2021年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)《與相似三角形相關(guān)綜合壓軸題》培優(yōu)提升專項訓(xùn)練【含答案】

2021年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)《與相似三角形相關(guān)綜合

壓軸題》培優(yōu)提升專項訓(xùn)練

現(xiàn)有兩塊等腰直角形三角板，如圖，把其中一塊三角板A'8'C'的一個銳角頂點B'

放在另一塊三角板A8C斜邊AB的中點處，并使三角板A'B1C繞著點B'旋轉(zhuǎn).

(D當(dāng)兩塊三角板相對位置如圖①，即AC與A'B'交于點。，BC與B'C交于點

E時，求證：ZXAB'DS/\BEB'：

②當(dāng)兩塊三角板相對位置如圖②，即AC邊的延長線與A'B'交于點D,BC與

B'C交于點E時，X&B,D與LBEB'還相似嗎？(直接給出結(jié)論.不需證明)

?在圖②中，連結(jié)。E,試探究△48'。與是否相似，并說明理由或給出

證明.

④在圖①中，若△ABC改為角C等于150°的等腰三角形，那么B'C只要

滿足NA'B'C=°時，仍有△AB'DsABEB'.

圖1圖2

2已知RtzXABC中，AC=BC=2.一直角的頂點P在AB上滑動，直角的兩邊分別交線

段AC,BC于E.尸兩點

(1)如圖1,當(dāng)空=上且2￡14(7時，求證：居=工；

T"?nCTIT?c

②如圖2,當(dāng)空_=1時(1)的結(jié)論是否仍然成立？為什么？

PB

⑶在(2)的條件下，將直角/EP尸繞點尸旋轉(zhuǎn)，設(shè)NBPF=a(0°<a<90°).連

結(jié)EF,當(dāng)△CEF的周長等于2+2a時，請直接寫出a的度數(shù).

A

圖1圖2備用圖

3如圖，在△ABC中，ZB=90°,AB=6,BC=8,動點P從A點出發(fā)，沿AC向點C

移動，速度為每秒2個單位長度，同時，動點。從C點出發(fā)，沿CB向點B移動，速

度為每秒1個單位長度，當(dāng)其中有一點到達終點時，它們都停止移動.設(shè)移動的時間為

⑵求△CP。的面積5（平方米）關(guān)于時間/（秒）的函數(shù)解析式；

（2）在p、。移動的過程中，當(dāng)t為何值時，acp。是等腰三角形?

4如圖，在RtZsABC中，ZC=90°,AB^lOcm,AC：8c=4：3,點P從點A出發(fā)沿AB

方向向點B運動，速度為\cmJs,同時點Q從點B出發(fā)沿C-A方向向點A運動，速

度為2cm/s,當(dāng)一個運動點到達終點時，另一個運動點也隨之停止運動.

（D求AC、BC的長；

②當(dāng)點。在8c上運動時，若△PBQ與△4BC相似，求時間f的值；

③當(dāng)點Q在CA上運動，使PQLABEI寸，△PBQ與△ABC是否相似，請說明理由.

5如圖，在平面直角坐標(biāo)系xO），中，已知點8的坐標(biāo)為（2,0）,點C的坐標(biāo)為（0,8）,

sin/CAB=4,E是線段AB上的一個動點（與點A、點B不重合），過點E作E尸〃AC

交BC于點F,連接CE.

（D求AC和OA的長；

②設(shè)4E的長為m,△CEF的面積為S,求S與〃?之間的函數(shù)關(guān)系式；

⑶在（2）的條件下試說明S是否存在最大值？若存在，請求出S的最大值，并求出

此時點E的坐標(biāo)，判斷此時ABCE的形狀；若不存在，請說明理由.

6如圖1,等腰△ABC中，AC=BC,DE//AB,AD=DE=^EB=5,AB=\\.一個動點P

從點4出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿折線AD-OE-EC方向運動，當(dāng)點尸到達

點C時，運動結(jié)束，過點尸作于點Q,以尸。為斜邊向右作等腰直角三角形

PMQ,設(shè)點P的運動時間為f秒（;>0）.

