《信息技術(shù)應(yīng)用利用信息技術(shù)制作三角函數(shù)表》教學(xué)設(shè)計(jì)(新疆市級(jí)優(yōu)課)-信息技術(shù)教案

《兩角差的余弦公式》教學(xué)設(shè)計(jì)石河子第二中學(xué)：王榮一、教學(xué)任務(wù)分析：本課時(shí)的中心任務(wù)是建立兩角差的余弦公式，通過簡(jiǎn)單應(yīng)用，使學(xué)生初步理解公式的結(jié)構(gòu)及其功能，并建立其和（差）角公式打好基礎(chǔ)。從教科書編寫來看，本節(jié)需要突出建立公式過程的探索性。教科書努力避免直接呈現(xiàn)邏輯推理過程，而是鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立探索，這就要求教師在教學(xué)中要提出能引起學(xué)生思維的問題，而不能把結(jié)果過早的告訴學(xué)生，又要組織學(xué)生探索，并對(duì)學(xué)生的探索活動(dòng)作出適當(dāng)引導(dǎo)，把握其中的度是順利完成教學(xué)任務(wù)的關(guān)鍵。

二、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：

重點(diǎn)：通過探索得到兩角差的余弦公式。

難點(diǎn)：探索過程的組織和適當(dāng)引導(dǎo)。這里不僅有學(xué)習(xí)積極性的問題，還有探索過程必用的基礎(chǔ)知識(shí)是否已經(jīng)具備的問題，運(yùn)用已學(xué)的知識(shí)和方法的能力問題，等等。

三、教學(xué)基本流程：

特例引課→明確探索目標(biāo)及途徑→組織學(xué)生自主探索→學(xué)生類比特殊情況進(jìn)行一般化的證明→教師引導(dǎo)反思再完善→通過例題和練習(xí)加強(qiáng)對(duì)公式的理解→小結(jié)反思再學(xué)習(xí)→布置課后探究任務(wù)。

四、教學(xué)設(shè)計(jì)：1、問題情境導(dǎo)課：師提出問題：我們已知了一些特殊角的三角函數(shù)值，比如等，那么他們和差的三角函數(shù)值與其有怎樣的關(guān)系呢？特別地，能否轉(zhuǎn)化成特殊角的三角函數(shù)值求解？預(yù)設(shè)學(xué)生作答為：師提出問題：在學(xué)生發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生大膽猜想與那些值有關(guān)？設(shè)計(jì)意圖：明確研究的問題，盡量具體化，激發(fā)學(xué)生研究的興趣，通過問題引導(dǎo)學(xué)生的思考方向，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)作鋪墊。2、創(chuàng)設(shè)特殊問題情境，自主探究：師提出探究問題1：如何用、的正弦、余弦值求出的值？師點(diǎn)課題：更一般地，當(dāng)是任意角時(shí)，能不能用的正弦、余弦值把的余弦值表示出來？這就是本節(jié)課我們要研究的《兩角和差的余弦公式》。師設(shè)計(jì)問題串指明研究方法和方向：

問題1：如圖1，已知角，如何求的值？α問題2：如圖2，三個(gè)角有怎樣的關(guān)系，能否構(gòu)造為呢？如何將畫在同一直角坐標(biāo)系中？

圖1圖2α問題3：從這兩個(gè)圖出發(fā)，能用哪些幾何量來表示，并和的正弦、余弦值建立聯(lián)系呢？

設(shè)計(jì)意圖：明確研究方法，一法構(gòu)造直角三角形利用三角函數(shù)線表示角的正弦余弦值；二法在單位圓中角的正弦，余弦值與點(diǎn)的坐標(biāo)可對(duì)應(yīng)，這樣就把代數(shù)計(jì)算與幾何直觀建立了聯(lián)系。引導(dǎo)學(xué)生用幾何直觀尋找與的正弦，余弦值的關(guān)系。同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生在同一圖中做出，只要做出兩個(gè)，就有“現(xiàn)成”的角。這樣做主要有兩個(gè)作用：1、是加強(qiáng)新舊知識(shí)的聯(lián)系性；2、是學(xué)生從直觀角度加強(qiáng)對(duì)差角公式結(jié)構(gòu)形式的認(rèn)識(shí)。

