2021年中考28 四邊形綜合-2021年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講+熱考題型（測試）（解析版）(一)

專題28四邊形綜合

（滿分：100分時間：90分鐘）

班級姓名學(xué)號分數(shù)

一、單選題（共10小題，每小題3分，共計30分）

1.（2021?湖北荊門市?中考真題）在平面直角坐標系中，長為2的線段8（點。在點C右側(cè)）在

x軸上移動A（0,2）,8（0,4）,毗鄰AC、BD,則AC+BD的最小值為（）

A.2#>B.2MC.642D.3亞

【答案解析】B

【考點解析】

作A（0,2）關(guān)于x軸的對稱點A，（0,-2）,再過A'作A正〃x軸且A，E=CD=2,毗鄰BE交x

軸與D點，過A，作A，C〃DE交x軸于點C,得到四邊形CDEA，為平行四邊形，故可知AC+BD最短

等于BE的長，再操縱勾股定理即可求解.

【詳解】

作A(0,2)關(guān)于x軸的對稱點A，(0,-2)

過A'作A'E〃x軸且A'E=CD=2,故E(2,-2)

毗鄰BE交x軸與D點

過A，作A'CODE交x軸于點C,

...四邊形CDEA，為平行四邊形，

此時AC+BD最短等于BE的長，

即AC+BD=A'C+BD=DE+BD=BE=^(2-0)2+(-2-4)2=2710

故選B.

形叫做中點四邊形.已知四邊形488的中點四邊形是正方形，對角線4C與8。的關(guān)系，下列說法

對的是()

A.AC,8。相等且彼此平分B.AC,8。垂直且彼此平分

C.AC,8。相等且彼此垂直D.AC,8。垂直且平分對角

【答案解析】C

【考點解析】

操縱中點四邊形的判斷方式得到答案即可.

【詳解】

順次毗鄰對角線相等的四邊形的四邊中點得到的是菱形，

順次毗鄰對角線垂直的四邊形的四邊中點得到的是矩形，

順次毗鄰對角線相等且垂直的四邊形的四邊中點得到的四邊形是正方形，

故選：C.

3.（2021?湖南永州市?中考真題）如圖，四邊形488的對角線訂交于點O,且點。是8D的中點,

若AB=AD=5,BD=*4ABD=NCDB,則四邊形/BCD的面積為（）

A.40B.24C.20D.15

【答案解析】B

【考點解析】

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到ACLBD,ZBAO-ZDAO,得到AD=CD,推出四邊形ABCD是菱

形，根據(jù)勾股定理得到A0=3,于是得到結(jié)論.

【詳解】

-：AB=ADi點。是8。的中點,

：.AC±BD,NBAO=NDAO,

■:/ABD=/CDB,

:.AB〃CD,

：.ZBAC=ZACD,

：.ZDAC=/ACD,

：.AD=CDy

:?AB=CD,

???四邊形43C。是菱形，

?.?AB=5,BO=-BD=4

2t

.?.40=3,

：.AC=2AO=6,

二四邊形的面積='x6X8=24,

2

故選：B.

4.（2021?山東省濰坊第八中學(xué)中考真題）如圖，菱形ABCD的邊長是4厘米，ZB=60°,動點P以

1厘米/秒的速度自A點出發(fā)沿AB方向運動至B點中斷，動點Q以2厘米/秒的速度自B點出發(fā)沿折線

BCD運動至D點中斷.若點PL3Q同時出發(fā)運動了t秒，記ABPQ的面積為S厘米\下面圖象中能示

意S與t之間的函數(shù)關(guān)系的是（）

【答案解析】D

【考點解析】

應(yīng)根據(jù)0勺2和2勺4兩種情況進行會商.把t當(dāng)作己知數(shù)值，就可以求出S,從而得到函數(shù)的解析

式，進一步即可求解.