（1）當(dāng)工=時，點M落在線段BQ上；當(dāng)/=時，點P到達點C；

⑵在整個運動過程中，設(shè)△PMQ與△AB。重疊部分的面積為S,請直接寫出S與f

的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量r的取值范圍；

③如圖2,當(dāng)點P在線段DE上運動時，線段PQ與對角線BD交于點F,作點P關(guān)

于BD的對稱點G,連接FG、GQ,得到△尸G。.是否存在這樣的3使△尸G。是等腰

三角形？若存在，求出對應(yīng)的f的值：若不存在，請說明理由.

7如圖，已知在等腰RtZ\A8C中，NC=90°,斜邊A8=2,若將aABC翻折，折痕EF

分別交邊AC,邊BC于點、E和點尸(點E不與A點重合，點尸不與B點重合)，且點

C落在48邊上，記作點D.過點。作。K_LAB,交射線AC于點K,設(shè)y=

cotNCFE,

(1)求證：/XDEKs4DFB；

(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并寫出定義域;

圖1備用圖

8等邊△ABC的邊長為2,P是BC邊上的任一點(與B、C不重合)，連接AP,以AP為

邊向兩側(cè)作等邊△APQ和等邊犯分別與邊AB、AC交于點M、N(如圖1).

(1)求證：AM=AN；

(2)設(shè)①若BM=3,求x的值；

②記四邊形AOPE與△ABC重疊部分的面積為S,求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出

自變量的取值范圍；

③如圖2,當(dāng)x取何值時，ZBAD=\5°?

圖1圖2

9已知：如圖①，△ABC中，A/、8/分別平分N2AC、ZABC.CE是△ABC的外角

NACD的平分線，交B/延長線于E,聯(lián)結(jié)C1.

⑴設(shè)NB4C=2a.如果用a表示/8/C和NE,那么NB/C=,NE=

（2）如果AB=1,且△A8C與△/（；￡；相似時，求線段AC的長；

⑶如圖②，延長A/交EC延長線于尸，如果Na=30°,sin/尸=3,設(shè)BC=〃z,

5

圖①圖②

I）如圖，已知aABC是等邊三角形，A8=4,。是AC邊上一動點（不與A、C點重合）,

E尸垂直平分BD,分別交AB、BC于點E、F,設(shè)CD=x,AE=y.

（1）求證：△AEDs/\CDF：

(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式.并寫出定義域;

11.(1)問題

如圖1,在四邊形48C。中，點P為AB上一點，/OPC=NA=NB=90°,求證：

AD'BC=AP'BP.

(2)探究

如圖2,在四邊形ABC。中，點尸為AB上一點，當(dāng)NOPC=N4=/B=。時，上述結(jié)

論是否依然成立？說明理由.

(3)應(yīng)用

請利用(1)(2)獲得的經(jīng)驗解決問題：

如圖3,在△ABO中，48=6,A￡)=BD=5,點P以每秒1個單位長度的速度，由點A

出發(fā)，沿邊AB向點B運動，且滿足/Z)PC=NA,設(shè)點P的運動時間為r(秒)，當(dāng)以

。為圓心，以QC為半徑的圓與AB相切時，求，的值.

區(qū)2

B

-----------------□RaD6p

ApDr

圖1圖2圖3

2已知△48C中，ZABC=90°，點M為8c上一點，點E、N在AC上，且

EB=EM,NM=NC,

(1)求證：NEMN=/BEC；

(2)探究：AE、EN、CN之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；

(3)如圖2,過點B作交NM的延長線于“，當(dāng)時，求理的值.

BMMN

13.(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖①，D是等邊△ABC邊8A上一動點(點。與點B不重合)，連

接DC,以DC為邊在BC上方作等邊△￡>(7/,連接AF.直接寫出線段AF與BD之間

的數(shù)量關(guān)系.

9類比猜想：如圖②，當(dāng)△ABC為以BC為斜邊的等腰直角三角形，。是△ABC邊

BA上一動點(點。與點B不重合)，連接。C,以。C為斜邊在BC上方作等腰直角4

FDC,連接AF.請直接寫出它們的數(shù)量關(guān)系.

