2021年中考數(shù)學總復習《圓》解答題36

2021年中考數(shù)學總復習《圓》解答題

1.如圖，點A與點8的坐標分別是（1,0）,（5,0）,點尸是該直角坐標系內(nèi)的一個動點.

（1）使/APB=30°的點尸有無數(shù)個;

（2）若點尸在y軸上，且/AP2=30°,求滿足條件的點尸的坐標；

（3）當點P在），軸上移動時，N4PB是否有最大值？若有，求點P的坐標，并說明此時

NAPB最大的理由；若沒有，也請說明理由.

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5-

4-

3-

2-

1-/B

iiii????“

-4-3-2-1012345X

-1-

-2-

-3-

-4-

【分析】（1）已知點A、點B是定點，要使N4P8=30°,只需點P在過點4、點8的

圓上，且弧AB所對的圓心角為60。即可，顯然符合條件的點P有無數(shù)個.

（2）結(jié)合（1）中的分析可知：當點尸在y軸的正半軸上時，點P是（1）中的圓與y

軸的交點，借助于垂徑定理、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識即可求出符合條件的

點尸的坐標；當點尸在y軸的負半軸上時，同理可求出符合條件的點P的坐標.

（3）由三角形外角的性質(zhì)可證得：在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角大于同弧所對的

圓外角.要NAPB最大，只需構(gòu)造過點A、點B且與y軸相切的圓，切點就是使得NAP8

最大的點P,然后結(jié)合切線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理

等知識即可解決問題.

【解答】解：（1）以AB為邊，在第一象限內(nèi)作等邊三角形ABC,

以點C為圓心，AC為半徑作OC,交y軸于點Pi、P2.

在優(yōu)弧AP1B上任取一點P,如圖1,

則NAPB=￡ACBTX60°=30°.

22

...使/4P8=30°的點P有無數(shù)個.

故答案為：無數(shù).

（2）①當點P在y軸的正半軸上時，

過點C作CGLAB,垂足為G,如圖1.

?.?點A（1,0）,點B（5,0）,

：.OA=\,08=5.

."8=4.

?.?點C為圓心，CGLAB,

：.AG=^BG=—AB=2.

2

OG=OA+AG=3.

???△A8C是等邊三角形，

：.AC=BC=AB=4,

?,-CG=VAC2-AG2

=V42-22

=2遮.

...點C的坐標為（3,2?）.

過點C作C￡>，y軸，垂足為。，連接CP2,如圖1,

?.?點C的坐標為（3,2&）,

:.CD=3,O￡>=2?.

VPHP2是。C與y軸的交點，

：.ZAP]B=ZAP2B=30C,.

"：CP2=CA=4,CD=3,

DP2—，42.32=5/7.

?.?點C為圓心，CDLP1P2,

：.PID=P2D=E

:.PI（0,2V3-V7）.PI（0,2V3+V7）.

②當點P在y軸的負半軸上時，

同理可得：尸3（0,-2?-祈）.「4（0,-2代W7）.

綜上所述：滿足條件的點P的坐標有：

（0,2加-赤、（0,2百班）、（0,-2?-行）、（0,-2?+赤）.

（3）當過點A、B的OE與），軸相切于點P時，NAP8最大.

理由：可證：ZAPB=ZAEH,當NAPB最大時，NAEH最大.由sin/A￡77=2得:

AE

當AE最小即PE最小時，NAEH最大.所以當圓與y軸相切時，/AP8最大.

①當點P在），軸的正半軸上時，

連接E4,作EHLx軸，垂足為4,如圖2.

與），軸相切于點P,

：.PE1OP.

；EHLAB,OPLOH,

，NEPO=ZPOH=NEHO=90°.

四邊形OPEH是矩形.

AOP=EH,PE=OH=3.

：.EA=3.

?；NEHA=90°,AH=2,EA=3,

A￡//=VEA2-AH2

=V32-22

—A/5

：3=娓

：.P（0,&）.

②當點P在y軸的負半軸上時，

同理可得：P（0,-煙）.

理由：

①若點P在了軸的正半軸上，

在y軸的正半軸上任取一點M（不與點P重合），

連接MA,MB,交。E于點M連接24,如圖2所示.

???ZANB隹2MN的外角,

NANB>NAMB.

2APB=/ANB,

：.ZAPB>