斂域。主要涉及到收斂半徑的計(jì)算和常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的一些結(jié)論，綜合性較強(qiáng)?！窘馕觥繜o(wú)界，說明冪級(jí)數(shù)的收斂半徑；單調(diào)減少，，說明級(jí)數(shù)收斂，可知冪級(jí)數(shù)的收斂半徑。因此，冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，收斂區(qū)間為。又由于時(shí)冪級(jí)數(shù)收斂，時(shí)冪級(jí)數(shù)發(fā)散?？芍諗坑?yàn)椤?、【答案】【考點(diǎn)分析】本題考查二元函數(shù)取極值的條件，直接套用二元函數(shù)取極值的充分條件即可?！窘馕觥坑芍?，所以，，要使得函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處取得極小值，僅需，所以有4、【答案】【考點(diǎn)分析】本題考查定積分的性質(zhì)，直接將比較定積分的大小轉(zhuǎn)化為比較對(duì)應(yīng)的被積函數(shù)的大小即可?！窘馕觥繒r(shí)，，因此，故選（B）5、【答案】【考點(diǎn)分析】本題考查初等矩陣與初等變換的關(guān)系。直接應(yīng)用相關(guān)定理的結(jié)論即可?！窘馕觥坑沙醯染仃嚺c初等變換的關(guān)系知，，所以，故選（D）6、【答案】【考點(diǎn)分析】本題考查齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，需要綜合應(yīng)用秩，伴隨矩陣等方面的知識(shí)，有一定的靈活性?！窘馕觥坑傻幕A(chǔ)解系只有一個(gè)知，所以，又由知，都是的解，且的極大線生無(wú)關(guān)組就是其基礎(chǔ)解系，又，所以線性相關(guān)，故或?yàn)闃O大無(wú)關(guān)組，故應(yīng)選（D）7、【答案】【考點(diǎn)分析】本題考查連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度的性質(zhì)?！窘馕觥繖z驗(yàn)概率密度的性質(zhì)：；?？芍獮楦怕拭芏?，故選（）。8、【答案】【考點(diǎn)分析】本題考查隨機(jī)變量數(shù)字特征的運(yùn)算性質(zhì)。計(jì)算時(shí)需要先對(duì)隨機(jī)變量進(jìn)行處理，有一定的靈活性?！窘馕觥坑捎诳芍蕬?yīng)選（B）二、填空題9、【答案】【考點(diǎn)分析】本題考查曲線弧長(zhǎng)的計(jì)算，直接代公式即可?！窘馕觥?0、【答案】【考點(diǎn)分析】本題考查一階線性微分方程的求解。先按一階線性微分方程的求解步驟求出其通解，再根據(jù)定解條件，確定通解中的任意常數(shù)?！窘馕觥吭匠痰耐ń鉃橛?，得，故所求解為11、【答案】【考點(diǎn)分析】本題考查偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算?！窘馕觥俊９?。12、【答案】【考點(diǎn)分析】本題考查第二類曲線積分的計(jì)算。首先將曲線寫成參數(shù)方程的形式，再代入相應(yīng)的計(jì)算公式計(jì)算即可?！窘馕觥壳€的參數(shù)方程為，其中從到。因此13、【答案】【考點(diǎn)分析】本題考查二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)型的相關(guān)知識(shí)。題目中的條件相當(dāng)于告訴了二次型的特征值，通過特征值的相關(guān)性質(zhì)可以解出?！窘馕觥勘绢}等價(jià)于將二次型經(jīng)正交變換后化為了。由正交變換的特點(diǎn)可知，該二次型的特征值為。該二次型的矩陣為，可知，因此。14、【答案】【考點(diǎn)分析】：本題考查二維正態(tài)分布的性質(zhì)。【解析】：由于，由二維正態(tài)分布的性質(zhì)可知隨機(jī)變量獨(dú)立。因此。由于服從，可知，則。三、解答題15、【答案】【考點(diǎn)分析】：本題考查極限的計(jì)算，屬于形式的極限。計(jì)算時(shí)先按未定式的計(jì)算方法將極限式變形，再綜合利用等價(jià)無(wú)窮小替換、洛必達(dá)法則等方法進(jìn)行計(jì)算?！窘馕觥浚?6、【答案】【考點(diǎn)分析】：本題綜合考查偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算和二元函數(shù)取極值的條件，主要考查考生的計(jì)算能力，計(jì)算量較大。