9深入探究：

I.如圖③，當(dāng)△ABC為以BC為底邊的等腰三角形，。是△ABC邊8A上一動點(點

D與點B不重合)，連接DC,以DC為底邊在BC上方作等腰ZBCA^ZDCF,

且/BAC=a,連接AF.線段A尸與3。之間的有什么數(shù)量關(guān)系？證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論：

II.如圖④，當(dāng)△ABC為任意三角形，。是△ABC邊8A上一動點(點。與點B不重

合)，連接QC,以。C為邊在BC上方作且幽=%,連接AF.線段

AC

AF與2。之間的有什么數(shù)量關(guān)系？直接寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.

D,D,

H已知矩形ABC。的一條邊AD^Scm,將矩形ABC。折疊，使得頂點B落在CD邊上的

尸點處，已知折痕與邊8c交于點0,連結(jié)AP.OP、0A.

①如圖1,若點P恰好是C。邊的中點，

①判斷△AOP與△AP0是否相似，并說明理由；

②求邊A8的長；

②如圖2,若△0C尸與的面積比為1：4,動點G從點。出發(fā)以每秒1cm的

速度沿DP向終點P運動，同時動點H從點P出發(fā)以每秒2cm的速度沿PA向終點A

運動，運動的時間為t(0<f<5),

①求邊AB的長；

②問是否存在某一時刻t,使四邊形AOGH的面積S有最小值？若存在，求出S的最小

值；若不存在，請說明理由.

①如圖1,點。在BC邊上，型=工，與BE相交于點尸，則里的值為

BD2PD

②如圖2,點。在8c的延長線上，BE的延長線與AD交于點

P,DC：BC：AC=1：2：3.

①求需的值；

②若CQ=2,則BP=.

t)如圖所示，E是正方形ABC。的邊AB上的動點，正方形的邊長為4,EFLDE交BC

于點F.

(1)求證：AADEsABEF；

(2)AE=x,BF^y.當(dāng)x取什么值時，y有最大值？并求出這個最大值；

(3)已知。、C、F、E四點在同一個圓上，連接CE、DF,若sin/CEF=2,求此圓

5

直徑.

備用圖

答案

1.證明：(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)可知：NA=NB=NA'B'C=45°,

:/BB'D=NADB'+/A,NBB'D=乙尺B'C+ZEB1B,

:.NADB'=ZBB'D-ZA=ZBB'D-45°,

NEB'B=NBB'。-NA'B'C'=NBB'D-45°.

AZADB'=

ZEB'B.又：NA=

ZB,

.'.△AB'Ds^BEB'.

(2)相似.如圖：

理由：由等腰直角三角形的性質(zhì)可知：N4=NB=NA'B'C=45°,

:NBB'D=NADB'+/A,NBB'D=ZA'B'C+ZEB1B,

：.ZADB'=NBB'D-NA=NBB'力-45°,

ZEB'B=NBB'D-ZA;B'C=/BB'￡>-45°.

AZADB'-

ZEB'B.又?.,NA=

ZB,

.?.△AB'DsABEB'.

(3)由(2)可知

.'.△AB'DsgEB',

.AD_B?D

,,RR，=RE，，

又，；BB'=AB',

.ADByD

-AB，=B，R'

又,.?/A=NA'B'C=45°.

.?.△AB'DS/\B'ED.

(4)當(dāng)/A'B'C=15°時，

△AB'0s△BEB'.理由：VZC=150°,AC=BC,

：.ZA=ZB=15°.

:/BB'D^ZADB'+ZA,ZBB'O=NA'B'C+ZEB1B,

:.NADB'=ZBB'D-NA=NBB'D-15°,

NEB'B=NBB'D-ZAZB'C'=ZBB'D-15°.

ZADB

ZEB'B.又；NA=

.'.△AB'Ds/\BEB'.

