空間中直線及直線之間的位置關(guān)系附答案

-.z.空間中直線與直線之間的位置關(guān)系[學習目標]1.會判斷空間兩直線的位置關(guān)系.2.理解兩異面直線的定義，會求兩異面直線所成的角.3.能用公理4解決一些簡單的相關(guān)問題.知識點一空間中兩條直線的位置關(guān)系1.異面直線(1)定義：不同在任何一個平面的兩條直線叫做異面直線.要點分析：①異面直線的定義說明：異面直線不具備確定平面的條件.異面直線既不相交，也不平行.②不能誤認為分別在不同平面的兩條直線為異面直線.如圖中，雖然有a?α，b?β，即a，b分別在兩個不同的平面，但是因為a∩b＝O，所以a與b不是異面直線.(2)畫法：畫異面直線時，為了充分顯示出它們既不平行也不相交，即不共面的特點，常常需要畫一個或兩個輔助平面作為襯托，以加強直觀性、立體感.如下圖，a與b為異面直線.(3)判斷方法方法容定義法依據(jù)定義判斷兩直線不可能在同一平面定理法過平面外一點與平面一點的直線和平面不經(jīng)過該點的直線為異面直線(此結(jié)論可作為定理使用)反證法假設(shè)這兩條直線不是異面直線，則它們是共面直線(即假設(shè)兩條直線相交或平行)，結(jié)合原題中的條件，經(jīng)正確地推理，得出矛盾，從而判定假設(shè)“兩條直線不是異面直線〞是錯誤的，進而得出結(jié)論：這兩條直線是異面直線2.空間中兩條直線位置關(guān)系的分類(1)按兩條直線是否共面分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點,平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點)),異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點))(2)按兩條直線是否有公共點分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(有且僅有一個公共點——相交直線,無公共點\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行直線,異面直線))))思考(1)分別在兩個平面的兩條直線一定是異面直線嗎？(2)兩條垂直的直線必相交嗎？答(1)不一定.可能相交、平行或異面.(2)不一定.可能相交垂直，也可能異面垂直.知識點二公理4(平行公理)文字語言平行于同一條直線的兩條直線互相平行，這一性質(zhì)叫做空間平行線的傳遞性符號語言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥c,b∥c))?a∥b圖形語言知識點三空間等角定理1.定理文字語言空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，則這兩個角相等或互補.符號語言O(shè)A∥O′A′，OB∥O′B′?∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°圖形語言作用判斷或證明兩個角相等或互補2.推廣如果兩條相交直線與另兩條相交直線分別平行，則這兩組直線所成的銳角(或直角)相等.思考如果兩條直線和第三條直線成等角，則這兩條直線平行嗎？答不一定.這兩條直線可能相交、平行或異面知識點四異面直線所成的角1.概念：兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，我們把a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).2.異面直線所成的角θ的取值圍：0°＜θ≤90°.3.如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直.兩條互相垂直的異面直線a，b，記作a⊥b.4.異面直線所成的角的兩種求法(1)在空間任取一點O，過點O分別作a′∥a，b′∥b，則a′與b′所成的銳角(或直角)為異面直線a與b所成的角，然后通過解三角形等方法求角.(2)在其中一條直線上任取一點(如在b上任取一點)O，過點O作另一條直線的平行線(如過點O作a′∥a)，則兩條直線相交所成的銳角(或直角)為異面直線所成的角(如b與a′所成的角)，然后通過解三角形等方法求角(如圖).題型一空間兩條直線的位置關(guān)系的判定例1假設(shè)a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關(guān)系是()A.平行B.異面C.相交D.平行、相交或異面答案D解析可借助長方體來判斷.如圖，在長方體ABCD－A′B′C′D′中，A′D′所在直線為a，AB所在直線為b，a和b是異面直線，b和c是異面直線，則c可以是長方體ABCD－A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.故a和c可以平行、相交或異面.跟蹤訓練1如下圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，判斷以下直線的位置關(guān)系：(1)直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是________；(2)直線A1B與直線B1C的位置關(guān)系是________；(3)直線D1D與直線D1C的位置關(guān)系是________；(4)直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是________.答案(1)平行(2)異面(2)相交(4)異面解析序號結(jié)論理由(1)平行因為A1D1綊BC，所以四邊形A1BCD1為平行四邊形，所以A1B∥D1C(2)異面A1B與B1C不同在任何一個平面(3)相交D1D∩D1C＝D1(4)異面AB與B1C不同在任何一個平面題型二公理4、等角定理的應用例2E，F(xiàn)分別是長方體ABCD－A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中點，求證：四邊形B1EDF是平行四邊形.