山西省臨汾市洪洞縣向明中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷

班級(jí):姓名:考號(hào)：班級(jí):姓名:考號(hào)：目標(biāo)大學(xué)：數(shù)學(xué)試卷（A卷）考試時(shí)間：120分鐘；考試分?jǐn)?shù)：150分；命題人：解慧明一、單選題★1．有下列說(shuō)法:①若，則與，共面；②若與，共面，則=x+y；③若=x+y，則P，M，A，B共面；④若P，M，A，B共面，則=x+y.其中正確的是（

）A．①②③④B．①③④C．①③D．②④★2．在空間直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)關(guān)于z軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的值為（

）A．3B．5C．7D．9★3．已知向量，，若與互相垂直，則的值為（

）A．－1B．2 C．D．1★4．在空間直角坐標(biāo)系中，，則的值是（

）A．B．C．D．★★5．如圖，在平行六面體（底面為平行四邊形的四棱柱）中，E為延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，，則=（

） B．C．D．★★6．已知是空間的一個(gè)單位正交基底，且，則與夾角的正弦值為（

）A． B． C． D．★7．已知，，與共線(xiàn)，則（

）A．1B． C．2D．3★★8．在四棱錐中，底面ABCD，底面ABCD為正方形，，，則異面直線(xiàn)PA與BD所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．二、多選題★★9．以下關(guān)于向量的說(shuō)法正確的有（

）A．若＝，則＝B．若將所有空間單位向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)，則終點(diǎn)圍成一個(gè)圓C．若＝－且＝－，則=D．若與共線(xiàn)，與共線(xiàn)，則與共線(xiàn)★★10．已知向量，則與共線(xiàn)的單位向量（

）A．B． C． D．★★11．若，，是空間的一個(gè)基底，則下列各組中能構(gòu)成空間一個(gè)基底的是A．，， B．，，C．，， D．，，★★12．如圖，平行六面體，其中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為，且它們彼此的夾角都是，下列說(shuō)法中正確的是（