學(xué)生自主探究和成果展示：

預(yù)設(shè)作答1：三角函數(shù)線法：用三角函數(shù)線計(jì)算的值。QQ預(yù)設(shè)作答2：向量法：用向量夾角計(jì)算的值。

預(yù)設(shè)作答3：兩點(diǎn)間距離公式：利用相等的角所對(duì)的弦相等計(jì)算的值。設(shè)計(jì)意圖:對(duì)比向量法既簡(jiǎn)單又具有一般性，為一般性證明作鋪墊。同時(shí)由特殊到一般進(jìn)行推廣，類比特殊情形下兩個(gè)角的正弦、余弦值與其差角的余弦值的關(guān)系進(jìn)行大膽猜想，并類比其推導(dǎo)過程對(duì)一般性的結(jié)論進(jìn)行證明。3、類比猜想，推理論證：

師提出探究問題2：類比特殊情形，當(dāng)是任意角時(shí)，如何用的正弦，余弦值來表示？并類比特殊情形證明你的猜想。

學(xué)生自主探究和成果展示：

預(yù)設(shè)作答：師提出問題串并完善作答：

問題1：圖中有現(xiàn)成的角，是向量所成夾角()嗎？

問題2：角的位置關(guān)系一定如此嗎？還有其他情況嗎？上述推導(dǎo)還成立嗎？為什么？如右圖，此時(shí)

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)探索過程進(jìn)一步嚴(yán)格化，讓學(xué)生通過經(jīng)歷用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的過程體會(huì)向量方法的優(yōu)越性。同時(shí)通過學(xué)生自主展示和教師及時(shí)引導(dǎo)，有意訓(xùn)練學(xué)生思維的有序性和表述的準(zhǔn)確性。4、知識(shí)生成，深度剖析：

師點(diǎn)明知識(shí)點(diǎn)+多媒體展示+板書：對(duì)于任意角，有此公式給出了任意角的正弦、余弦值與其差角的余弦值之間的關(guān)系，稱為兩角差的余弦公式。簡(jiǎn)記為：

師提出探究問題3：利用兩角差的余弦公式，嘗試推導(dǎo)預(yù)設(shè)學(xué)生作答：一法：二法：師呈現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)+多媒體展示：對(duì)于任意角，有兩角和差的正余弦公式：師提出問題：兩角和差的余弦公式有怎樣的結(jié)構(gòu)特征？可以從角和函數(shù)名兩個(gè)方面思考。如何記憶？

學(xué)生作答+教師板書公式特征：①任意角；②同名積；③符號(hào)反。

記憶方法：ccss，符號(hào)反；或余余正正，符號(hào)反。練習(xí)：用兩角和差的余弦公式求值：

并思考：設(shè)計(jì)意圖：1、簡(jiǎn)單練習(xí)熟悉公式；2、初步感受利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行正余弦的轉(zhuǎn)換。公式正用基礎(chǔ)例題：

思考：去掉條件是第三象限角，計(jì)算過程還一樣嗎？

設(shè)計(jì)意圖：通過本例使學(xué)生掌握兩角和差余弦公式的正用，體會(huì)數(shù)學(xué)表述的規(guī)范和嚴(yán)謹(jǐn)。引導(dǎo)學(xué)生注意①使用公式前作出的必要準(zhǔn)備，兩個(gè)角的正弦、余弦共四個(gè)值；②利用平方關(guān)系計(jì)算角的正弦余弦值時(shí)，需注意先確定角所在象限，從而判斷角的正弦余弦值的正負(fù)。

公式逆向使用基礎(chǔ)例題：

設(shè)計(jì)意圖：通過本例使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)三角變換的核心統(tǒng)一角，統(tǒng)一函數(shù)名及整體的思想。