【詳解】

當(dāng)owt2時，S=Lx2tx巫X4t)=「B-A

222

當(dāng)2Wt14時，S=—x4x2^xD4nt)=1□道t+4班匚

22

只有選項D的圖形吻合,

故選D

5.（2021?山東東營市?九年級一模）如圖，矩形ABCD中,AB=10,BC=5,點E,,G,H分別在

矩形ABCD各邊上，且AE=CG,BF=DH,則四邊形EFGH周長的最小值為（）

A.5逐B(yǎng).1075C.1073D.15G

【答案解析】B

【試題解答】

作點E關(guān)于BC的對稱點E，，毗鄰E，G交BC于點F,此時四邊形EFGH周長取最小值，過點G作

GG，_LAB于點G1如圖所示，

,.,AE=CG,BE=BE',

???E'G'=AB=10,

???GG'=AD=5,

???E，G=4EG'GG?=5A/5、

,

AC四邊形EFGl1=2EG=10V5.

故選B

6.（2021?江蘇徐州市?九年級二模）如圖，正方形ABCO的邊長為4,耽誤C8至E使砥=2,覺

得邊在上方作正方形后打汨，耽誤FG交。。于M,毗鄰AM、AF,〃為AO的中點,

毗鄰切分別與AB、AM交于點N、K.則下列結(jié)論：①AATVHuAGN/；②NAFN=4HFG；

③RV=2NK；④SMF/SMZW=1：4.其中對的結(jié)論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案解析】C

【試題解答】

【考點解析】

由正方形的性質(zhì)可得BAD=：C=CE=EFB=BGF=90°,AD//BC,繼而可得四邊形CEFM是矩形,

ZAGF=90°,由此可得AH=FG,再根據(jù)口NAHFNGF,ZANH=：1GNF,可得

ANH^AGNF(AAS),由此可判斷①正確：山AFNAH,判斷出AFN#AHN,即AFNWNHFG,

由此可判斷②錯誤；證明AHKsMFK,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可對③進行判斷；分別求出SAANF、

SAAMD的值即可對④作出判斷.

【詳解】

?.,四邊形ABCD、BEFG是正方形,

ADBAD=OC=DE=DEFB=DBGF=90°,AD//BC,

.,?四邊形CEFM是矩形，ZAGF=1800-CBGF=90°

FM=EC,CM=EF=2,FM//EC,

AAD//FM,DM=2,

???H為AD中點，AD=4,

□AH=2,

VFG=2,

.??AH=FG,

V□NAH=DNGF,ZANH=DGNF,

□□ANH^AGNF(AAS),故①正確;

DNFG=UAHN,NH=FN,AN=NG,

VAF>FG,

JAFWAH,

□AFNWDAHN,即DAFNWZHFG,故②錯誤;

□EC=BC+BE=4+2=6,

AFM=6,

VAD//FM,

.,?□AHKS^MFK,

FKFM6c

：.——=——=一=3,

KHAH2

???FK=3HK,

,/FH=FK+KH,FN=NH,FN+NH=FH,

匚FN=2NK,故③正確；

,:AN=NG,AG=AB-BG=4-2=2,

□AN=1,

/?SAANL—AN?FG=—x1x2=1,SAAMD=—ADDM=—x4x2=4,

2222

?'?SAANF：SAAMD=1：4,故④正確，

故選C.

7.（2021?廣東湛江市模擬）如圖，在正方形N5CD中，EUR分別為8的中點，毗鄰

AE,BF交于息G,將ZkBC尸沿即對折，得到△8PE,耽誤尸尸交助耽誤線于點。,下列

結(jié)論對的個數(shù)是（）

4

?AE=BFA?AE]_BFA（3）sinZBQP=—□④S四邊形ECFG=2SABGE口

D

A.4B.3C.2D.1

【答案解析】B

【試題解答】

解：LE,尸分別為正方形ABCD邊BC,C。的中點，“F=BE,在和△SC尸中，DAB^BC,

4BEWBCF,BE=CF,□Rt^ABERt^BCFSAS),BAE=CBF,AE=BF,故「正確；

又口匚B4E+BEA=90°,QQCBF+QBEA=90°,□□5G￡=90°,DAEDBF,故口正確；

%艮據(jù)題意得，F(xiàn)P=FC,DPFB=BFC,0^5=90°□

DCDLAB,Q\JCFB=ABF,QUABF=PFB,V\QF=QB,令尸產(chǎn)=LUMJ0),則尸8=2k

5kBP4

在RtA8P0中，設(shè)％x,J^DxDJt)2+4檔cj=—,匚sin=182尸=言=一，故口正確；

2QB5

BGE=BCF、GBE=CBF,ABGEABCF,BE=—BC,BF=^BC,BE:BF=\:J5.

