2024屆一輪復(fù)習(xí)命題方向精講系列：22 解三角形（原卷附答案）

第第⑤在中，內(nèi)角成等差數(shù)列．3．實(shí)際應(yīng)用（1）仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角（如圖①）．（2）方位角從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α（如圖②）．（3）方向角：相對(duì)于某一正方向的水平角．①北偏東α，即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向（如圖③）．②北偏西α，即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向．③南偏西等其他方向角類似．（4）坡角與坡度①坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)（如圖④，角θ為坡角）．②坡度：坡面的鉛直高度與水平長(zhǎng)度之比（如圖④，i為坡度）．坡度又稱為坡比．1．（2022·青?！つM預(yù)測(cè)（理））在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則△ABC的面積為時(shí)，k的最大值是（

）A．2 B． C．4 D．2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且，若，則△ABC的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形3．（2022·青海·海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知，，則的最小值為______．4．（2022·上?！の挥袑W(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在一條海防警戒線上的點(diǎn)處各有一個(gè)水聲監(jiān)測(cè)點(diǎn)，兩點(diǎn)到點(diǎn)的距離分別為20千米和50千米．某時(shí)刻，收到發(fā)自靜止目標(biāo)的一個(gè)聲波信號(hào)，8秒后同時(shí)接收到該聲波信號(hào)，已知聲波在水中的傳播速度是千米/秒．（1）設(shè)到的距離為千米，用表示到的距離，并求的值；（2）求靜止目標(biāo)到海防警戒線的距離．（結(jié)果精確到千米）．5．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，．（1）求角B；（2）若，，D為AC邊的中點(diǎn)，求的面積．6．（2022·河南省杞縣高中模擬預(yù)測(cè)（文））在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，．（1）求角A的大??；（2）若，，求的面積．7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，內(nèi)角對(duì)應(yīng)的邊分別為，，向量與向量互相垂直．（1）求的面積；（2）若，求的值．1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知在中，，則等于（

）A． B． C．或 D．2．（2022·河南·南陽(yáng)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））中，若，點(diǎn)E滿足，直線CE與直線AB相交于點(diǎn)D，則CD的長(zhǎng)（

）A． B． C． D．3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若且，則是（

）A．等腰直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形4．（2022·四川省宜賓市第四中學(xué)校模擬預(yù)測(cè)（文））如圖所示，為了測(cè)量A，B處島嶼的距離，小明在D處觀測(cè)，A，B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向，再往正東方向行駛40海里至C處，觀測(cè)B在C處的正北方向，A在C處的北偏西60°方向，則A，B兩處島嶼間的距離為（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．40海里5．（多選題）（2022·福建·福州三中高三階段練習(xí)）中，角的對(duì)邊分別為，且，以下四個(gè)命題中正確的是（