2.解：(1)如圖1,

VPE1AC,

NAEP=NPEC=

90°.又,：NEPF=NACB

=90°,

四邊形PECF為矩形，

：.ZPFC=90°,

AZPFB=90°,

NAEP=NPFB.

'：AC=BC,ZC=90°,

.../A=NB=45°,

:.NFPB=NB=45°,AAEP^APFB,

?PE=AP=1.

-，PFPBH

(2)(1)的結(jié)論不成立，理由如下:

連接PC,如圖2.

.4

.??點P是AB的中點.

又：乙4cB=90°,CA=CB,

：.CP=AP^1AB.ZACP^ZBCP=^-ZACB=45",CP1AB,

9.9.

：.ZAPE+ZCPE=90Q.

VZCPF+ZCPE=90°,

：.NAPE=NCPF.

在和ACP尸中，

，ZA=ZPCF=45°

■PA=PC.

,ZAPE=ZCPF

...△APE9XCPF,

：.AE^CF,PE=PF.

故(1)中的結(jié)論購=工不成立；

PFR

(3)當(dāng)ACE尸的周長等于2+氧再寸，a的度數(shù)為75°或15°.

提示：在(2)的條件下，可得AE=CF(已證)，

EC+CF=EC+AE^AC^2.

EC+CF+EF=2+V娓,

:.EF=2瓜

3

設(shè)CF=x,則有CE=2-X,

在Rt^CE尸中，根據(jù)勾股定理可得?+(2-x)2=(-|V6)2,

整理得：3X2-6x+2=0,

解得：肛=主返，苫2=世反.

33

①若如圖3,

3

過點尸作于H,

易得PH=HB=CH=I,FH=1-、—近=返.

RR

在RtZ^PH尸中，tan/FP，=^=返，

PHR

:.NFPH=30°,

，a=/FP8=30+45°=75°；

②若Cf=3班,如圖4,

過點尸作PGLAC于G,

同理可得：/APE=75°,

.,.a=ZFPB=180°-AAPE-ZEPF=\5°.

3解：（1）如圖1,過點P,作P￡>_LBC于D

在Rt"BC中，AB=6米，BC=8米，

由勾股定理得：AAB2+BC2=J62+82=1。米

由題意得：AP=2/,則CQ=t,則PC=\0-2t

：f=2.5秒時，AP=2X2.5=5米，QC=2.5米

.?.PO=_1AB=3米.

.?.S=/QC?PO=3.75平方米；

②如圖1過點。，作QEJ_PC于點E,

；NC=NC,NQEC=NABC,

：.RtAgEC^RtAABC.

.QEAB

-"oc'AC-

解得：QE=31,

5

.?.S=-lpc?e￡=—(IO-2力-旦3+3￡(0Vf<5)

2255

?①當(dāng)PC=QC時，PC=10-2r,QC=t,即10-2r=r,解得/=也秒；

R

②當(dāng)PQ=CQ時，如圖1,過點Q作QELAC,則CE=10-2t..=5-t,CQ=t,

2

由(2)可知△CEQS/XCBA,故里<g,即《二L解得f=空秒；

RCACR109

③當(dāng)PC=PQ時，如圖2,過點P作PELBC.

A

,:PQ=PC,PE±QC,

...EC=￡QG

：.CE=^-.

9.

'：PE±QC,

；.NPEC=90°.

；./PEC=ZABC.

；/C=/C,NPEC=NABC,

△尸CESAACB.

.?.SL』2,即t=10-2t.解得［=史秒.

BCAC161021

4解：(1)設(shè)4c=4x,BC=3x,在RtZVIBC中，AC2+B(^=AB2,

即：(4x)2+(3x)2=102,

解得：x—2,

?\AC=ScmfBC=6cm；

(2)若aPB。與△ABC相似，

由已知條件得：AP^t,BQ=2t,

：.PB=lO-t,

①如圖1,NPQB=NC=90°,

.PBBQpnlO-t2t

ABBC10fi

解得：r=30；

15?

②如圖2,NQPB=/C=90°,

?PBBQpnlO-t2t

RCABfi10

解得：/=旦＞3.