證明設(shè)Q是DD1的中點，連接EQ，QC1.因為E是AA1的中點，所以.又因為在矩形A1B1C1D1中，，所以.所以四邊形EQC1B1為平行四邊形.所以.又因為Q，F(xiàn)分別是矩形DD1C1C兩邊D1D，C1C的中點，所以.所以四邊形DQC1F為平行四邊形.所以.又因為，所以.所以四邊形B1EDF為平行四邊形.跟蹤訓練2如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點.(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)假設(shè)四邊形EFGH是矩形，求證：AC⊥BD.證明(1)在△ABD中，∵E，H分別是AB，AD的中點，∴EH∥BD.同理FG∥BD，則EH∥FG.故E，F(xiàn)，G，H四點共面.(2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.又∵四邊形EFGH是矩形，∴EH⊥GH.故AC⊥BD.題型三異面直線所成的角例3如下圖，在空間四邊形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，求EF和AB所成的角.解如圖，取BD的中點G，連接EG，F(xiàn)G.因為E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，AB＝CD，所以EG∥CD，GF∥AB，且EG＝eq\f(1,2)CD，GF＝eq\f(1,2)AB.所以∠GFE就是EF與AB所成的角或其補角，EG＝GF.因為AB⊥CD，所以EG⊥GF.所以∠EGF＝90°.所以△EFG為等腰直角三角形.所以∠GFE＝45°，即EF與AB所成的角為45°.跟蹤訓練3空間四邊形ABCD中，AB＝CD且AB與CD所成的角為30°，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，求EF與AB所成角的大小.解取AC的中點G，連接EG，F(xiàn)G，則EGeq\f(1,2)AB，GFeq\f(1,2)CD.故直線GE，EF所成的銳角即為AB與EF所成的角，直線GE，GF所成的銳角即為AB與CD所成的角.∵AB與CD所成的角為30°，∴∠EGF＝30°或150°.由AB＝CD，知EG＝FG，∴△EFG為等腰三角形.當∠EGF＝30°時，∠GEF＝75°；當∠EGF＝150°時，∠GEF＝15°.故EF與AB所成的角為15°或75°.轉(zhuǎn)化與化歸思想例5在空間四邊形ABCD中，AD＝BC＝2a，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，EF＝eq\r(3)a，求異面直線AD，BC所成的角.分析要求異面直線AD，BC所成的角，可在空間中找一些特殊點，將AD，BC平移至一個三角形中.此題E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點，故可尋找一邊中點，如BD的中點M，則∠EMF(或其補角)為所求角.解如圖，取BD的中點M.由題意，知EM為△BAD的中位線，所以EM∥AD且EM＝eq\f(1,2)AD.同理，MF∥BC且MF＝eq\f(1,2)BC.所以EM＝a，MF＝a，且∠EMF(或其補角)為所求角.在等腰△MEF中，取EF的中點N，連接MN，則MN⊥EF.又因為EF＝eq\r(3)a，所以EN＝eq\f(\r(3),2)a.故有sin∠EMN＝eq\f(EN,EM)＝eq\f(\r(3),2).所以∠EMN＝60°，所以∠EMF＝2∠EMN＝120°.因為∠EMF＝120°＞90°，所以AD，BC所成的角為∠EMF的補角，即AD和BC所成的角為60°.反證法的合理應用例6如圖，三棱錐P－ABC中，E是PC上異于點P的點.求證：AE與PB是異面直線.分析利用定義直接證明，即從不同在任何一個平面中的“任何〞開場入手，一個平面一個平面地尋找是不可能實現(xiàn)的，因此必須找到一個間接證法來證明，反證法即是一種行之有效的方法.證明假設(shè)AE與PB不是異面直線，設(shè)AE與PB都在平面α，因為P∈α，E∈α，所以PE?α.又因為C∈PE，所以C∈α.所以點P，A，B，C都在平面α.這與P，A，B，C不共面(P－ABC是三棱錐)矛盾.于是假設(shè)不成立，所以AE與PB是異面直線.1.假設(shè)空間兩條直線a和b沒有公共點，則a與b的位置關(guān)系是()A.共面B.平行C.異面D.平行或異面2.一條直線與兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關(guān)系是()A.平行或異面B.相交或異面C.異面D.相交3.設(shè)P是直線l外一定點，過點P且與l成30°角的異面直線()A.有無數(shù)條B.有兩條C.至多有兩條D.有一條4.如下圖，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________.(填序號)5.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為C1D1的中點，則異面直線AE與A1B1所成角的余弦值為________.一、選擇題1.分別和兩條異面直線平行的兩條直線的位置關(guān)系是()A.一定平行 B.一定相交C.一定異面 D.相交或異面2.空間兩個角α，β，α與β的兩邊對應平行，且α＝60°，則β等于()A.60°B.120°C.30°D.60°或120°3.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，異面直線BA1與CC1所成的角為()A.30°B.45°C.60°D.90°4.下面四種說法：①假設(shè)直線a、b異面，b、c異面，則a、c異面；②假設(shè)直線a、b相交，b、c相交，則a、c相交；③假設(shè)a∥b，則a、b與c所成的角相等；④假設(shè)a⊥b，b⊥c，則a∥c.