2021年中考數(shù)學(xué) 三輪突破：與圓相關(guān)的計算（含答案）

2021中考數(shù)學(xué)三輪突破：與圓相關(guān)的計算

一、選擇題

1.如圖，圓錐的底面半徑r=6,高h(yuǎn)=8,則圓錐的側(cè)面積是（）

A.15兀B.30KC.45兀D.60兀

2.（202。常德）一個圓錐的底面半徑r=10,高。=20,則這個圓錐的側(cè)面積是

（）

A-IOOA/371B.20007rc-100弱兀D-200\品

3.如圖，。。的半徑是1,A、B、C是圓周上的三點(diǎn)，ZBAC=36°,則劣弧配

的長是（）

7t卜2「3「4

A.§B?弓兀C.§兀D.§兀

4.下列圓的內(nèi)接正多邊形中，一條邊所對的圓心角最大的圖形是（）

A.正三角形B.正方形

C.正五邊形D.正六邊形

5.如圖，已知正五邊形ABCDE內(nèi)接于。O,連接BD,則NABD的度數(shù)是（）

A.60°B.70°C.72°D.144°

6.小明用圖中的扇形紙片作一個圓錐的側(cè)面.己知該扇形的半徑是5cm,弧長

是6兀cm,那么這個圓錐的高是（）

6cmC.8cmD.12cm

7.2019.新鄉(xiāng)期末已知圓內(nèi)接正三角形的面積為3小，則邊心距是（）

A.2B.1C.小D*

8.（2020?寧夏）如圖，等腰直角三角形ABC中，ZC=90°,AC=?,以點(diǎn)C

為圓心畫弧與斜邊A3相切于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,交3c于點(diǎn)尸，則圖中陰影部

分的面積是（）

4444

二、填空題

9.如圖，ZAOB=9Q°,ZB=30°,以點(diǎn)。為圓心，04為半徑作弧，交于點(diǎn)A,

C,交OB于點(diǎn)D,若04=3,則陰影部分的面積為.

10.（2020.綏化）已知圓錐的底面圓的半徑是2.5,母線長是9,其側(cè)面展開圖的圓

心角是度.

11.75。的圓心角所對的弧長是2.5兀cm,則此弧所在圓的半徑是cm.

12.如圖所示，有一直徑是啦米的圓形鐵皮，現(xiàn)從中剪出一個圓心角是90。的

最大扇形ABC,則：

(1)AB的長為米；

(2)用該扇形鐵皮圍成一個圓錐，所得圓錐的底面圓的半徑為米.

A

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知0。經(jīng)過原點(diǎn)0,與x軸、y軸分別交于4

B兩點(diǎn)，點(diǎn)8坐標(biāo)為(0,273),0c與。。交于點(diǎn)C,Z0CA=30°,則圖中陰影

部分的面積為.(結(jié)果保留根號和兀).

14.(2020.黃石)如圖，在6x6的方格紙中，每個小方格都是邊長為1的正方形,

其中A、B、。為格點(diǎn)，作△A3C的外接圓，則兄的長等于

15.(202。泰安)如圖，點(diǎn)O是半圓圓心，8E是半圓的直徑，點(diǎn)A,。在半圓

上，且ZABO=60°,AB=8,過點(diǎn)。作。CL8E于點(diǎn)C,則陰影部

分的面積是.

16.如圖，ZAOB=90°,ZB=30°,以點(diǎn)O為圓心，OA長為半徑作弧交AB于

點(diǎn)A,C,交OB于點(diǎn)D.若0A=3,則陰影部分的面積為

三'解答題

17.如圖，△ABC內(nèi)接于。O,ZB=60°,CD是。。的直徑，點(diǎn)尸是CO延長線

上一點(diǎn)，且AP=AC.

(1)求證:孫是。。的切線；

Q)若PD=p,求。。的直徑.

18.

如圖，AB為。。的直徑，C,。是半圓。的三等分點(diǎn)，過點(diǎn)C作A。延長線的垂線

CE,垂足為E

(1)求證：CE是。。的切線；

(2)若。。的半徑為2,求圖中陰影部分的面積.