22

△BGE的面積：△BC77的面積=1:5,S四邊形ECFG=4SA8G號故錯誤.

故選B

8.如圖,正方形/5CO邊長為4,E、F、G、“分別為”、BC、CD、D4上的點,且4E=

BF=CG=O〃.設(shè)4、E兩點間的間隔為x,四邊形EFGH的面積為弘則y與x的函數(shù)圖象大概

是（）

【答案解析】A

【考點解析】

本題考查了動點的函數(shù)圖象，先判斷圖中的四個小宜角三角形全等，再用大正方形的面積減去四個

直角三角形的面積，得函數(shù)y的表達式，聯(lián)合選項的圖象可得答案.

【詳解】

解：?.?正方形ABCD邊長為4,AE=BF=CG=DH

，AH=BE=CF=DG,ZA=ZB=ZC=ZD

二AAEH^ABFE^ACGF^ADHG

=16-8x+2x2

=2(x-2)2+8

.?.y是x的二次函數(shù)，函數(shù)的極點坐標為(2,8),啟齒向上，

從4個選項來看，啟齒向上的只有A和B,C和D圖象啟齒向下，不吻合題意；

但是B的極點在x軸上，故B不吻合題意，只有A吻合題意.

故選：A.

9.(2021?河南模擬)如圖，在。ABCD中，AE_LBC于點E,AF_LCD于點F,若AE=20,CE=15,

CF=7,AF=24,則BE的長為()

A.10B.—C.15D.—

42

【答案解析】C

【試題解答】

解析：根據(jù)平行四邊形的面積，可得3C:CD=24:20=6:5,設(shè)BC=6x,則

AB=CD=5x,3E=6x—15,在Rt/\AE8中，用勾股定理即可解得.

詳解：???四邊形N88是平行四邊形，

AAEVBC,AFLCD,鉆=20,AF=24,

二60:8=24:20=6:5,

設(shè)6C=6x,則AB=CD=5x,BE=6x75,

在RtZXAEB中，AB2=AE2+BE2,

即（5x）2=202+（615）2,

125

解得x.—5）x----（舍去），

2-11

3￡=6%-15=30—15=15.

故選CIJ

10.（2021?安徽宣城市模擬）如圖，在矩形ABCD中，點E是AD邊的中點，BE±AC,垂足為

點F,毗鄰DF,解析下列四個結(jié)論：①△AEFs/\CAB；②DF=DC；③SADCF=4SADEF;④tan/CAD=

立.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

2

E

D

5K--------------------a。

A.4B.3C.2D.1

【答案解析】A

【詳解】

解：如圖，過。作。M//8E交/C于N,

口四邊形/8C。是矩形，

ADI/BC,口45。=90°,AD=BC,Swc產(chǎn)AS^DEF

□8ECL4C于點尸，

EAC=\ACB,ABC=AFE=90°,

UhAEFn^CAB,故「正確；

DE/IBM,BE//DM,

四邊形5例。E是平行四邊形，

BM=DE=—BC,

2

匚BM=CM,

CN=NF,

□3￡T/C于點E,DM匚BE,

□ON"產(chǎn)，

DW垂直平分CT7,

□DF=DC,故□正確；

□□點E是力。邊的中點，

S〉DE產(chǎn)—SXADF,

2

口AAEFMCBF,

AF\CF=AE\BC=L

2

SACD尸2s&AD尸ASADEF、故I正確；

□設(shè)AE=a,AB=b,則AD=2a,

b2-

由△8/Et^ADC,有^=/，即

ab

□tanDG4Z>—=—=—.故正確；

AD2a2

故選Ai

二、填空題（共5小題，每小題4分，共計20分）

11.（2021?西臧中考真題）如圖，在矩形ABCD中，E為AB的中點，P為BC邊上的隨意率性

一點，把APFE沿PE折疊，得到△P3E,毗鄰CF.若AB=10,BC=12,則CF的最小值為

【答案解析】8

【考點解析】

點F在以E為圓心、EA為半徑的圓上運動，當(dāng)E、F、C共線不時，此時FC的值最小，根

據(jù)勾股定理求出CE,再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到BE=EF=5即可.

