哈密頓原理課件

2.多自由度力學(xué)體系的小振動(dòng)

考慮一個(gè)完整、穩(wěn)定、保守的力學(xué)體系在平衡位置附近的微小振動(dòng)，設(shè)平衡位置的廣義坐標(biāo)為零，可以將勢(shì)能展為泰勒級(jí)數(shù)取對(duì)保守系略去高級(jí)項(xiàng)第1頁(yè)/共37頁(yè)在穩(wěn)定約束下，動(dòng)能只是速度的二次函數(shù)其中也展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)只取第一項(xiàng)，則為常量慣性系數(shù)恢復(fù)系數(shù)第2頁(yè)/共37頁(yè)代入拉氏方程，得到解的形式為代入上式，得第3頁(yè)/共37頁(yè)由上式可求出2s個(gè)本征值從而求出2s組解為第4頁(yè)/共37頁(yè)振動(dòng)解要求為純虛數(shù)，要做到這一點(diǎn)勢(shì)能V>0.令上式中叫簡(jiǎn)正頻率，共有s個(gè)。第5頁(yè)/共37頁(yè)3.簡(jiǎn)正坐標(biāo)代入拉氏方程得到第6頁(yè)/共37頁(yè)解出簡(jiǎn)正坐標(biāo)簡(jiǎn)正頻率第7頁(yè)/共37頁(yè)第3章、哈密頓力學(xué)1．勒讓德變換稱為主變量，沒(méi)有參與變化的稱作輔變量。第8頁(yè)/共37頁(yè)2．哈密頓正則方程的推導(dǎo)舊函數(shù)變換新函數(shù)變量函數(shù)形式第9頁(yè)/共37頁(yè)3．對(duì)哈氏方程的說(shuō)明(1)、H函數(shù)的物理意義第10頁(yè)/共37頁(yè)(2)、哈氏正則方程同受理想約束的完整具勢(shì)組的拉氏方程是等價(jià)的，應(yīng)用條件都是對(duì)慣性系中。4．正則方程中的初積分(1)、廣義能量積分證明：第11頁(yè)/共37頁(yè)(2)、循環(huán)積分（廣義動(dòng)量守恒）為循環(huán)坐標(biāo)，則5．哈氏正則方程中的解題步驟①建立坐標(biāo)系（慣性系），確定體系的自由度，選取恰當(dāng)?shù)膹V義坐標(biāo)；②寫(xiě)出體系的動(dòng)能及勢(shì)能；第12頁(yè)/共37頁(yè)七、相空間1.定義:由廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量共同構(gòu)成的2s維空間,稱作相空間,通常又稱作P—q空間.③用表示出哈氏函數(shù)④代入正則方程求解。第13頁(yè)/共37頁(yè)2.相空間與位形空間的區(qū)別位形空間相空間維數(shù)s2s功能確定位形位形和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)空間點(diǎn)遵循的方程拉格朗日方程哈密頓正則方程第14頁(yè)/共37頁(yè)2．哈密頓正則方程的推導(dǎo)舊函數(shù)變換新函數(shù)變量函數(shù)形式第15頁(yè)/共37頁(yè)例1、用哈密頓正則方程研究一維諧振子的運(yùn)動(dòng)。解：設(shè)振子的質(zhì)量為m，勁度系數(shù)為k，沿x軸運(yùn)動(dòng)，并且伸長(zhǎng)量為x。則其動(dòng)能和勢(shì)能分別為：廣義動(dòng)量：體系的哈密頓函數(shù)：第16頁(yè)/共37頁(yè)根據(jù)哈密頓正則方程可得：第17頁(yè)/共37頁(yè)例2、軸為豎直而頂點(diǎn)在下的拋物線金屬絲以勻角速度ω繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)。另有一質(zhì)量為m的光滑小環(huán)在金屬絲上并可沿此金屬絲滑動(dòng)。求小環(huán)的運(yùn)動(dòng)微分方程。拋物線的方程為解：取取xoz平面為零勢(shì)面，則第18頁(yè)/共37頁(yè)第19頁(yè)/共37頁(yè)第20頁(yè)/共37頁(yè)1.泊松括號(hào)設(shè)§3.3泊松括號(hào)和泊松定理

代入得到其中泊松括號(hào)第21頁(yè)/共37頁(yè)若則反之，若則是正則方程的一個(gè)運(yùn)動(dòng)積分，因?yàn)橛械?2頁(yè)/共37頁(yè)定義第23頁(yè)/共37頁(yè)2.泊松定理利用泊松括號(hào)，可以從正則方程的兩個(gè)積分，求另一個(gè)積分若則利用得到于是第24頁(yè)/共37頁(yè)復(fù)習(xí)與回顧1.泊松括號(hào)定義設(shè)第25頁(yè)/共37頁(yè)復(fù)習(xí)與回顧第26頁(yè)/共37頁(yè)復(fù)習(xí)與回顧2.泊松定理若于是第27頁(yè)/共37頁(yè)H不是t的顯函數(shù)時(shí)，H=h是正則方程的一個(gè)積分，若由泊松定理但故依此類推，可得第28頁(yè)/共37頁(yè)§3.12哈密頓原理

1.變分運(yùn)算的幾個(gè)法則1）2）第29頁(yè)/共37頁(yè)但是可見(jiàn)一般不能對(duì)易。若則等時(shí)變分不等時(shí)變分第30頁(yè)/共37頁(yè)2.哈密頓原理

保守的、完整的力學(xué)體系在相同時(shí)間內(nèi)，由某一位形轉(zhuǎn)移到另一位形的一切可能運(yùn)動(dòng)中，真實(shí)運(yùn)動(dòng)的主函數(shù)具有穩(wěn)定值。即對(duì)于真實(shí)運(yùn)動(dòng)來(lái)講，主函數(shù)的變分為零。由拉氏方程可得但第31頁(yè)/共37頁(yè)因?yàn)榉Q為作用函數(shù)或主函數(shù)第32頁(yè)/