）A．滿足條件的不可能是直角三角形B．面積的最大值為C．是中點(diǎn)，的最大值為3D．當(dāng)時(shí)，的面積為6．（多選題）（2022·廣東·華南師大附中三模）已知圓錐的頂點(diǎn)為P，母線長(zhǎng)為2，底面圓直徑為，A，B，C為底面圓周上的三個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，M為母線PC上一點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)A，B為底面圓直徑的兩個(gè)端點(diǎn)時(shí)，B．△PAB面積的最大值為C．當(dāng)△PAB面積最大值時(shí)，三棱錐C-PAB的體積最大值為D．當(dāng)AB為直徑且C為弧AB的中點(diǎn)時(shí)，的最小值為7．（多選題）（2022·河北·滄縣中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在中，三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．8．（2022·青?！ず|市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））在中，為其外心，，若，則________．9．（2022·河北·高三期中）已知中角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，則的面積，該公式稱作海倫公式，最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德得出．若的周長(zhǎng)為15，，則的面積為___________________．10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，則的最大值為______．11．（2022·遼寧·沈陽(yáng)二中模擬預(yù)測(cè)）沈陽(yáng)二中北校區(qū)坐落于風(fēng)景優(yōu)美的輝山景區(qū)，景區(qū)內(nèi)的一泓碧水蜿蜒形成了一個(gè)“秀”字，故稱“秀湖”．湖畔有秀湖閣和臨秀亭兩個(gè)標(biāo)志性景點(diǎn)，如圖．若為測(cè)量隔湖相望的、兩地之間的距離，某同學(xué)任意選定了與、不共線的處，構(gòu)成，以下是測(cè)量數(shù)據(jù)的不同方案：①測(cè)量、、；②測(cè)量、、；③測(cè)量、、；④測(cè)量、、．其中一定能唯一確定、兩地之間的距離的所有方案的序號(hào)是_____________．12．（2022·青海·海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在平面四邊形ABCD中，已知BC＝2，.(1)若，求BD的長(zhǎng)；(2)若，且AB＝4，求AC的長(zhǎng).13．（2022·青海玉樹·高三階段練習(xí)（文））在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且的面積．(1)求角B的大小；(2)若，求．14．（2022·上海浦東新·二模）已知函數(shù)(1)若函數(shù)為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；(2)當(dāng)時(shí)，在中（所對(duì)的邊分別為、、），若，且的面積為，求的值．15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．16．（2022·青?！ず|市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，．(1)求角A；(2)若，求面積的最大值．17．（2022·上海金山·二模）在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、.已知，且為銳角.(1)求角的大?。?2)若，證明：是直角三角形.18．（2022·湖南·湘潭一中高三階段練習(xí)）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)求B；(2)若為銳角三角形，且，求周長(zhǎng)的取值范圍．19．（2022·上海黃浦·二模）某公園要建造如圖所示的綠地，、為互相垂直的墻體，已有材料可建成的圍欄與的總長(zhǎng)度為米，且．設(shè)（）．(1)當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)；（結(jié)果精確到米）(2)當(dāng)時(shí)，求面積的最大值及此時(shí)的值．20．（2022·上海虹口·二模）如圖，某公園擬劃出形如平行四邊形的區(qū)域進(jìn)行綠化，在此綠化區(qū)域中，分別以和為圓心角的兩個(gè)扇形區(qū)域種植花卉，且這兩個(gè)扇形的圓弧均與相切.(1)若，，（長(zhǎng)度單位：米），求種植花卉區(qū)域的面積；(2)若扇形的半徑為10米，圓心角為，則多大時(shí)，平行四邊形綠地占地面積最小？1．（2021·全國(guó)·高考真題（理））魏晉時(shí)劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)海島的高．如圖，點(diǎn)，，在水平線上，和是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高（