知識(shí)遷移，用兩角和差的余弦公式證明誘導(dǎo)公式：學(xué)生口頭作答+多媒體展示：

設(shè)計(jì)意圖：初步感受，由兩角和差余弦公式中角的任意性，可對(duì)其任意賦值，為接下來的學(xué)習(xí)做鋪墊。

師提出探究4：由兩角和差余弦公式出發(fā)，對(duì)合理賦值，請(qǐng)你試一試還能得到些什么？

設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)角的任意性和換元思想。同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維，為接下來兩角和差的正弦公式以及二倍角公式的推導(dǎo)作鋪墊。

5、課堂小結(jié)：談一談這節(jié)課你有什么收獲？

在學(xué)生小結(jié)的基礎(chǔ)上，老師補(bǔ)充今天由特殊到一般的發(fā)現(xiàn)之旅是許多數(shù)學(xué)定理發(fā)現(xiàn)過程的縮影。正如數(shù)學(xué)家G·波利亞所說：“在你證明一個(gè)數(shù)學(xué)定理之前，你必須猜想到這個(gè)定理，在你搞清楚證明的細(xì)節(jié)之前，你必須猜想證明的主導(dǎo)思想?！?、知識(shí)遷移，提出課后探究：從下面兩個(gè)圖出發(fā)，類比特殊情形嘗試直接推導(dǎo)。特別地，任意性的證明，課本138課B組第四題給出了圖形提示。五、課后反思：《兩角和差的余弦公式》本節(jié)課的主要任務(wù)是，兩角和差的余弦公式的推導(dǎo)和簡(jiǎn)單應(yīng)用。這節(jié)課是本單元的開篇公式，它是后續(xù)公式推導(dǎo)的基礎(chǔ)，地位十分重要。推導(dǎo)的過程綜合運(yùn)用了解析幾何、平面幾何、三角函數(shù)、代數(shù)的恒等變形的知識(shí)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合、構(gòu)造、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想和方法，我覺得是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的良好題材。這節(jié)課是一節(jié)以公式推導(dǎo)為主，無(wú)論是從公式的來歷，還是從公式的推導(dǎo)都有些難以把握。教材中一開始以實(shí)際問題情景導(dǎo)課，公式推導(dǎo)先用三角函數(shù)線證明兩角為銳角的情形，課本證明過程采用夾敘夾議的形式呈現(xiàn)，針對(duì)學(xué)情，我主要作了特殊化處理，在特殊情況的基礎(chǔ)上猜想再用向量知識(shí)進(jìn)行一般性的證明。以此降低難度，使學(xué)生能夠在教師適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)下完成自主探究。我就這節(jié)課教學(xué)中的基于教學(xué)理念的教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)預(yù)設(shè)與課程生成這兩方面做以下幾點(diǎn)反思：反思基于教學(xué)理念的教學(xué)設(shè)計(jì)：新課程理念的靈魂是三個(gè)教學(xué)目標(biāo)的整合，關(guān)注學(xué)生的發(fā)展。知識(shí)可以通過傳授獲得，技能可以通過訓(xùn)練掌握。態(tài)度和情感價(jià)值觀需要學(xué)生參與獲得。因此課堂教學(xué)中要重視學(xué)生的參與、體驗(yàn)過程，但老師的指導(dǎo)作用也不可忽視，沒有老師的引導(dǎo)，學(xué)生的行動(dòng)、思維就很難達(dá)到一個(gè)較高的程度。教師通過創(chuàng)設(shè)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)欲望的數(shù)學(xué)情境，營(yíng)造積極的活躍的學(xué)習(xí)氛圍，才能使學(xué)生參與我們的教學(xué)中來。為了實(shí)現(xiàn)三維目標(biāo)，本節(jié)課我設(shè)計(jì)本節(jié)課以四個(gè)探究為主線，以多個(gè)問題串為導(dǎo)引，由特殊到一般推理論證，再到剖析知識(shí)，應(yīng)用提升，知識(shí)遷移，課堂小節(jié)，課后探究任務(wù)層層深入，可以說堅(jiān)持以切實(shí)落實(shí)“以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)”的教學(xué)理念。但實(shí)際教學(xué)中卻存在一些不完美，具體說明如下：

