山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三第二次診斷性考試數(shù)學(xué)試題及答案解析

試卷第=page22頁，總=sectionpages22頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat22頁山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三第二次診斷性考試數(shù)學(xué)試題及答案解析一、單選題1．命題:“”的否定為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：命題“”是全稱命題，則命題的否定是特稱命題即，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查含有量詞的命題的否定，結(jié)合全稱命題的否定是特稱命題是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．2．是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A． B．0 C． D．1【答案】A【解析】利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算法則直接求解．【詳解】解：是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，的虛部為．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的虛部的求法，考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．3．在中，若，則=（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】余弦定理將各值代入得解得或(舍去)選A.4．若是任意實(shí)數(shù)，且，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)可得正確，舉反例可判斷其他選項(xiàng)是錯(cuò)誤的.【詳解】解：、是任意實(shí)數(shù)，且，如果，，顯然不正確；如果，，顯然無意義，不正確；如果，，顯然，，不正確；因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，且，滿足條件，正確．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查比較大小的方法，考查各種代數(shù)式的意義和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．5．設(shè)，，若，求實(shí)數(shù)組成的集合的子集個(gè)數(shù)有A．2 B．3 C．4 D．8【答案】D【解析】先解方程得集合A，再根據(jù)得，最后根據(jù)包含關(guān)系求實(shí)數(shù)，即得結(jié)果.【詳解】,因?yàn)椋?，因此，對?yīng)實(shí)數(shù)的值為，其組成的集合的子集個(gè)數(shù)有，選D.【點(diǎn)睛】本題考查集合包含關(guān)系以及集合子集，考查基本分析求解能力，屬中檔題.6．已知，且，則的值為（）A．-7 B．7 C．1 D．-1【答案】B【解析】由了誘導(dǎo)公式得，由同角三角函數(shù)的關(guān)系可得，再由兩角和的正切公式，將代入運(yùn)算即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以，即，又，則，解得=7，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了誘導(dǎo)公式及兩角和的正切公式，重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力，屬中檔題.7．古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下的問題:“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何?”意思是:“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，己知她5天共織布5尺，問這女子每天分別織布多少?”根據(jù)上述己知條件，若要使織布的總尺數(shù)不少于30尺，則至少需要（）A．6天 B．7天 C．8天 D．9天【答案】C【解析】由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求出這女子第一天織布尺，由此利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式能求出要使織布的總尺數(shù)不少于30尺，該女子所需的天數(shù)至少為多少天．【詳解】解：設(shè)該女子第一天織布尺，則，解得，前天織布的尺數(shù)為：，由，得，解得的最小值為8．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列在生產(chǎn)生活中的實(shí)際應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．8．已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，有，則不等式的解集是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意，設(shè)，則有，即函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，結(jié)合時(shí)，，及已知導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)單調(diào)性，從而可求不等式．【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)，則，則有，，即有，故函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，則有，當(dāng)時(shí)，，，又由當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)，由可得，即，，函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)，由可得，即，此時(shí)不存在，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，涉及函數(shù)的對稱性以及不等式的解法，屬于中檔題．9．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，若，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)函數(shù)的對稱性，利用，建立方程求出的值，然后利用輔助角公式求出的解析式，利用最值性質(zhì)轉(zhuǎn)化為周期關(guān)系進(jìn)行求解即可．【詳解】解：解：的圖象關(guān)于直線對稱，，即，，則，，，或，，即，一個(gè)為最大值，一個(gè)為最小值，則的最小值為，，的最小值為，即的最小值為.故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用對稱性建立方程求出的值以及利用輔助角公式進(jìn)行化簡，轉(zhuǎn)化為周期關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵10．已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不同的解，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】先作圖象，再根據(jù)圖象確定等量關(guān)系以及參數(shù)取值范圍，最后化簡得結(jié)果.【詳解】先作圖象，由圖象可得因此為，從而，選A.【點(diǎn)睛】對于方程解(或函數(shù)零點(diǎn)的)問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍．從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等．二、多選題11．關(guān)于平面向量，下列說法中不正確的是（）A．若且，則 B．C．若，且，則 D．【答案】ACD【解析】利用向量數(shù)量積所具備的相關(guān)性質(zhì)逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：對于，若，因?yàn)榕c任意向量平行，所以不一定與平行，故錯(cuò)；對于，向量數(shù)量積滿足分配律，故對；對于，向量數(shù)量積不滿足消去率，故錯(cuò)；對于，是以為方向的向量，是以為方向的相量，故錯(cuò)．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查命題真假性的判斷，掌握向量的相關(guān)性質(zhì)即可，屬于基礎(chǔ)題．12．己知函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，為圖象的一條對稱軸，且上有且僅有7個(gè)零點(diǎn)，下述結(jié)論正確的是（）A． B．C．上有且僅有4個(gè)極大值點(diǎn) D．上單調(diào)遞增【答案】CD【解析】根據(jù)的零點(diǎn)和對稱軸，可以推出為奇數(shù)，再結(jié)合在上有且僅有7個(gè)零點(diǎn)，推出的值，進(jìn)而推出的值以及函數(shù)單調(diào)性．【詳解】解：為圖象的一條對稱軸，為的一個(gè)零點(diǎn)，，且，，，，在上有且僅有7個(gè)零點(diǎn)，，即，，，又，所以，令，解得，當(dāng)解得，因?yàn)?，所以故上有且僅有4個(gè)極大值點(diǎn)，由得，，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，綜上，錯(cuò)誤，正確，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了正弦函數(shù)的奇偶性和對稱性，考查了正弦型函數(shù)的單調(diào)性，考查分析和解決問題的能力和計(jì)算能力，屬于難題．13．設(shè)定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，.己知存在，且為函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù))的一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值可能是（）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】先構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)的奇偶性，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可．【詳解】解：令函數(shù)，因?yàn)椋?，為奇函?shù)，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減．存在，得，，即，；，為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減，由選項(xiàng)知，取，又，要使在時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，只需使，解得，的取值范圍為，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，屬于中檔題．三、填空題14．已知向量滿足，，，則___________.【答案】【解析】根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算律求出，再計(jì)算即可得解.【詳解】解：由已知：，，，所以，展開得到，所以，所以，所以；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的模的運(yùn)算；利用了向量的模的平方與向量的平方相等，屬于基礎(chǔ)題．15．設(shè)命題，命題，若是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________．【答案】【解析】【詳解】試題分析：由題意得，，解得，所以，由，解得，即，要使得是的充分不必要條件，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．【考點(diǎn)】充分不必要條件的應(yīng)用；不等式的求解．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了充分條件和必要條件的判定與應(yīng)用、分式不等式和一元二次不等式的求解等知識的應(yīng)用，本題的解答中根據(jù)分式不等式的求解和一元二次不等式的求解，求解的解集，再由是的充分不必要條件，列出不等式組是解答的關(guān)鍵，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題．16．在中，分別為內(nèi)角的對邊，若，且，則__________．【答案】4【解析】已知等式，利用正弦定理化簡得：，可得，，可解得，余弦定理可得，，可解得，故答案為.17．現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5，高為9的圓錐和底面半徑為，高為8的圓柱各一個(gè).若將它們重新制作成總體積與各自的高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐與圓柱各一個(gè)，則新的底面半徑為_________；若新圓錐的內(nèi)接正三棱柱表面積取到最大值，則此正三棱柱的底面邊長為_________.【答案】3【解析】先求出原來的體積和，再求出新的體積和，列出方程，即可解出新的底面半徑，設(shè)新圓錐的內(nèi)接正三棱柱的底面邊長為，高為，底面正三角形的外接圓的半徑為，利用相似比用表示出，從而把正三棱柱的表面積表示成的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出三棱柱的表面積取到最大值時(shí)的值．【詳解】解：由題意可知，底面半徑為5，高為9的圓錐和底面半徑為，高為8的圓柱的總體積為，設(shè)新的圓錐和圓柱的底面半徑為，則：，解得：，設(shè)新圓錐的內(nèi)接正三棱柱的底面邊長為，高為，底面正三角形的外接圓的半徑為，，，又，，正三棱柱的表面積，當(dāng)時(shí)，三棱柱的表面積取到最大值，故答案為：3，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓錐與圓柱的體積公式，屬于中檔題．四、解答題18．己知函數(shù)的最大值為1.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若將的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】（1）-1（2）最大值，最小值-3【解析】（1）由條件利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式為函數(shù)，可得．（2）根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律，可得．再根據(jù)，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)的最值．【詳解】解：（1），（2）將的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，，當(dāng)時(shí)，，取最大值，當(dāng)時(shí)，，取最小值.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性、定義域、值域，屬于基礎(chǔ)題．19．等差數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)已知求出和，從而得到通項(xiàng)公式；（2）寫出的通項(xiàng)公式，可知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；從而可分別在兩個(gè)范圍內(nèi)求解.