）(第12題)（第16題）（第17題）A．B．C．向量與的夾角是.D．異面直線(xiàn)與所成的角的余弦值為.三、填空題★13．已知兩個(gè)向量，若，則m的值為.★14．已知，，則向量與的夾角為.★15．已知向量＝（1，4，3），＝（﹣2，t，﹣6），若，則實(shí)數(shù)t的值為.★★16．已知線(xiàn)段垂直于三角形所在的平面，且，為垂足，為的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為.四、解答題★17．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別為A1B1，A1A的中點(diǎn)，試建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系求向量，，的坐標(biāo)．18．已知，，．求：★(1)；★(2)．19．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，，分別為，，的中點(diǎn)．★(1)求證：平面；★★(2)試在棱上找一點(diǎn)，使平面，并證明你的結(jié)論．20．在四棱錐中，平面，底面四邊形為直角梯形，，，，，為中點(diǎn)．★（1）求證：；★★（2）求異面直線(xiàn)與所成角的余弦值．21．已知在平行六面體中，，，，且.★（1）求的長(zhǎng)；★★（2）求與夾角的余弦值.22．如圖所示，在四棱錐中，為等腰直角三角形，且，四邊形ABCD為直角梯形，滿(mǎn)足，，，．★★(1)若點(diǎn)F為DC的中點(diǎn)，求；★★(2)若點(diǎn)E為PB的中點(diǎn)，點(diǎn)M為AB上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的值．參考答案：1．C【來(lái)源】6.1.3共面向量定理（1）【分析】利用空間向量共面定理逐一判斷即可.【詳解】若，共線(xiàn)，由=x+y知一定與，共面，若，不共線(xiàn)，則滿(mǎn)足共面定理，與，共面，①對(duì)；同理③對(duì)；若與，共面，且，共線(xiàn)，則不一定有=x+y，故②不對(duì)；同理④不對(duì)，故選：C.2．A【來(lái)源】山東省濰坊市諸城第一中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期2月月考數(shù)學(xué)試題【分析】根據(jù)給定條件，求出點(diǎn)M關(guān)于z軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)，再列式計(jì)算作答,【詳解】依題意，點(diǎn)關(guān)于z軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，于是得，解得，所以.故選：A3．B【來(lái)源】江蘇省宿遷市沭陽(yáng)塘溝高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題【分析】根據(jù)與互相垂直，可得，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可得解.【詳解】解：因?yàn)榕c互相垂直，所以，即，解得.故選：B.4．D【來(lái)源】廣東省佛山市南海區(qū)桂華中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期第一次階段測(cè)試數(shù)學(xué)試題【分析】先求坐標(biāo)，再根據(jù)向量數(shù)列積公式求解即可．【詳解】由題意得，所以故選：D5．A【來(lái)源】山東省煙臺(tái)市龍口市龍口第一中學(xué)東校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試題【分析】根據(jù)空間向量的加減法運(yùn)算法則，直接寫(xiě)出向量的表達(dá)式，即可得答案.【詳解】=,故選：A.6．C【來(lái)源】新疆烏魯木齊市第八中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題【分析】設(shè)與夾角為，先利用向量的夾角公式求出，再利用同角三角函數(shù)的關(guān)系可求出的值.【詳解】設(shè)與夾角為，，因?yàn)槭强臻g的一個(gè)單位正交基底，且，所以，所以，因?yàn)椋?，故選：C7．A【來(lái)源】1.1.1空間向量及其線(xiàn)性運(yùn)算（分層作業(yè)）（題型分類(lèi)基礎(chǔ)練能力提升綜合練）-【上好課】高二數(shù)學(xué)同步備課系列（人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)）【分析】利用空間向量共線(xiàn)性質(zhì)求參數(shù)的值.【詳解】因?yàn)椋簿€(xiàn)，則，∴，∴，故選：A．8．D【來(lái)源】突破1.1空間向量及其運(yùn)算（課時(shí)訓(xùn)練）【分析】由題意建立空間直角坐標(biāo)系，求出的坐標(biāo)，由兩向量所成角的余弦值求解．【詳解】解：由題意，建立如圖的空間坐標(biāo)系，底面為正方形，，，底面，點(diǎn)，，，，則，，．異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查利用空間向量求解空間角，考查計(jì)算能力，是中檔題．9．AC【來(lái)源】模塊三專(zhuān)題1空間向及其運(yùn)算A基礎(chǔ)卷（人教B）【分析】根據(jù)向量的基本概念和性質(zhì)即可逐項(xiàng)判斷.【詳解】若＝，則和的大小相等，方向相同，故A正確；將所有空間單位向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)，則終點(diǎn)圍成一個(gè)球，故B錯(cuò)誤；若＝－，＝－，則＝－=，故C正確；若與共線(xiàn)，與共線(xiàn)，則當(dāng)時(shí)，無(wú)法判斷與的關(guān)系，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10．AC【來(lái)源】遼寧省大連市第八中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題【分析】直接利用向量求出向量的模，進(jìn)一步求出單位向量．【詳解】解：由于向量，所以根據(jù)單位向量的關(guān)系式，可得或．故選：．11．ABD【來(lái)源】突破1.2空間向量基本定理（課時(shí)訓(xùn)練）【解析】根據(jù)空間向量的共面定理，一組不共面的向量構(gòu)成空間的一個(gè)基底，對(duì)選項(xiàng)中的向量進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：對(duì)于中、、，中、、，中、、，每組都是不共面的向量，能構(gòu)成空間的一個(gè)基底；對(duì)于，、、，滿(mǎn)足，是共面向量，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底．故選：ABD．【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量共面的判斷與應(yīng)用問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．12．AB【來(lái)源】1.1.2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算精講（4大題型）-【題型分類(lèi)歸納】2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)同步講與練（人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)）【分析】根據(jù)題意，引入基向量，分別用基向量表示，利用向量求長(zhǎng)度的計(jì)算公式，計(jì)算可得A正確；利用向量證垂直的結(jié)論，計(jì)算可得B正確；利用向量求夾角公式，計(jì)算可得CD錯(cuò)誤.【詳解】設(shè)，因?yàn)楦鳁l棱長(zhǎng)均為，且它們彼此的夾角都是，所以，因?yàn)?