【詳解】

解：如圖所示，點F在以E為圓心EA為半徑的圓上運動，當(dāng)E、F、C共線不時，此時CF的

值最小，

D

根據(jù)折疊的性質(zhì)，□EBPDDEFP,

EFUPF,EB=EF,

E是AB邊的中點，AB=10,

□AE=EF=5,

□AD=BC=12,

CE=-JBE2+BC2=>/52+122=13,

□CF=CE-EF=13-5=8.

故答案為8.

12.（2021?貴州畢節(jié)市?中考真題）如圖，已知正方形A8CO的邊長為4,點E是邊AB的中點,

點P是對角線8。上的動點，則AP+PE的最小值是.

B

【答案解析】2亞

【考點解析】

動點問題，找到對稱軸作對稱點，相連即可算出答案，毗鄰CE即為AP+PE的最小值.

【詳解】

毗鄰CE,

因為A、C關(guān)于BD對稱.

CE即為AP+PE的最小值.

?.?正方形邊長為4,E是AB中點，

ABC=4,BE=2.

CE=y/BE2+BC2=V22+42=2石

故答案為：2后.

13.（2021?陜西中考真題）如圖，在正方形ABCD中，AB=8,AC與BD交于點O,N是AO的中

點，點M在BC邊上，且BM=6.P為對角線BD上一點,則PM—PN的最大值為

【答案解析】2.

【考點解析】

如圖所示，以BD為對稱軸作N的對稱點N',毗鄰PN',根據(jù)對稱性質(zhì)可知，PN=PN'、由此

可得PM-PN'<MN','與RM,N'三點共線時，取“*此時即PM—PN的值最大，由正方形的

CMCN'1

性質(zhì)求出AC的長，繼而可得CW'=ON=20，AN'=60，再證明——=—;=->可得

BMAN3

PMABCD,CMN'=9。。,判斷出NCVf為等腰直角三角形，求得NM氏即可得答案.

【詳解】

如圖所示，以BD為對稱軸作N的對稱點N',毗鄰PN',根據(jù)對稱性質(zhì)可知，PN=PN',

PM-PN'<MN',當(dāng)三點共線時，取—"，

正方形邊長為8,

AC=&AB=8拒，

□O為AC中點,

A0=0C=4&,

N為OA中點，

ON=20,

ON=ON=2&

AN'=60，

□BM=6,

□CM=AB?BM=8-6=2,

f

_C_M__—__C_N_—__1

BMAN'3'

PMABCD,CMN'=90。,

N'CM=45°,

N'CM為等腰直角三角形，

CM=NM=2,

故答案為：2.

14.(2021?遼寧盤錦市?中考真題)如圖，四邊形Z8CO是矩形紙片，將△BCD沿8。折疊，得到

△BED,BE交AD于點、F,48=3.AF:FD=1:2,則ZF=.

【答案解析】3

【考點解析】

根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AD〃BC,ZA=90°,求得NADB=NDBC,得到FB=FD,設(shè)AF=x(x

>0),則FD=2x,求得FB=FD=2x,根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論.

【詳解】

H四邊形ABCD是矩形，

□ADnBC,)=90。，

ADB=DBC,

DBC=DBF,

□□ADB=DDBF,

□FB=FD,

□AF:FD=1:2,

□設(shè)AF=x(x>0),則FD=2x,

「FB=FD=2x,

□AB2+AF2=FB2,

□32+x2=(2x)2,

□x>0,

「x=6，

AF=B

故答案為：B

15.(2021?山東濱州市?中考真題)如圖，的對角線AC,5。交于點0,CE平分NBCD交

A8于點E,交BD于點F,且ZA5C=60°,AB=2BC,毗鄰OE.下列結(jié)論：①￡O_LAC；②

S.AOD=4S.OCF；③AC.BD=y/H:7；?FB2=OF?DF.其中對的結(jié)論有(填寫所有

正確結(jié)論的序號)

【答案解析】①③④

【考點解析】

①根據(jù)已知的前提起首證明△￡(%是等邊三角形，是以可得E4=EB=EC,所以可得

NACB=90°,再根據(jù)0、E均為AC和AB的中點，故可得NAOE=NAC8=90°,便可證明

0F1

是以可得一7-=-故可得S4A0D和SdOCF的比.