【詳解】（1）由題意得：（2）當(dāng)時(shí)，；時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即綜上所述：【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解、含絕對值的數(shù)列前項(xiàng)和問題.解決含絕對值的求和問題，關(guān)鍵是要區(qū)分清楚通項(xiàng)正負(fù)的臨界點(diǎn)，從而分別在兩段區(qū)間內(nèi)進(jìn)行求和運(yùn)算.20．“我將來要當(dāng)一名麥田里的守望者，有那么一群孩子在一塊麥田里玩，幾千萬的小孩子，附近沒有一個(gè)大人，我是說……除了我”《麥田里的守望者》中的主人公霍爾頓將自己的精神生活寄托于那廣闊無垠的麥田.假設(shè)霍爾頓在一塊成凸四邊形的麥田里成為守望者，如圖所示，為了分割麥田，他將連接，設(shè)中邊所對的角為，中邊所對的角為，經(jīng)測量已知，.（1）霍爾頓發(fā)現(xiàn)無論多長，為一個(gè)定值，請你驗(yàn)證霍爾頓的結(jié)論，并求出這個(gè)定值；（2）霍爾頓發(fā)現(xiàn)麥田的生長于土地面積的平方呈正相關(guān)，記與的面積分別為和，為了更好地規(guī)劃麥田，請你幫助霍爾頓求出的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）在和中分別對使用余弦定理，可推出與的關(guān)系，即可得出是一個(gè)定值；（2）求出的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)以及余弦函數(shù)值的取范圍，可得出的最大值.【詳解】（1）在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，，則，；（2），，則，由（1）知：，代入上式得：，配方得：，當(dāng)時(shí)，取到最大值.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理的應(yīng)用、三角形面積的求法以及二次函數(shù)最值的求解，解題的關(guān)鍵就是利用題中結(jié)論將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)來求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.21．已知函數(shù)且a≠0）．（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（2）若函數(shù)f（x）的極小值為，試求a的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由題意可知．，由此能求出曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程．（2）當(dāng)a＜-1時(shí)，求出，解得，不成立；②當(dāng)a=-1時(shí)，≤0在（0，+∞）上恒成立，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減．f（x）無極小值；當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，極小值f（1）=-a-4，由題意可得，求出；當(dāng)a＞0時(shí)，極小值f（1）=-a-4．由此能求出a的值．【詳解】（1）函數(shù)f（x）=（2ax2+4x）lnx-ax2-4x（a∈R，且a≠0）．由題意可知．∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為．（Ⅱ）①當(dāng)a＜-1時(shí)，x變化時(shí)變化情況如下表：x1（1，+∞）-0+0-f（x）↘極小值↗極大值↘此時(shí)，解得，故不成立．②當(dāng)a=-1時(shí)，≤0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減．此時(shí)f（x）無極小值，故不成立．③當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，x變化時(shí)變化情況如下表：x（0，1）1-0+0-f（x）↘極小值↗極大值↘此時(shí)極小值f（1）=-a-4，由題意可得，解得或．因?yàn)?1＜a＜0，所以．④當(dāng)a＞0時(shí)，x變化時(shí)變化情況如下表：x（0，1）1（1，+∞）-0+f（x）↘極小值↗此時(shí)極小值f（1）=-a-4，由題意可得，解得或，故不成立．綜上所述．【點(diǎn)睛】本題考查切線方程的求法，考查極值的求法，考查導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性、最值等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．22．設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，若對任意都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍?！敬鸢浮浚?）見證明；（2）【解析】（1）首先求出，利用與作差，化簡即可得到為常數(shù)，進(jìn)而可證明數(shù)列為等差數(shù)列，其首項(xiàng)為2，公差2，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出；（2）結(jié)合（1）可得，利用裂項(xiàng)相消，即可求出數(shù)列的前項(xiàng)和為，代入，分離參數(shù)即可得到，分別為奇數(shù)和偶數(shù)是的范圍即可?！驹斀狻浚?）證明:∵，且，當(dāng)時(shí)，，解得．當(dāng)時(shí)，有即，即．于是，即．∵，∴為常數(shù)∴數(shù)列是為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，∴．（2）由（1）可得：，∴，即對任意都成立，①當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，恒成立，令，，在上為增函數(shù)，②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，恒成立，又，在為增函數(shù)，∴由①②可知：綜上所述的取值范圍為:【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列前項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的關(guān)系，求數(shù)列前項(xiàng)和的方法以及數(shù)列與函數(shù)的結(jié)合，考查學(xué)生運(yùn)算求解能力，屬于中檔題。23．已知函數(shù)且在上的最大值為，（1）求函數(shù)f(x)的解析式；(2)判斷函數(shù)f(x)在（0，π）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并加以證明【答案】（1）（2）2個(gè)零點(diǎn).【解析】（1）由題意，可借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)上的單調(diào)性，確定出最值，令最值等于，即可得到關(guān)于a的方程，由于a的符號對函數(shù)的最值有影響，故可以對a的取值范圍進(jìn)行討論，分類求解；（2）借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）在（0，π）內(nèi)單調(diào)性，由零點(diǎn)判定定理即可得出零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【詳解】(1)由已知得f′(x)=a(sinx+xcosx),對于任意的x∈(0,)，有sinx+xcosx>0,當(dāng)a=0時(shí),f(x)=?，不合題意；當(dāng)a<0時(shí),x∈(0,),f′(x)<0,從而f(x)在(0,)單調(diào)遞減，又函