）A．表高 B．表高C．表距 D．表距2．（2021·全國(guó)·高考真題（文））在中，已知，，，則（

）A．1 B． C． D．33．（2021·浙江·高考真題）在中，，M是的中點(diǎn)，，則___________，___________.4．（2022·浙江·高考真題）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補(bǔ)了我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白．如果把這個(gè)方法寫成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積．設(shè)某三角形的三邊，則該三角形的面積___________．5．（2022·全國(guó)·高考真題（理））已知中，點(diǎn)D在邊BC上，．當(dāng)取得最小值時(shí)，________．6．（2022·上?！じ呖颊骖}）在△ABC中，，，，則△ABC的外接圓半徑為________7．（2021·全國(guó)·高考真題（理））記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為，，，則________．8．（2022·全國(guó)·高考真題（理））記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長(zhǎng)．9．（2022·全國(guó)·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．10．（2022·浙江·高考真題）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面積．11．（2022·北京·高考真題）在中，．(1)求；(2)若，且的面積為，求的周長(zhǎng)．12．（2022·全國(guó)·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．13．（2022·全國(guó)·高考真題（文））記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)證明：14．（2022·上?！じ呖颊骖}）如圖，矩形ABCD區(qū)域內(nèi)，D處有一棵古樹，為保護(hù)古樹，以D為圓心，DA為半徑劃定圓D作為保護(hù)區(qū)域，已知m，m，點(diǎn)E為AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F為CD上的動(dòng)點(diǎn)，滿足EF與圓D相切.(1)若∠ADE，求EF的長(zhǎng)；(2)當(dāng)點(diǎn)E在AB的什么位置時(shí)，梯形FEBC的面積有最大值，最大面積為多少？（長(zhǎng)度精確到0.1m，面積精確到0.01m2）15．（2021·天津·高考真題）在，角所對(duì)的邊分別為，已知，．（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值．16．（2021·全國(guó)·高考真題）在中，角、、所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為、、，，.．（1）若，求的面積；（2）是否存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形?若存在，求出的值；若不存在，說明理由．17．（2021·北京·高考真題）在中，，．（1）求；（2）再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，求邊上中線的長(zhǎng)．條件①：；條件②：的周長(zhǎng)為；條件③：的面積為；18．（2021·全國(guó)·高考真題）記是內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.1．【答案】B【解析】由題意得，所以，又因?yàn)椋?，所以，其中，且，所以的取值范圍為，故選：B．2．【答案】C【解析】△ABC中，，則又，則由，可得，代入則有，則，則又，則△ABC的形狀是等邊三角形故選：C3．【答案】【解析】，則原等式為，由正弦定理得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故答案為：．4．【解析】（1）根據(jù)題意可得：（千米），（千米），（千米），（千米），∵，則即，解得（2）在△中，，則設(shè)到的距離為（千米），則∴靜止目標(biāo)到海防警戒線的距離為千米5．【解析】（1）由，有，兩邊同乘得，故，即．因?yàn)椋訟為銳角，，所以．又因?yàn)?，所以．?）在中，由余弦定理，即，故，解得或舍）．故．6．【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理得，又，所以．因?yàn)?，所以，所以，所以．?）由余弦定理，得，即，因?yàn)?，所以，所?．【解析】（1）因?yàn)?，解得，因?yàn)椋?，．有因?yàn)椋?，所以的面積．（2），所以．1．【答案】C【解析】由正弦定理,得，因?yàn)?，故或，故選：C2．【答案】A【解析】在△ABC中，由余弦定理得：設(shè)，，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)锳、B、D三點(diǎn)共線，所以，解得：，所以，即因?yàn)锳B=5，所以AD=3，BD=2在三角形ACD中，由余弦定理得：，因?yàn)?，所?故選：A3．【答案】A【解析】由，得，所以由余弦定理得，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以由正弦定理得，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所?所以為等腰直角三角形，故選：A4．【答案】A【解析】由題意可知，所以，在中，由正弦定理得，得，在中，因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理得，故選：A5．（多選題）【答案】BD【解析】以為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，由，得，即，，化簡(jiǎn)得：，即點(diǎn)在以為圓心，以為半徑的圓上（除去兩點(diǎn)）.如圖所示：對(duì)于：以為圓心，為半徑作圓，記該圓與圓的交點(diǎn)為，則為直角三角形，錯(cuò)誤；對(duì)于：由圖得面積的最大值為正確；對(duì)于是中點(diǎn)，的值為在上的投影與的積，又點(diǎn)在以為圓心，以為半徑的圓上（除去兩點(diǎn)），故，錯(cuò)誤；對(duì)于D：若，則，，正確.故選：BD6．（多選題）【答案】ACD【解析】對(duì)于A，記圓錐底面圓心為O，，所以，所以，故A正確；對(duì)于B，設(shè)，則截面三角形的面積，故B不正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)B中推理可知，此時(shí)，所以點(diǎn)C到AB的距離的最大值為，從而可知三棱錐C-PAB的體積最大值為，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，由題意可得△PAC和△PBC全等，在△PAC中，，，所以，進(jìn)而，記PC邊上的高為h（垂足為Q），則，所以，當(dāng)M與Q重合時(shí)取等號(hào)，故D選項(xiàng)正確；故選：ACD．7．（多選題）【答案】ABC【解析】對(duì)于A，，即，也就是，另一方面，在中，，則成立，故A正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故C正確；對(duì)于D，邊長(zhǎng)為的三角形，滿足，但，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．8．【答案】【解析】設(shè)外接圓的半徑是，．設(shè)，則在等腰中，．所以．故答案為：.9．【答案】【解析】解：可令將上式相加：由此可解的：由正弦定理：又因?yàn)椋航獾茫篴=3，b=5，c=7.所以代入海倫公式解得：S=故答案為：10．【答案】【解析】∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，所以，∴.故答案為：．11．【答案】②③【解析】對(duì)于①，由正弦定理可得，則，若且為銳角，則，此時(shí)有兩解，則也有兩解，此時(shí)也有兩解；對(duì)于②，若已知、，則確定，由正弦定理可知唯一確定；對(duì)于③，若已知、、，由余弦定理可得，則唯一確定；對(duì)于④，若已知、、，則不確定.故答案為：②③.12．【解析】(1)∵，∴.又∵，所以，∴在中，由正弦定理，可得，即BD的長(zhǎng)為.(2)，∴.∵在中，BC＝2，AB＝4，∴，可得，解得.∴AC的長(zhǎng)為.13．【解析】(1)因?yàn)?，所以?又因?yàn)?，所?(2)因?yàn)?，所以，即，所以?因?yàn)?，，所以，?.14．【解析】(1)任取