19.如圖，A8為。。的直徑，且AB=4百，點(diǎn)C是第上的一動點(diǎn)(不與A,8重

合)，過點(diǎn)B作00的切線交AC的延長線于點(diǎn)。，點(diǎn)E是8。的中點(diǎn)，連接EC

(1)求證:EC是。。的切線；

(2)當(dāng)NO=30。時，求圖中陰影部分的面積.

20.如圖，在正方形ABCD中，AD=2,E是AB的中點(diǎn)，將△BEC繞點(diǎn)B逆時

針旋轉(zhuǎn)90。后，點(diǎn)E落在CB的延長線上的點(diǎn)F處，點(diǎn)C落在點(diǎn)A處，再將線段

AF繞點(diǎn)F順時針旋轉(zhuǎn)90。得線段FG,連接EF,CG

(1)求證：EF〃CG；

(2)求點(diǎn)C,A在旋轉(zhuǎn)過程中形成的R,4G與線段CG所圍成的陰影部分的面積.

21.

在平面直角坐標(biāo)系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的實(shí)數(shù)根.比如

對于方程/-5尤+2=0,操作步驟是：

第一步：根據(jù)方程的系數(shù)特征，確定一對固定點(diǎn)A(0,1),B(5,2)；

第二步：在坐標(biāo)平面中移動一個直角三角板，使一條直角邊恒過點(diǎn)A,另一條

直角邊恒過點(diǎn)B；

第三步：在移動過程中，當(dāng)三角板的直角頂點(diǎn)落在無軸上點(diǎn)C處時，點(diǎn)C的橫坐

標(biāo)m即為該方程的一個實(shí)數(shù)根(如圖①)；

第四步：調(diào)整三角板直角頂點(diǎn)的位置，當(dāng)它落在x軸上另一點(diǎn)D處時，點(diǎn)D的橫

坐標(biāo)〃既為該方程的另一個實(shí)數(shù)根.

"(S2

(1)在圖②中，按照“第四步”的操作方法作出點(diǎn)D(請保留作出點(diǎn)D時直角三角板

兩條直角邊的痕跡)；

(2)結(jié)合圖①，請證明“第三步”操作得到的〃?就是方程f—Sx+Zn。的一個實(shí)數(shù)根

(3)上述操作的關(guān)鍵是確定兩個固定點(diǎn)的位置.若要以此方法找到一元二次方程

ax*2+bx+c=0(a^0,"一4砒20)的實(shí)數(shù)根，請你直接寫出一對固定點(diǎn)的坐標(biāo)；

(4)實(shí)際上，(3)中的固定點(diǎn)有無數(shù)對，一般地，當(dāng)如,m,m2,〃2與a,c之間

滿足怎樣的關(guān)系時，點(diǎn)P(〃zi,?i).Q(加2,〃2)就是符合要求的一對固定點(diǎn)？

2021中考數(shù)學(xué)三輪突破：與圓相關(guān)的計算?答案

一、選擇題

1.【答案】D［解析］圓錐的高、母線和底面半徑構(gòu)成直角三角形，其中r=6,h

=8,所以母線長為10,所以圓錐的側(cè)面積=7ni=7tx6xio=6O兀.故選D.

2.【答案】C

【解析】本題考查了圓錐的計算.圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長

等于圓錐底面的周長,扇形的半徑等于圓錐的母線長，這個圓錐的母線長是

7102+202=1()75，

這個圓錐的側(cè)面積是Lz4xlOxlO百=100君萬.因此本題選c.

2

3.【答案】B【解析】連接OB、OC.

NBOC是BC^所對的圓心角］、

/A是BCd所對的圓周角>=>乙BOC=2ZA=72°I

ZA=36°JJ

。。的半徑是1>

=劣弧的長=窄>=］兀

4.【答案】A［解析］..?正三角形一條邊所對的圓心角是360。+3=120。，

正方形一條邊所對的圓心角是360。+4=90。，

正五邊形一條邊所對的圓心角是360。+5=72。，

正六邊形一條邊所對的圓心角是360°-6=60°,

一條邊所對的圓心角最大的圖形是正三角形.

故選A.

5.【答案】C［解析］?.?正五邊形ABCDE內(nèi)接于。O,

(5-2)xl80°

/.ZABC=ZC=------------------=108°,CB=CD,

180°-108°

/.ZCBD=ZCDB=-------------=36°,

/.ZABD=ZABC-ZCBD=108°-36°=72°.