11

綜上所述：當(dāng)，=尊時，△尸8。與△ABC相似；

(3)如圖3,當(dāng)點。在。上運動，使時，以點8、P、Q為頂點的三角形與

△A8C不相似.理由如下：

"：AP=x,

：.AQ=]4-2x,

；PQ，AB,

XAPQsXACB,

.AP=AQ_PQ

"ACAB=BC)

即：x=14-2x=PQ,

Rmfi

解得：x=區(qū)，「。=絲，

1R1R

."8=10-x=2￡,

13

42

.PQ=H=21^BC

"PB74而正'

13

，當(dāng)點。在CA上運動，使PQJ_AB時，以點8、P、。為頂點的三角形與△4BC不相

似.

，。8=2,0c=8,

在RtZ\A0C中，sin/CAB=^=4,

AC5

?.?8=—4.

AC5

：.AC=10,

?*,0A=VAC2-0C2=7102-82=6-

(2)依題意，AE=m,則BE=8-m,

?:EF"AC,

:?叢BEFS/\BAC.

?EF_BEgpEF_8-m

**AC-AR'下-=’

?EF——4。-5m

**-4-，

過點F作FG_LAB,垂足為G,則sinNPEG=sin/CAB=4,

5

?.F?'G—_4—,

KF5

.JG=4X理&1=8-m,

54

111,

???S=SaBCE-Sa8FE=^(8-m)x8號(8-m)(8-m)=-物一+4%

自變量m的取值范圍是0〈機＜8.

(3)S存在最大值.

'?,S=-/+4w=/nr4)2+8,且一)。,

.?.當(dāng)機=4時，S有最大值，S最大值=8,

?.加=4,

...點E的坐標(biāo)為(-2,0),

...△BCE為等腰三角形.

6.解：（1）如圖1中，作。兀L4B于7,ENLAB于N,Ca_LAB于”，MKA.PQTK,

則四邊形OEN7是矩形,

圖1

由△on多AENB,可得DE=NT=PQ=5,AT=BN=3,

'：AD=EB=5,

:.DT=EN=4,

當(dāng)點M在8。上時，"：PK=KQ,KM//AB,

:.DM=MB,易知KM=PK=KQ=2,DP=2,

.1=7秒時，點M在8。上，

'JEN//CH,

:.叢ENBs/\CHB,

.EB=BN

"CB而，

.5_3

"BC

：.BC=^~,雨=空，

fi6

.?.點P到達點C時間為：5+5+至=里秒.

66

故答案為7秒，里秒.

A

(2)①如圖2中，作OT_LAB于T,當(dāng)0<fW5時，重疊部分是△PQM,

；.尸。=生，

5

s=SMQM=含-iz=去2-

zbr>zh

②如圖3中，當(dāng)5<fW7時，重疊部分是四邊形QMHK.取8。的中點M',作

M'P'〃PM交DE千P'

"JKQ//DT,

.KQ=BQ

**nfBT'

???KQ_1-3---t-,

4R

：.KQ=^~l.PK=4-I?-t=文包

222

':P'M'//PH,

.PH=DP

**nM/DP，，

.DH=t-5

h

：.DH=-Js(r-5),?；DK=遙"5),

：.HK=DH-DK=1■爬(r-5),

2

，S=S4PMQ-SAPKH=4-工S.t5，x,t5=_

9.9.2R4R

③如圖4中，當(dāng)7<fW10時，重疊部分是△QHK.GK,M'G'分別是△0HK、△

由△Q”KS^Q'H'M',得到，—?—=—^IL

?！疕y1卜

13~t

?

??2__GK

R2

：.GK=1^~,

R

A._13^+_169^

22R12612

④如圖5中，10<f<莊時，重疊部分是△QK”.

fi

圖5

由△Q”KS/\Q'HrM',得—的—=F,,可得GK=2{5-

Q，H，/1R

12…

y[5-^-(t-10)]},

.?.S=JL?H0GK=L2{5-115/■(t-10)?2=」一t2-工+上-

223225‘°10011012

工2(0<t<5)

25t

1257

丁T7(5<t<7)

綜上所述，s='

步導(dǎo)噌(7<t<10),

亮tT￡ag喏)

(3)存在.①如圖6中，當(dāng)/G=FQ時,

圖6

?：PF=FG=FQ=2,

二。尸=4,

，/=5+4=9.