其中正確的個數(shù)是()A.4B.3C.2D.15.空間四邊形的對角線互相垂直且相等，順次連接這個四邊形各邊中點，所組成的四邊形是()A.梯形B.矩形C.平行四邊形D.正方形6.假設(shè)空間四邊形ABCD的兩條對角線AC，BD的長分別是8,12，則過AB的中點E且平行于BD，AC的截面四邊形的周長為()A.10B.20C.8D.47.如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中點，則以下表達正確的選項是()A.CC1與B1E是異面直線B.C1C與AE共面C.AE與B1C1是異面直線D.AE與B1C1所成的角為60°二、填空題8.在四棱錐P－ABCD中，各棱所在的直線互相異面的有________對.9.一個正方體紙盒展開后如下圖，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論：①AB⊥EF；②AB與CM所成的角為60°；③EF與MN是異面直線；④MN∥CD.以上結(jié)論中正確的序號為________.10.如下圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，異面直線A1B與AD1所成的角為______.三、解答題11.如下圖，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝eq\r(2)，DA⊥AC，DA⊥AB，假設(shè)DA＝1，且E為DA的中點，求異面直線BE與CD所成角的余弦值.12.如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD各邊上的點，且有AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n.(1)證明：E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)m，n滿足什么條件時，四邊形EFGH是平行四邊形？(3)在(2)的條件下，假設(shè)AC⊥BD，試證明：EG＝FH.當堂檢測答案1.答案D解析假設(shè)直線a和b共面，則由題意可知a∥b；假設(shè)a和b不共面，則由題意可知a與b是異面直線.2.答案B解析如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1與BC是異面直線，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，顯然BB1∩BC＝B，DD1與BC是異面直線，應選B.3.答案A解析我們現(xiàn)在研究的平臺是錐空間.如下圖，過點P作直線l′∥l，以l′為軸，與l′成30°角的圓錐面的所有母線都與l成30°角.4.答案②④解析①中，∵G，M是中點，∴AG綊BM，∴GM綊AB綊HN，∴GH∥MN，即G，H，M，N四點共面；②中，∵H，G，N三點共面，且都在平面HGN，而點M顯然不在平面HGN，∴H，G，M，N四點不共面，即GH與MN異面；③中，∵G，M是中點，∴GM綊eq\f(1,2)CD，∴GM綊eq\f(1,2)HN，即GMNH是梯形，則HG，MN必相交，∴H，G，M，N四點共面；④中，同②，G，H，M，N四點不共面，即GH與MN異面.5.答案eq\f(1,3)解析設(shè)棱長為1，因為A1B1∥C1D1，所以∠AED1就是異面直線AE與A1B1所成的角.在△AED1中，cos∠AED1＝eq\f(D1E,AE)＝eq\f(\f(1,2),\f(3,2))＝eq\f(1,3).課時精練答案一、選擇題1.答案D解析可能相交也可能異面，但一定不平行(否則與條件矛盾).2.答案D解析由等角定理，知β與α相等或互補，故β＝60°或120°.3.答案B解析如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，BB1∥CC1，故∠B1BA1就是異面直線BA1與CC1所成的角，故為45°.4.答案D解析假設(shè)a、b異面，b、c異面，則a、c相交、平行、異面均有可能，故①不對.假設(shè)a、b相交，b、c相交，則a、c相交、平行、異面均有可能，故②不對.假設(shè)a⊥b，b⊥c，則a、c平行、相交、異面均有可能，故④不對.③正確.5.答案D解析如圖，因為BD⊥AC，且BD＝AC，又因為E，F(xiàn)，G，H分別為對應邊的中點，所以FGEHeq\f(1,2)BD，HGEFeq\f(1,2)AC.所以FG⊥HG，且FG＝HG.所以四邊形EFGH為正方形.6.答案B解析設(shè)截面四邊形為EFGH，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，∴EF＝GH＝eq\f(1,2)AC＝4，F(xiàn)G＝HE＝eq\f(1,2)BD＝6，∴周長為2×(4＋6)＝20.7.答案C解析由于CC1與B1E都在平面C1B1BC，故C1C與B1E是共面的，所以A錯誤；由于C1C在平面C1B1BC，而AE與平面C1B1BC相交于E點，點E不在C1C上，故C1C與AE是異面直線，B錯誤；同理AE與B1C1是異面直線，C正確；而AE與B1C1所成的角就是AE與BC所成的角，E為BC中點，△ABC為正三角形，所以AE⊥BC，D錯誤.綜上所述，應選C.二、填空題8.答案8解析以底邊所在直線為準進展考察，因為四邊形ABCD是平面圖形，4條邊在同一平面，不可能組成異面直線，而每一邊所在直線能與2條側(cè)棱組成2對異面直線，所以共有4×2＝8(對)異面直線.9.答案①③解析把正方體的平面展開圖復原成原來的正方體，如下圖，AB⊥EF，EF與MN是異面直線，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正確.10.答案60°解析連接BC1，A1C1，∵BC1∥AD1，∴異面直線A1B與AD1所成的角即為直線A1B與BC1所成的角.在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，∴∠A1BC1＝60°，故異面直線A1B與AD1所成的角為60°.三、解