EO1AC-②起首證明AOEFSABCF,方2

BC

③根據(jù)勾股定理可計算的4c；8D；④根據(jù)③分別示意尸夙OF、DF,代入證明即可.

【詳解】

解：?.?四邊形ABC。是平行四邊形,

二CD//AB,OD=OB,OA=OC、

：.ZDCB+ZABC=\SO0,

???ZABC=60°,

???ZDCB=120°,

,/EC平分NDCB,

：.ZECB=-ZDCB=60°,

2

/.NEBC=/BCE=ZC￡B=60°,

；.AECB是等邊三角形，

EB=BC,

AB=2BC,

EA=EB—EC、

，ZACB=90°.

?：OA=OC,EA=EB,

：.OE//BC,

：.ZAO￡=ZACB=90。，

AEOLAC,故①正確，

OE//BC,

:.AOEFSABCF,

?q—v一aq

??LAO。一°ABOC~“°QCF故②錯誤，

則AB=2a,AC=y/3a,OD=OB=Aa1+[—a\=—

設(shè)BC=BE=EC=a,\I2J2

**?BD=V7a,

：?AC:BD=6a:幣a二=>/21:7,故③正確，

：OF=-OB=—a,

36

“幣

??BF=----a,

3

7幣（幣*不、7

二BF2=-a2,OF-2

96126J9

/■BF?=OFDF,故④正確，

故答案為①③④.

三、解答題（共5小題，每小題10分，共計50分）

16.(2021?江西中考真題)某數(shù)學(xué)課外運動小組在學(xué)習(xí)了勾股定理之后，針對圖1中所示的“由直角

三角形三邊向外側(cè)作多邊形，它們的面積5，S2)S3之間的關(guān)系問題”進行了以下探討:

類比探討

(1)如圖2,在用AABC中，8c為斜邊，分別覺得斜邊向外側(cè)作Rt&W。，

Rt^ACE,Rt^BCF,若N1=N2=N3,則面積，，邑，S3之間的關(guān)系式為

推廣驗證

(2)如圖3,在&△ABC中，BC為斜邊，分別覺得A8,AC,5C邊向外側(cè)作隨意率性八45￡),

△ACE,ABCF,滿足N1=N2=N3,ZD=NE=NF,則(1)中所得關(guān)系式是否仍然成

立？若成立，請證明你的結(jié)論；若不成立，請說明來由；

拓展應(yīng)用

（3）如圖4,在五邊形ABCDE中，NA=NE=NC=1O5°,XABC=90°,48=2石,

DE=2,點尸在AE±.,ZABP=30,PE=O,求五邊形MCDE的面積.

【答案解析】(1)53=S,+S2：(2)結(jié)論成立，證明看解析；(3)6百+7

【考點解析】

(1)由問題已知△43。、AACE、ABCF、△/BC均為直角：.角形，又因為N1=N2=N3,則

有RtAABDsRfAACEsRfABCF,操縱相似三角形的面積比為邊長平方的比，列出等式，找

到從而找到面積之間的關(guān)系；

(2)在/\ABD、4ACE、△8CF中，N1=N2=N3,ZD=NE=NF,可以得到△ABOs

△ACEs△BC尸，操縱相似三角形的面積比為邊長平方的比，列出等式，從而找到面積之間的

關(guān)系；

(3)將不法則四邊形借助輔助線轉(zhuǎn)換為熟悉的三角形，過點/作18P于點，，毗鄰PD,BD,

由此可知4P=&，BP=BH+PH=3+6即可計算出S^BP，根據(jù)

從而有=?(年)2，由(2)結(jié)論有，S^e=S“Bp+SaoD末了即可計算出四邊形

的面積.

【詳解】

(1)???△/8C是直角三角形,

???AB2+AC2=BC2,

-：/\ABD.△/CE、△8C廠均為直角三角形，且N1=N2=N3,

RtAABDsRt/\ACEsRt^BCF,

.5i_AB"S?_4c2

.S,SS+SAC2AB2AC2+AB2BC2.