（1）探究1設(shè)置太過具體，使學(xué)生思維受困，扼殺了更多可能性，比如學(xué)生計(jì)算過程中事實(shí)上也很自然地算了，只是在作答過程中被我制止了；

（2）知識(shí)回顧以兩個(gè)問題為導(dǎo)引，問題意圖讓學(xué)生明確研究方法，將角的正弦，余弦值的代數(shù)計(jì)算與幾何直觀建立了聯(lián)系，此目標(biāo)達(dá)成很順利。再用幾何直觀尋找與的正弦，余弦值的關(guān)系，這就需要引導(dǎo)學(xué)生合理構(gòu)圖。因此設(shè)置了問題2：如圖2，三個(gè)角有怎樣的關(guān)系，能否構(gòu)造為呢？這樣的設(shè)計(jì)無(wú)疑是“誘導(dǎo)”學(xué)生只要做出兩個(gè)，就有“現(xiàn)成”的角。這樣扼殺了學(xué)生其它的可能性，于是在探究1的生成過程中學(xué)生只是呈現(xiàn)了兩種預(yù)設(shè)，第三種情況就沒有出現(xiàn)，這其實(shí)是很遺憾的。在實(shí)際教學(xué)過程中，教學(xué)三維目標(biāo)實(shí)施的有效度與教師的引導(dǎo)過程中度的把握和創(chuàng)設(shè)的問題情景與學(xué)情的契合度密不可分，甚至可以說起著決定性作用。問題設(shè)計(jì)太過靈活，怕偏離主線，但問題設(shè)計(jì)太過刻板，又怕“扼殺”的學(xué)生思維的更多可能性，錯(cuò)失教育的契機(jī)。在以后的教學(xué)中我再接再厲，更多的關(guān)注三維目標(biāo)的實(shí)施與落實(shí)。反思教學(xué)預(yù)設(shè)與課程生成：創(chuàng)設(shè)問題情境：針對(duì)這節(jié)課的課題，從課題分析中提出問題，教師鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，并驗(yàn)證。學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性得到了充分的調(diào)動(dòng)，思維活躍。俗話說，擒賊先擒王，兩角差的余弦公式就是他們中的“王”！我們從兩角差的余弦公式研究起。這樣，才能使本節(jié)知識(shí)納入本單元的知識(shí)結(jié)構(gòu)中。兩角差的余弦公式的探究過程：分成兩部分完成，一是公式的準(zhǔn)備工作，有兩項(xiàng)：三角函數(shù)的幾何表示和向量相關(guān)知識(shí)；二是公式的推導(dǎo)步驟由兩個(gè)特殊角的正余弦值與其差的余弦值，推廣到任意兩角的正余弦值與其差角的余弦值得關(guān)系。這里無(wú)論是特殊情形還是一般性證明都有一定的難度，需要老師適時(shí)的導(dǎo)引。探究1的實(shí)施過程中并不是那么順暢，其實(shí)前面知識(shí)的鋪墊是比較充分的，特別地三角函數(shù)定義和平面向量知識(shí)也都是才學(xué)過，學(xué)生的應(yīng)用起來可以說是得心應(yīng)手，但學(xué)生平面幾何的知識(shí)相對(duì)比較生疏，因此在用三角函數(shù)線法計(jì)算的值時(shí)，學(xué)生1出現(xiàn)了錯(cuò)誤，并且未能完成，于是我適時(shí)做了導(dǎo)引。事實(shí)上此處的難點(diǎn)也是我提前預(yù)想過的，于是提前做了準(zhǔn)備，結(jié)合多媒體輔助很好的突破了，于是由學(xué)生2補(bǔ)充說明；探究2的處理我認(rèn)為學(xué)生方法上是不存在障礙的，由特殊情形順理成章就能得到一般性的證明。我預(yù)設(shè)學(xué)生的問題是思維的有序性和表述的準(zhǔn)確性，具體預(yù)設(shè)問題是：?jiǎn)栴}1是學(xué)生誤把向量所成夾角()當(dāng)成角；問題2是對(duì)角的位置關(guān)系考慮不全