，所以，，故A正確；由，所以，所以，故B正確；因?yàn)?，且，所以，所以其夾角為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，，，，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AB.13．【來(lái)源】山西省名校聯(lián)考2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示列式計(jì)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，解?故答案為：.14．/【來(lái)源】1.3.2空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示（AB分層訓(xùn)練）-【沖刺滿(mǎn)分】2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破分層訓(xùn)練同步精講練（人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)）【分析】運(yùn)用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】，故答案為：15．﹣8【來(lái)源】練習(xí)10空間向量及其運(yùn)算-2020-2021學(xué)年【補(bǔ)習(xí)教材·寒假作業(yè)】高二數(shù)學(xué)（蘇教版）【解析】利用空間向量共線(xiàn)定理直接求解即可．【詳解】∵向量＝（1，4，3），＝（﹣2，t，﹣6），，∴，解得t＝﹣8，∴實(shí)數(shù)t的值為﹣8．故答案為：﹣8．16．【來(lái)源】3.3空間向量的坐標(biāo)表示（作業(yè)）（夯實(shí)基礎(chǔ)能力提升）-【教材配套課件作業(yè)】2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)精品教學(xué)課件（滬教版2020選修第一冊(cè)）【分析】則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)求得，即可求出的長(zhǎng).【詳解】因?yàn)榫€(xiàn)段垂直于三角形所在的平面，且，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)樵谏希钥稍O(shè)，先設(shè)，所以，，，所以，，，因?yàn)椋?，解得：，，，則的長(zhǎng)為.故答案為：.17．＝(1，－1，1)，＝(1，－1，2)，＝(－1，1，－2)．【來(lái)源】1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示（精講）-2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)《一隅三反》系列（人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)）【分析】以點(diǎn)C為原點(diǎn)，分別以CA，CB，CC1的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，利用空間向量坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，分別以CA，CB，CC1的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，如圖所示．則B(0，1，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，2)，N(1，0，1)，∴＝(1，－1，1)，＝(1，－1，2)，＝(－1，1，－2)．18．(1)(2)【來(lái)源】第02講空間向量的坐標(biāo)表示-【幫課堂】2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)同步精品講義（蘇教版2019選擇性必修第二冊(cè)）【分析】(1)根據(jù)向量的加減運(yùn)算法則，即可得；（2）根據(jù)數(shù)乘與向量的加減運(yùn)算法則，即可得．(1)解：，；(2)解：．19．(1)證明見(jiàn)解析；(2)為棱的中點(diǎn)時(shí)，平面，證明見(jiàn)解析.【來(lái)源】山東省東營(yíng)市廣饒縣第一中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題【分析】（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間位置關(guān)系的向量證明求解作答.（2）設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示計(jì)算作答.【詳解】（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸和z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，于是得，因此，平行于平面BEF，又平面BEF，所以AG//平面BEF.（2）依題意，設(shè)，，則，因平面BEF，，則當(dāng)且時(shí)，DM⊥平面BEF，由（1）知，，解得，所以當(dāng)，即M為棱的中點(diǎn)時(shí)，DM⊥平面BEF.20．（1）詳見(jiàn)解析；（2）．【來(lái)源】寧夏銀川三沙源上游學(xué)校2020-2021學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)（理）試題【分析】（1）以為原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算得，即可證明結(jié)論；（2）先求出，再利用向量夾角公式即可得出.【詳解】（1）由題意在四棱錐中，平面，底面四邊形為直角梯形，，以為原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，所以，，所以，所以．（2）由（1）得，，，，，所以與所成角的余弦值為．【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線(xiàn)所成的角、向量夾角公式、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．21．（1）；（2）.【來(lái)源】課時(shí)1.2空間向量基本定理-2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)同步練習(xí)和分類(lèi)專(zhuān)題教案（人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)）【分析】(1)根據(jù)的模與夾角，利用數(shù)量積公式先求的值，再根據(jù)求得結(jié)果；（2）由先平方，再開(kāi)平方即可.【詳解】（1）由題意得||=||=||=1，·=·=·=，∵=-=-，=-，∴·=·(-)=-+=.（2）∵=-=(+)-，∴==2+2+2+·-·-·=，∴||=.22．（1）；（2）.【來(lái)源】專(zhuān)練03專(zhuān)題強(qiáng)化訓(xùn)練一空間向量的運(yùn)算及應(yīng)用-2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)上冊(cè)同步課后專(zhuān)練（人版A版選擇性必修第一冊(cè)）【解析】（1）由空間向量的加法法則可得，利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值，由此可求得的長(zhǎng)；（2）計(jì)算出、的值，利用平面向量數(shù)量積可計(jì)算出的值，即可得解.【詳解】（1）由題可知，，那么，因此，的長(zhǎng)為；（2）由題知，，則，，所以，.【點(diǎn)睛】本題考查利用空間向量法計(jì)算線(xiàn)段長(zhǎng)，同時(shí)也考查了利用空間向量法計(jì)算向量夾角的余弦值，解題的關(guān)鍵就是選擇合適的基底表示向量，考查計(jì)算能力，屬于中等題.2