故選C.

6.【答案】A［解析］設(shè)圓錐的底面圓的半徑是rcm,則271r=6兀，解得r=3,則

圓錐的高是、52—32=4(cm).

7.【答案】B

8.【答案】A

二、填空題

9.【答案】，［解析］連接OC,過點(diǎn)C作CNLAO于點(diǎn)N,CMLOB于點(diǎn)M,'：

ZAOB=90°,ZB=30°,

/.ZA=60°,\'OA=OC,，AAOC為等邊三角形，VOA=3,:.CN=6,

CM=ON=~,

2

.39I-

?'?S扇形AOC=F,S?AOC=73,

24

在RtAAOB中，08=\月071=3\月，SAOCB=*6,

4

ZCOD=3Q°,S扇形兀，

4

.3

5陰影=S扇形AOC-SAAOC+SAOCB-S扇形COD=-H.

4

10.【答案】100

【解析】設(shè)圓心角的度數(shù)是n,則2兀、2.5=播.解得n=100.

1ov

11.【答案】6

12.【答案】（1）1（2）|［解析］⑴如圖,連接BC.

VZBAC=90°,

，BC為。0的直徑，即BC=啦.

VAB=AC,AB2+AC2=BC2=2,

，AB=1（米）.

⑵設(shè)所得圓錐的底面圓的半徑為r米.

根據(jù)題意，得

1oU

解得r=1.

13.【答案】2兀-2舊［解析］連接A8,

,/NA08=90。，

.??A3是直徑，

根據(jù)同弧所對的圓周角相等得NO8A=NC=30。，

。8=2百，

，OA=OBtanZABO=OBtan300=273X—=2,AB=*-=4,

3sin30a

即圓的半徑為2,

14.【答案】卓兀

【解析】由A3、BC、AC長可推導(dǎo)出△ACB為等腰直角三角形，連接OC,得出

ZBOC=90°,計算出08的長就能利用弧長公式求出8C的長了.

?.?每個小方格都是邊長為1的正方形，，4?：?小，AC=V10,BC=?，:.

AC2+BC2=AB2,

...△AC8為等腰直角三角形，.,.NA=N8=45。，，連接0C,則NCO8=90。,

?：0B=小,二兄的長為："缺后=坐兀.

1OV乙

15.【答案】y7T—873

【解析】本題考查了扇形的面積、30。角所對的直角邊等于斜邊的一半、平行線

的性質(zhì)、陰影圖形的面積與特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，連接OA,因?yàn)?ABO

=60°,OA=OB,所以△ABO是等邊三角形，所以AB=OB,ZAOB=60°,因?yàn)?/p>

AD//BO,所以NDAO=NAOB=60。，因?yàn)锳O=DO,所以△ADO是等邊三角形，

所以AD=AO=OD,所以AB=BO=DO=AD=8,即四邊形ABOD是菱形，所以N

DBO=ZBDO=ZODC=30°,SAABO=SAADO,所以O(shè)C=4,CD=4小，所以陰影部

i20x8^i64-

分的面積為S力彩AOE-SACOD=3607r5x4x4小=^n—8小,因此本題答案為

竽71—8小.

3

16.【答案】“［解析］如圖，連接OC,過點(diǎn)C作CN±AO于點(diǎn)N,CM±OB

于點(diǎn)M.：NAOB=90°,ZB=30°,/.ZA=60o.

VOA=OC,.?.△AOC為等邊三角形，

AZAOC=60°,AC=OA.

VOA=3,AC=OA=3.

VCN±OA,/.AN=ON=|oA=|,

319

CN=2事,ASAAOC=]OA.CN=1小.

VZAOB=90°,CN10A,CM1OB,

二四邊形CNOM為矩形，

3

/.CM=ON=^.

在RQAOB中，ZB=30°,OA=3,

，AB=2OA=6,

/.OB=3S，

19

ASAOCB=^OBCM=4y[r3.

VZAOC=60°,OA=3,

..S扇形OAC=360=5兀

,/ZCOD=90°-60°=30°,

.??S扇形0?口=3發(fā)07r薩32=/3,

AS陰影=S扇形0AC—S4AOC+SAOCB-S扇形OCD=j兀

三、解答題

17.【答案］

解:⑴證明:連接QA,

VZB=60°,

，NAOC=2NB=120。，

又?.?OA=OC,

，NOAC=N004=30。，

又YAPSC,

，NP=NACP=30。，

，ZOAP=ZAOC-ZP=9Q°,

C.OALPA,

.?.孫是。。的切線.