.?12-----t--------2-------------1-----------------------------------------------]

222

S3S3S3BC?BCBCBC

/.53=5,4-S2得證.

（2）成立，來由如下：

?.?△/8C是直角三角形，

:.AB2+AC2BC2,

?.?在AABD、4ACE、△BCF中，Z1=Z2=Z3,/力=/〃=/",

二/\ABDs△ACEs/\BCF,

?5i_AB"S?_4c2

22222

.S,S2St+S2ACABAC+ABBC.

222

S3S3S3BC?BCBCBC

，S3=S1+S?得證.

(3)過點/作｛〃JL8產(chǎn)于點，，毗鄰尸￡>,BD,

VZAB//=30\AB=2框,

:?AH=6BH=3,ZBAH=60

:NBAP=105°,

???ZHAP=45°,

:.PH=AH=6

AAP=y[6,BP=BH+PH=3+瓜

?BPAH(3+G)-G36+3

LBP=---=-----------------=---

PE=&ED=2,

?當(dāng)_也_電ED2

-

"A?76-T'AB_273-T

.PEED

,/NE=N5AP=105°,

.../\ABPSAEDP,

PDPEV3

ZEPD=ZAPS=45°,

BPAP

ABPD=90,PD=T+5

3百+3J_G+l

F~,32

_BPPD_(3+M).Q+6)

'△BPD=3+2瓜

???tanNP昨第邛,

NPBD=30

,/NABC=90°,ZABP=30

???ZD5C=30

NC=105°

AABPs/XEDPs4CBD

板+"2+26

‘△BCD~SAABP+SgpD

22

=^^+^^+(2+2G)+(3+26)=6石+7故末

S四邊形A8CO~S&BCD+S^ABP+*^AEPD+^ABPD

22

「答案為6百+7.

17.（2021?貴州貴陽市?中考真題）如圖，四邊形ABCO是矩形，E是8c邊上一點，點F在

BC的耽誤線上，且CF=BE.

（1）求證：四邊形AEED是平行四邊形；

（2）毗鄰EO,若NA￡D=90°,AB=4,BE=2,求四邊形AEFD的面積.

【答案解析】（1）見解析；（2）40

【考點解析】

(1)直接操縱矩形的性質(zhì)聯(lián)合BE=CF,可得防=AD,進而得出答案；

BEEA

(2)在RAABE中操縱勾股定理可訂?算￡4=2逐，再由求出AABESAD"得=進而

EAAD

求出AD長，由=即可求解.

【詳解】

解：(I)四邊形A8CD是矩形，

AD//BC,AD=BC.

CF=BE,

CF+EC^BE+EC,即跖=8C.

EF=AD,

四邊形AEED是平行四邊形.

(2)如圖，毗鄰ED,

B

四邊形ABC。是矩形

ZB=90°

在R/AABE中，AB=4,BE=2,

由勾股定理得，E42=16+4=20,即￡4=26.

AD!IBC,

ZDAE=ZAEB.

NB=ZAED=90°,

普嚏即4=*解得

由（1）得四邊形AEED是平行四邊形,

又：所=10,高4?=4,

S04fra=EF-AB=10x4=40.

18.（2021?湖南邵陽市?中考真題）已知：如圖口，將一塊45。角的直角三角板。斯與正方形ABC0的

一角重合，毗鄰AF,C￡,點、M是CE的中點，毗鄰DM.

B

國①圖②

（1）請你料想AE與DM的數(shù)量關(guān)系是.

（2）如圖口，把正方形ABC。繞著點。順時針旋轉(zhuǎn)a角（0。<a<90°）.

□A/與。0的數(shù)量關(guān)系是否仍成立，若成立，請證明；若不成立，請說明來由；（溫馨提示:耽誤

DM到點N,使MN=DM,毗鄰CN）

□求證：AFLDM-.

□若旋轉(zhuǎn)角a=45。，且NEDM=2NM0C,求AD能的值.（可不寫過程，直接寫出成果）

ED

【答案解析】（1）AF=2DM（2）①成立，來由見解析見解析③近1變

2

【考點解析】

（1）根據(jù)題意公道料想即可；

（2）①耽誤ZW到點M使MV=DM,毗鄰C7V,先證明「IMNC0MDE,再證明

□ADF絲匚DCN,得至l]AF=DN,故可得至ljAF=2DM；

②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和宜角的換算即可求解;

口依題意可得OAFD=OEDM=30°,可設(shè)AG=k,得到DG,AD,FG,ED的長,故可求解.