②如圖7中，當(dāng)GF=GQ時;作GKLPQ,￡W_LAB于N.

圖7

由△OANsaGFK,得嶇=幽

FGFK

,5,3

畀T)即

.?.FK=W_(r-5),

10

,:GF=GQ,GK1.FQ,

：.FQ=2FK=l(t-5),

5

9

\PF+FQ=4f

.??_1(r-5)+3(r-5)=4,

25

.?T.

11

作QK_LG產(chǎn)于K.ON_L4B于N.

由△ADNs△尸QK,得到幽=他,

FKFQ

?_1_=5

(Z-5),

12

VPF+FQ=4f

AA(r-5)+且(r-5)=4,

912

.103

11

綜上所述，當(dāng)△尸G0是等腰三角形時，，的值為9s或％或』叫‘.

1111

7.(1)證明：如圖1,

圖1

由折疊可得：NEDF=NC=90°,ZDFE=ZCFE.

???△ABC是等腰直角三角形，ZC=90°,

ZA=ZB=45°.

\*DK.LABf

：.ZADK=ZBDK=90Q,

ZAKD=45°,/EDF=/KDB=90°,

???NEKD=/FBD,ZED24FDB,

:?△DEKS/\DFB；

(2)解：VZA=ZAKD=450,

：.DK=DA=x,

*：AB=2f

DB=2-x.

■:/\DFBs/\DEK,

.DF=DB

??蕨nK，

.*.y=cotZCFE=cotZDFE=^!E_=

DEDK

入.當(dāng)點尸在點8處時，

Y

DB-BC-AB^inA-2X坐■=?,AD=AB-BD=2-瓜

2

當(dāng)點E在點A處時，

4￡)=AC=A3?cosA=2X堂=6

2

該函數(shù)的解析式為y=三,定義域為2-V2<x<V2；

X

(3)取線段EF的中點。，連接OC、0D,

*：ZECF=ZEDF=90°,

OC=OD=LEF.

9.

設(shè)EF與CD交點、為H,根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得且C”=O”=工CD

2

NHOC=60°

①若點K在線段AC上，如圖2,

K,

圖2

?；CO=LEF=OF,

2

AZOCF=ZOFC=^ZHOC=3G°,

2

.*.y=cot30°=

:?人=M，

解得：x=V3-1；

②若點K在線段AC的延長線上，如圖3,

VOC=OF,//OC=60°,

???△OFC是等邊三角形,

，NOFC=60°,

.,.y=cot60°=苗3,

R

.2-x-F

??~,

YR

解得：x=3-A/3；

綜上所述：x的值為盜-1或3-

8.(1)證明：??'△ABC、△AP。和△APE是等邊三角形,

：.AD=APfZDAP=ZBAC=60°,ZADM=ZAPN=60°,

:.NDAM=NPAN.

在△ADM和△APN中,

rZDAM=PAN

?AD=AP，

ZADM=ZAPN

:.XADM9l\APN(ASA),

：.AM=AN.

(2)解：①??'△ABC、ZVID尸是等邊三角形，

???N8=NC=NZMP=NBAC=60°,

：.ZDAM=ZPAC,

VZADM=ZB.NDMA=NBMP,

A180°-ZADM-ZDMA=180°-/B-/BMP,

：.ZDAM=ZBPM,

：,4BPM=4NAP,

:?叢BPMs^CAP,

?

??-B--M-Z2--B-P-,

CPCA

?.,3M=3,AC=2fCP=2-x,

g

???4N-8x+3=0,

解得無尸工，X2=—.