(2)在RtAOAP中，

VZP=30°,

:.PO=OD+PD=2OA,

又,：OA=OD,

：.PD=OA,

,:PD=4,

：.CD=2OA=2PD=2>/5.

二。。的直徑為2遍

18.【答案】

解：(1)證明：連接0C.

VC,。為半圓。的三等分點(diǎn)，

：.AD=CD=BC,

：.ZDAC=ZBAC.

'：OA=OC,

：.ZBAC=ZACO,

：.ZDAC=ZACO,

：.OC//AD.

VCELAD,

：.CE±OC,為。。的切線.

(2)連接OD.

'：AD=CD=BC,

：.ZAOD=ZCOD=ZBOC=1xl80°=60°.

又,：OC=OD,

...△COO為等邊三角形，

:.ZCDO=6Q°=ZAOD,

：.CD//AB,

SAACD=SXCOD,

...圖中陰影部分的面積=S碉形COD=當(dāng)祟=牛

19.【答案】

解:⑴證明:連接。CBC,0E,

?..AB是。。的直徑,

Z.ZACB=ZBCD=90°.

?.?點(diǎn)E是3。的中點(diǎn)，CE=BE,

VOB=OC,OE=OE,:OBEm/\OCE.

?.?8。是00的切線，：.ZOBE=90°=ZOCE,

是。。的半徑，

是。。的切線.

(2)VZD=30°,NOBO=90°,

/.ZA=60°,/.ZB0C=120°,NEOB=60。.

"：AB=4y[3,：.0B=26,BE=6,

.*?S用彩=2SAOBE-S南形OBC=2X-X6X2V3—120nx⑵④=12-/3-4JT.

2360

20.【答案】

解：(1)證明：?.?四邊形ABCD是正方形，

/.AB=BC=AD=2,ZABC=90°.

VABEC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)90。得^BFA,

.?.△BFA四△BEC,

，NFAB=/ECB,ZABF=ZCBE=90°,

AF=CE,

.,.ZAFB+ZFAB=90°,

?.?線段AF繞點(diǎn)F順時針旋轉(zhuǎn)90。得線段FG,

AZAFB+ZCFG=ZAFG=90°,AF=FG,

/.ZCFG=ZFAB=ZECB,CE=FG,

ACE^FG,

...四邊形EFGC是平行四邊形,

，EF〃CG

(2)：E是AB的中點(diǎn)，/.AE=BE=1AB.

VABFA^ABEC,/.BF=BE=1AB=1,

，AF=qAB2+BF2=小.

由(1)知四邊形EFGC是平行四邊形，F(xiàn)C為其對角線，

二點(diǎn)G到FC的距離等于點(diǎn)E到FC的距離，即BE的長，

90兀2211

???S陰影=S扇形BAC+SAABF+SAFGC-S扇形FAG=<二八十、x2xl+i><(l

,八,907v(小)25兀

+2)x1—360=2-4'

21.【答案】

【思路分析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)C是A軸上的一動點(diǎn)，且/ACB=90。保持不變，所以由

圓周角的性質(zhì)得，點(diǎn)C必在以AB為直徑的圓上，所以以AB為直徑畫圓，與x軸

相交于兩點(diǎn)，除點(diǎn)C的另一點(diǎn)就是所求；(2)因?yàn)镹ACB=90。，ZAOC=90°,

所以過點(diǎn)B作BE，x軸，垂足為E,則構(gòu)造了一個“K”字型的基本圖形，再由相

似三角的性質(zhì)得出比例式，化簡后得加2—5機(jī)+2=0,問題得證；(3)由(2)中的

證明過程可知，一個二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程，一次項(xiàng)系數(shù)是點(diǎn)A的橫坐

標(biāo)與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的和的相反數(shù)；常數(shù)項(xiàng)是點(diǎn)A的縱坐標(biāo)與點(diǎn)B的縱坐標(biāo)的積，

bc

先把方程加+—+。=0,化為％2+~x+~

a