【詳解】

（1）料想AF與DM的數(shù)量關(guān)系是AF=2DM,

故答案為：AF=2DM；

（2）①AF=2DM仍然成立，

來由如下：耽誤ZW到點N,使MN=DM,毗鄰C7V,

???M是CE中點，

；.CM=EM

又「CMN=「EMD,

EMNC^DMDE

□CN=DE=DF,MNC=iMDE

CNDE,

又AD〃BC

NCB=EDA

ADFgDCN

AF=DN

AF=2DM

②：ADF/DCN

NDC=UFAD,

CDA=90°,

???ZNDC+ZNDA=90°

ZFAD+ZNDA=90°

口AFDM

a=45。,

Z.ZEDC=90°-45°=45°

ZEDM=2ZMDC,

2

EDM=-ZEDC=30°,

3

ZAFD=30°

過A點作AG，F(xiàn)D的耽誤線于G點，□ADG=90°-45°=45°

LADG是等腰直角三角形，

設(shè)AG=k,則DG=k,AD=AG+sin45°=0k,

FG=AG-tan30°=V3k,

FD=ED=V3k-k

..ADy[^2,k+

故='=----=---------

EDy[3k-k2

19.（2021?湖南懷化市?中考真題）定義：對角線彼此垂直且相等的四邊形叫做垂等四邊形.

（1）下面四邊形是垂等四邊形的是（填序號）

①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形

（2）圖形判斷：如圖I,在四邊形ABC。中，AD//BC,ACA.BD,過點D作BD垂線交BC

的耽誤線于點E,且N0BC=45°,證明：四邊形A8CD是垂等四邊形.

（3）由菱形面積公式易知性質(zhì)：垂等四邊形的面積等于兩條對角線乘積的一半.應(yīng)用：在圖2中，

面積為24的垂等四邊形ABC。內(nèi)接于。0中，ABCD=60°.求OO的半徑.

【答案解析】（1）④；（2）證明過程見解析；③4

【考點解析】

（1）根據(jù)垂等四邊形的性質(zhì)對每個圖形判斷即可；

（2）根據(jù)已知前提可證明四邊形ACED是平行四邊形，即可得到AC=DE,再根據(jù)等腰直角三角形

的性質(zhì)即可得到成果；

（3）過點0作根據(jù)面積公式可求得BD的長，根據(jù)垂徑定理即可得到答案.

【詳解】

（1）①平行四邊形的對角線彼此平分但不垂直和相等，故不是；②矩形對角線相等但不垂直；③菱

形的對角線彼此垂直但不相等；④正方形的對角線彼此垂直且相等，故正方形是垂等四邊形;

(2)VAC±BD,ED工BD、

□AC//DE,

又：AD//BC,

四邊形ADEC是平行四邊形，

AC=DE,

又ZDBC=45°,

△BDE是等腰直角三角形，

；.BD=DE,

；.BD=AC,

，四邊形ABC。是垂等四邊形.

(3)如圖，過點O作

四邊形ABC0是垂等四邊形,

AC=BD,

又垂等四邊形的面積是24,,根據(jù)垂等四邊形的面積計算方式得：

AC=BD=4A/3.

又,:NBCD=60。,

ZDOE=60°,

設(shè)半徑為r,根據(jù)垂徑定理可得：

在ODE中，OD=r,DE=2VL

DE2舊

r=______—___—4A

sin600出，

T

GO的半徑為4.

20.（2021?四川廣安市?中考真題）如圖，將等腰三角形紙片ABC沿底邊BC上的高AD剪成兩個三角

形，AB=5個單位長度，BC=6個單位長度.用這兩個三角形來拼成四邊形，請在下列網(wǎng)格中畫出你拼

成的四邊形（每個小正方形的邊長均為1個單位長度，所畫四邊形全等視為同一種情況），并直接

在對應(yīng)的橫線上寫出該四邊形兩條對角線長度的和.

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