22

②???四邊形AMPN的面積即為四邊形ADPE與△A5C重疊部分的面積，XKDMQX

APN,

?a?SAADM=SAAPN，

，S四邊形AMPN=SAAPN=S4AMP+SAADM=

SAADP-過點P作PS_LA3,垂足為S,

在RtZXBPS中，

VZB=60°,BP=x,

.*.PS=BPsin60°=返居BS=BPcos600=L,

92

???AB=2,

.9.AS=AB-BS=2-—x,

2

：.AP2=AS2+P^=d^x)2+(2--lr)2=x2-2x+4(0<x<2)；

22

,5=返%2=2^2-(0<x<2).

442

③連接PG,設(shè)DE交AP于點0.若/區(qū)40=15°,

,:NDAP=60°.AZPAG=45°.

■：△AP￡)和△△「后都是等邊三角形.

：.AD=DP=AP=PE=EA.

四邊形ADPE是菱形.

二。。垂直平分AP.

：.AG=GP.

；./APG=NPAG=45°.

:.NPAG=90°.

設(shè)BG=t,在Rt/XBPG中，NB=60°.

:.BP=2t,PG=\f3t.

:.AG=PG=6.

■'?\T3t+t=2.解得t=M-1.

：.BP=2t=2yf3-2.

故，當(dāng)x=2?-2時，ZBAD=\50.

圖1圖2

9.解：（1）在△8CE中有：NE=180°-ZBCE-ZCBE,

又：A/、8/分別平分NBAC、ZABC.

；.C/是/ACB的平分線，

是/4C￡＞的平分線，

ZECI是平角ABCD的一半，

AZEC/=90°,

Z.ZE=90°-ZBCI-ZCBI,

在△ABC中，-lzBAC=—(180°-AABC-ZACB)=90°-NBCI-NCBE=a,即

22

ZE—a.

在三角形3/C中，由外角性質(zhì)得到：NB/C=90°+a,

綜上所述，ZB/C=90°+a,ZE=a.

故填：90°+a,a；

(2)由題意易證得△"?￡'是直角三角形，且NE=a.

當(dāng)△ABCs/VCE時，可得△ABC是直角三角形，有下列三種情況：

①當(dāng)NA8C=90°時，'：ZBAC^2a,NE=a；

只能NE=NBCA,可得/BAC=2N8CA.

：.ZBAC=60a,N8CA=30°.

：.AC=2AB.

；.AC=2.

②當(dāng)NBC4=90°時，

VZBAC=2a,ZE=a；

???只能NE=N4BC,可得N34C=2NA8C

：.ZBAC=60Q,ZABC=30Q.

：.AB=2AC.

?"C=』.

2

③當(dāng)N5AC=90°時，VZBAC=2a,ZE=a；

/.ZE=ZBAI=ZCAI=45Q.

???△ABC是等腰直角三角形.即AC=AB.

：.AC=\.

，綜上所述，當(dāng)△ABCs/vcE時，線段AC的長為1或2或工.

2

(3)VZE=ZCA/,由三角形內(nèi)角和可得NA/E=NACE.

???NAIB=

NACF.又?.?N8A/

=ZCAZ,

AAB1=NF.

又/平分NABC,

:.NABI=NF=

NEBC.又是公

共角,

:.△EBCS^EFL

在RtZVCF中，sin/F=g,設(shè)/C=3k,那么CF=4k,IF=

5

5k.在RtZX/CE中，/E=30°,設(shè)/C=3k,那么(7￡：=3揚，IE

=6k.

10.解：（1）證明：如圖1,

垂直平分BD,

:.EB=ED,FB=

FD.在ABE尸和

姮邪也

■FB=FD

EF=EF

:ABE厘4DEF(555),

：.ZEBF=ZEDF,

:△ABC是等邊三角形,

AZA=ZABC=ZC=60°,

ZEDF=60°,

/.ZADE+ZFDC=\SO0-60°=120°.

又???NAE￡>+NAZ)E=180°-60°=120°,

:.NAED=/FDC,

：.AAEDsACDF；

(2):△ABC是等邊三角形，

：.AC=BC=AB=4.

,:CD=x,AE=yf

?"￡>=4-x,ED=EB=4-y.