因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù).所以

（法二：特值法，再驗(yàn)證）由函數(shù)為偶函數(shù)知，（可取不同特殊值）得，t=0

又當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為偶函數(shù)，

（法三：觀察法，需舉反例），時(shí)，函數(shù)為偶函數(shù)，

任選，則有

當(dāng)時(shí)，舉反例，如，

此時(shí)為非奇非偶函數(shù)，所以，函數(shù)為偶函數(shù)時(shí)；(2)當(dāng)時(shí),，

由則有

由題意，

在中，，則．15．【解析】(1)因?yàn)椋?，而，所以?2)由（1）知，，所以，而，所以，即有．所以．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．16．【解析】(1)由，可得，得，則，由于，所以．(2)由，可得，又，則，則，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）則，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）則，即面積的最大值為．17．【解析】(1)由正弦定理可知，，又在中，，即，為銳角，.(2)所以由正弦定理得：，又，即，，故可得，即為直角三角形.18．【解析】(1)在中，由正弦定理及得：，整理得：，由余弦定理得：，而，解得，所以.(2)由（1）知，即，因?yàn)殇J角三角形，即，解得，由正弦定理得：，則，當(dāng)時(shí)，，，而，即，因此，，則，所以周長(zhǎng)的取值范圍是.19．【解析】(1)在中，，，，由余弦定理，得，故．因此的長(zhǎng)約為米．(2)連接．由題意，，，在△中，由正弦定理，得．于是，．當(dāng)，即時(shí)，取到最大值，最大值為．因此，當(dāng)時(shí)，養(yǎng)殖場(chǎng)最大的面積為平方米20．【解析】(1)由余弦定理，，故，又由正弦定理有，故，所以扇形的半徑，故種植花卉區(qū)域的面積(2)設(shè)，則，故，，故平行四邊形綠地占地面積，因?yàn)?，故要面積最小，則當(dāng)，即，時(shí)面積取得最小值，即多大時(shí)，平行四邊形綠地占地面積最小1．【答案】A【解析】如圖所示：由平面相似可知，，而，所以，而，即＝．故選：A.2．【答案】D【解析】設(shè)，結(jié)合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故選：D.3．【答案】

【解析】由題意作出圖形，如圖，在中，由余弦定理得，即，解得（負(fù)值舍去），所以，在中，由余弦定理得，所以；在中，由余弦定理得.故答案為：；.4．【答案】.【解析】因?yàn)?，所以．故答案為?

5．【答案】【解析】設(shè)，則在中，，在中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)取最小值時(shí)，.故答案為：.

6．【答案】【解析】根據(jù)余弦定理：，得，由正弦定理△ABC的外接圓半徑為.故答案為:.7．【答案】【解析】由題意，，所以，所以，解得（負(fù)值舍去）.故答案為：.8．【解析】(1)證明：因?yàn)?，所以，所以，即，所以?2)解：因?yàn)?，由?）得，由余弦定理可得，則，所以，故，所以，所以的周長(zhǎng)為.9．【解析】(1)因?yàn)?，即，而，所以?2)由（1）知，，所以，而，所以，即有．所以．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．10．【解析】(1)由于，，則．因?yàn)椋烧叶ɡ碇?，則．(2)因?yàn)?，由余弦定理，得，即，解得，而，，所以的面積．11．【解析】(1)解：因?yàn)?，則，由已知可得，可得，因此，.(2)解：由三角形的面積公式可得，解得.由余弦定理可得，，所以，的周長(zhǎng)為.12．【解析】(1)由題意得，則，即，由余弦定理得，整理得，則，又，則，，則；(2)由正弦定理得：，則，則，.13．【解析】(1)由，可得，，而，所以，即有，而，顯然，所以，，而，，所以．(2)由可得，，再由正弦定理可得，，然后根據(jù)余弦定理可知，，化簡(jiǎn)得：，故原等式成立．14．【解析】(1)設(shè)EF與圓D相切于對(duì)點(diǎn)，連接，則，則，所以直角與直角全等所以在直角中，在直角中，(2)設(shè),，則，所以梯形的面積為當(dāng)且當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，此時(shí)即當(dāng)時(shí)，梯形的面積取得最小值則此時(shí)梯形FEBC的面積有最大值所以當(dāng)時(shí)，梯形FEBC的面積有最大值,最大值為15．【解析】（I）因?yàn)?，由正弦定理可得，，；（II）由余弦定理可得；（III），，，，所以.16．【解析】（1）因?yàn)?，則，則，故，，，所以，為銳角，則，因此，；（2）顯然，若為鈍角三角形，則為鈍角，由余弦定理可得，解得，則，由三角形三邊關(guān)系可得，可得，，故.17．【解析】（1），則由正弦定理可得，，，，，，解得；（2）若選擇①：由正弦定理結(jié)合（1）可得，與矛盾，故這樣的不存在；若選擇②：由（1）可得，設(shè)的外接圓半徑為，則由正弦定