【解析】：由于在處取得極值，可知。故17、【答案】時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)根時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)根【考點(diǎn)分析】：本題考查方程組根的討論，主要用到函數(shù)單調(diào)性以及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。解題時(shí)，首先通過求導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再在每個(gè)單調(diào)區(qū)間上檢驗(yàn)是否滿足零點(diǎn)存在定理的條件?！窘馕觥浚毫?，則，，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，故此時(shí)的圖像與軸與只有一個(gè)交點(diǎn)，也即方程只有一個(gè)實(shí)根時(shí)，在和上都有，所以在和是嚴(yán)格的單調(diào)遞減，又，故的圖像在和與軸均無(wú)交點(diǎn)時(shí)，時(shí)，，在上單調(diào)增加，又知，在上只有一個(gè)實(shí)根，又或都有，在或都單調(diào)減，又，，所以在與軸無(wú)交點(diǎn)，在上與軸有一個(gè)交點(diǎn)綜上所述：時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)根時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)根18、【考點(diǎn)分析】：本題考查不等式的證明和數(shù)列收斂性的證明，難度較大。（1）要證明該不等式，可以將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式，再利用單調(diào)性進(jìn)行證明；（2）證明收斂性時(shí)要用到單調(diào)有界收斂定理，注意應(yīng)用（1）的結(jié)論?！窘馕觥浚海?）令，則原不等式可化為。先證明：令。由于，可知在上單調(diào)遞增。又由于，因此當(dāng)時(shí)，。也即。再證明：令。由于，可知在上單調(diào)遞增。由于，因此當(dāng)時(shí)，。也即。因此，我們證明了。再令由于，即可得到所需證明的不等式。（2），由不等式可知：數(shù)列單調(diào)遞減。又由不等式可知：。因此數(shù)列是有界的。故由單調(diào)有界收斂定理可知：數(shù)列收斂。19、【答案】：【考點(diǎn)分析】：本題考查二重積分的計(jì)算。計(jì)算中主要利用分部積分法將需要計(jì)算的積分式化為已知的積分式，出題形式較為新穎，有一定的難度?！窘馕觥浚簩⒍胤e分轉(zhuǎn)化為累次積分可得首先考慮，注意這是是把變量看做常數(shù)的，故有由易知。故。對(duì)該積分交換積分次序可得：再考慮積分，注意這里是把變量看做常數(shù)的，故有因此20、【答案】：①；②【考點(diǎn)分析】：本題考查向量的線性表出，需要用到秩以及線性方程組的相關(guān)概念，解題時(shí)注意把線性表出與線性方程組的解結(jié)合起來(lái)?！窘馕觥浚孩儆捎诓荒苡杀硎究芍?，解得②本題等價(jià)于求三階矩陣使得可知計(jì)算可得因此21、【答案】：（1）的特征值分別為1，-1，0，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為，，（2）【考點(diǎn)分析】：實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值與特征向量，解題時(shí)注意應(yīng)用實(shí)對(duì)稱矩陣的特殊性質(zhì)?！窘馕觥浚海?）可知：1，-1均為的特征值，與分別為它們的特征向量，可知0也是的特征值而0的特征向量與，正交設(shè)為0的特征向量有得的特征值分別為1，-1，0對(duì)應(yīng)的特征向量分別為，，（2）其中，故22、【答案】：（1）XY01-101/301/30101/3（2）-101P1/31/31/3（3）【考點(diǎn)分析】：本題考查二維離散型分布的分布律及相關(guān)數(shù)字特征的計(jì)算。其中，最主要的是第一問聯(lián)合分布的計(jì)算。【解析】：（1）由于，因此。故，因此再由可知同樣，由可知這樣，我們就可以寫出的聯(lián)合分布如下：（2）可能的