■:△AEDs^CDF,

?ED=AD=AE

??而CFCD，

.?4-y=4-x=y

""nF-cF工'

2

...OF=4x-xy,CF=4X-X

VV

■:DF+CF=BF+CF=BC=4f

2

...4x-xy+4x-x

vv

整理得：y=@工二工2.(0<x<4)；

4+x

(3)如圖2,

①”在線段AE上時，在RtZ\A4O中,

9：AH=AE-EH=y-1,A￡)=4-x,ZA=60°,

.*.cosA=AH_yV.1

AD4-x9.

.,.y=3-—x,

2

?8x-x2__1

??----------JQ-xv,

4+Y2

整理得：x2-14x+24=0,

解得：X]=2,X2=12,

V0<x<4,

?'?x=2,

②當(dāng)4在線段BE上時，同理可求得x=9-J為

即CO的長為2或9-阮.

圖1

圖1

VZDPC^ZA=ZB=90°,

AZADP+ZAPD=90，>,

NBPC+NAPO=90°,

NADP=/BPC,

：.MADPsABPC,

.AD=AP

"BP而，

：.AD'BC=AP*BP；

②結(jié)論AD?BC=AP?BP仍然成

立.理由：如圖2,

VZBPD=ZDPC+ZBPC,NBPD=NA+NADP,

???NDPC+/BPC=ZA+ZADP.

VZDPC=NA=N8=B,

:./BPC=/ADP,

：.XADPsMBPC,

.AD=AP

,,BPBC，

：.AD9BC=AP^P；

圖3

過點。作于點E.

9：AD=BD=5,48=6,

；?AE=BE=3.

由勾股定理可得DE=4.

???以點。為圓心，OC為半徑的圓與AB相切,

：?DC=DE=4,

???BC=5-4=1.

又?；AD=BD,

：.NA=NB,

:?/DPC=NA=N&

由(1)、(2)的經(jīng)驗可知AO?8C=AP?BP,

/.5Xi=r(6-r),

解得：h=l,亥=5,

.1的值為1秒或5

秒.12.解：(1)?：EB=EM,NM

=NC,

：.ZEBM=ZEMB,4NMC=/NCM,

：./EMB+NNCM+NEMN=180°,

VZEBM+ZNCM+ZBEC=180°,

:?/EMN=/BEC；

②如圖1,作OELLBC,NF_LBC分別交3。于。，凡作GM_L3C,交AC于點G,

圖1

■:EB=EM,ZABC=90Q,

:?BD=MD,

???DE為梯形4BMG的中位線，

；?AE=EG,

同理可得CN=NG,

：?EG+GN=AE+CN,即EN=AE+CN；

⑶如圖2,作GMLBC,交AC于點G,作NF//EM,

H圖2

U：GM//AB,

?

?CG_—CM_—Mfl，

AGBM

"：AE=EG,CN=NG,

.?段=〃，即NG=CN=nEG,

EG

'：NF//EM,

.?.史=里即CF=nEG

?,而麗''MC(2n+l)EG'

2n+1

：.MF=MC--^—MC=-^-MC,

2n+12n+1

NF//EM,

：.BH//NF,

?理=現(xiàn)

"MNMF'

???史=〃，即8M=』CM,

BMn

1CH

..網(wǎng)=_2____=2n+l

MNn+1「Mn(n+l)

2n+lCM

13.解：(1)?.?等邊△ABC,等邊△OCF,

:.FC=DC,AC=BC,ZFCA+ZACD^ZBCD+ZACD^60°,

：.ZFCA=ZDCB,

在△FC4和△OCB中，

'CF=CD

■NFCA=/DCB，

,CA=CB

/.△FC4^ADCB,

：.BD=AF；

(2)V(1)???△4SC是等腰直角三角形，△DCF是等腰直角三角形,

.FC=V2AC=V2

**cnCB

.FC=AC

??而CB"

ZFCA+ZACD^ZBCD+ZACD^45°,

；.NFCA=NDCB,

:.缸FCAS^DCB,

?.?-A--F-_-V--2-;

BD2

(3)I.「△ABC為以BC為底邊的等腰三角形，△FDC為以O(shè)C為底邊的等腰三角

形，