大學數(shù)學教案

大學數(shù)學教案大學數(shù)學教案范本（說明：本教學教案以高等教育出版社普通高等教育“十一五”國家級規(guī)劃教材第二版《大學文科數(shù)學》（張國楚等主編）教學內(nèi)容為藍本制作，按照教學順序，展現(xiàn)教學中的難點、重點）第一章微積分的基礎和研究對象內(nèi)容：§1微積分基礎---集合、實數(shù)和極限1.1從牛頓的流數(shù)法和第二次數(shù)學危機談起1.2極限、實數(shù)、集合在微積分中的作用1.3實數(shù)系的建立及鄰域概念計劃：2學時主要講述微積分發(fā)展演變的歷史。微積分的基礎是---集合、實數(shù)和極限，微積分的發(fā)展歷史可追溯到17世紀，在物理力學等實際問題中出現(xiàn)大量的（與面積、體積、極值有關的）問題，用微積分得到了很好的解決。到19世紀，經(jīng)過無數(shù)數(shù)學家的努力，微積分的理論基礎才得以奠定。可以說，經(jīng)過300多年的發(fā)展，微積分課程的基本內(nèi)容已經(jīng)定型，并且已經(jīng)有了為數(shù)眾多的優(yōu)秀教材。但是，人們?nèi)匀桓械轿⒎e分的教與學都不是一件容易的事，這與微積分學科本身的歷史進程有關。微積分這座大廈是從上往下施工建造起來的。微積分從誕生之初就顯示了強大的威力，解決了許多過去認為高不可攀的困難問題，取得了輝煌的勝利，創(chuàng)始微積分數(shù)學的大師們著眼于發(fā)展強有力的方法，解決各式各樣的問題，他們沒來得及為這門學科建立起嚴格的理論基礎。在以后的發(fā)展中，數(shù)學危機的出現(xiàn)，促使后繼者才對邏輯細節(jié)作了逐一的修補。重建基礎的細致工作當然是非常重要的，但也給后世的學習者帶來了不利的影響，今日的初學者在很長一段時間內(nèi)只見樹木不見森林。在這一節(jié)重點了解十九世紀建立分析學基礎的歷史；了解第二次數(shù)學危機的意義；了解實數(shù)理論、集合論誕生的背景與內(nèi)容；了解十九世紀分析學的新進展。重點提出幾位數(shù)學家：牛頓（創(chuàng)立了微積分學）；柯西、維爾斯特拉斯（為微積分學奠定了理論基礎）；康托（建立集合論）。內(nèi)容：§2微積分的研究對象---函數(shù)2.1變量相依關系的數(shù)學模型---函數(shù)2.2逆向思維一例---反函數(shù)2.3基本初等函數(shù)2.4復合函數(shù)2.5初等函數(shù)的含義2.6MM能力培養(yǎng)計劃：2學時在自然科學，工程技術(shù)甚至社會科學中，函數(shù)是被廣泛應用的數(shù)學概念之一，其意義遠遠超過了數(shù)學范圍，在數(shù)學中函數(shù)處于基礎核心地位。函數(shù)不僅是貫穿中學《代數(shù)》的一條主線，它也是《大學數(shù)學》這門課程的研究對象。《大學數(shù)學》課程中，將在原有初等數(shù)學的基礎上，對函數(shù)的概念、性質(zhì)進行重點復習和深入的討論，并采用極限為工具研究函數(shù)的各種分析性質(zhì)，進而應用函數(shù)的性質(zhì)去解決實際問題。本節(jié)重點掌握以下內(nèi)容：函數(shù)的表示方法，函數(shù)的圖形與特殊的幾何性質(zhì)（有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性）；函數(shù)的運算：和差積商四則運算、求逆運算（反函數(shù)）、求復合運算（復合函數(shù)）；初等函數(shù)與非初等函數(shù)的概念。下面談談對初等函數(shù)的認識?；境醯群瘮?shù)是在數(shù)學史的發(fā)展過程中，用到最多的6類函數(shù)，其性質(zhì)在中學已經(jīng)考察的比較清楚了，它們是：常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)。基本初等函數(shù)以及對基本初等函數(shù)作有限次四則運算與有限次函數(shù)復合運算得到的由一個式子表示的函數(shù)成為初等函數(shù)。在本教材中，我們大多數(shù)情況下都考慮初等函數(shù)。但也要清楚一些非初等函數(shù)的例子，如一些常見的分段函數(shù)：符號函數(shù)、取整函數(shù)、小數(shù)函數(shù)第二章微積分的直接基礎---極限內(nèi)容：§1從阿基里斯追趕烏龜談起---數(shù)列極限1.1數(shù)列的概念1.2數(shù)列極限的定性描述1.3數(shù)列極限的定量描述1.4數(shù)列極限中蘊含的辨證思想計劃：4學時為了深入研究函數(shù),需要引進極限的概念.極限是高等數(shù)學最基本的概念,在微分學與積分學中,極限的方法是解決問題的主要方法.從方法論上來說,這是高等數(shù)學區(qū)別于初等數(shù)學的顯著標志.極限的定性描述是用所謂的描述性語言，例如，“無限趨近”“越來越靠近”這些都只是一種模糊的描述，一種直觀的想象，缺乏精確性；盡管直觀在數(shù)學的發(fā)展和創(chuàng)造中扮演著充滿活力的'積極角色，但數(shù)學不能停留在直觀的認識階段。為避免直觀想象可能帶來的錯誤判斷，作為微積分工具的極限概念，必須有定量描述的精確定義。本節(jié)的重點是對數(shù)列極限的定量描述的理解。數(shù)列極限的定量描述：N，nNxna.定義：（N語言）limxna0，n注意：1）關于是衡量xn與a接近程度的，愈小，表示的接近愈好，它除受限于正數(shù)外，不受任何限制，正說明xn與a能夠接近到任何程度.有任意性，但一經(jīng)給出，就應暫時看作是固定不變的，以便據(jù)此來求N.也就是說，具有二重性，的絕對任意性是通過無限多個相對固定性的表現(xiàn)出來的.2，同再者，既然是任意給定的正數(shù)，那么c（c是正常數(shù)），，樣都是任意給定的正數(shù)，因此定義中不等式右邊的完全可以由c（c是正常2，來代替，同樣可知，不等式中的“<”可換為“”.今后證數(shù)），，在數(shù)列極限的定義中，正數(shù)是任意的，雖然也可以任意大，但此時不等式xna并不能說明xn無限趨近于a.等式才表明xn無限趨近于a.因此證明極限問題時，常常限定的變化范圍，如，01,01[]>1.12，例如，為了使[]是自然數(shù)，限定01,從而有12）關于NN隨的變化而變化，是依賴于的，但不是由所惟一確定的.因為對已經(jīng)給定的，若N=100能滿足要求，則N=101或1000或10000自然更能滿足要求.其實N等于多少關系不大，重要的是它的存在性，只要存在一個N，那么大于N的任何一個自然數(shù)都能滿足要求.因此，用“N”定義證明數(shù)列xna”是指：凡是下標大于N的所有xn，都滿足不等3）定義中“nN式xna.從幾何意義上講，就是所有坐標大于N的xn都落在a的鄰域內(nèi)，而在這鄰域之外，至多有N（有限）個項.xn何鄰域內(nèi)含有{xn}實際在定義中,不等式xna,就是axna,它表示xn在開區(qū)間(a,a)內(nèi).因此,{xn}以a為極限,就是對任意給定的一個開區(qū)間(a,a),第NxN2，全部落在這個區(qū)間內(nèi).項以后的一切項xN1，4）特別：當a=0時，即limx