湘教版數(shù)學(xué)八年級上冊 2.2 命題與證明

2.2命題與證明第1課時定義、命題1.了解命題、定義的含義；對命題的概念有正確的理解.會區(qū)分命題的條件和結(jié)論.2.學(xué)生通過本節(jié)課內(nèi)容的學(xué)習(xí),使學(xué)生經(jīng)歷定義的產(chǎn)生過程,感受定義的必要性.同時對命題的含義有初步的體驗.體驗區(qū)分命題的條件和結(jié)論的重要性和必要性.3.通過與學(xué)生的交流互動,營造愉快、和諧的課堂氛圍,積極鼓勵學(xué)生參與活動,使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂,培養(yǎng)學(xué)生主動探索數(shù)學(xué)知識的積極態(tài)度.【教學(xué)重點】找出命題的條件（題設(shè)）和結(jié)論.【教學(xué)難點】命題概念的理解.一、情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知父子對話子：爸爸，什么是法律？父：法律就是法國的律師.子：那什么是法盲呢？父：法盲就是法國的盲人.（學(xué)生聽后，大笑）同學(xué)們?yōu)槭裁葱δ?？［生］父子倆對概念理解不清.［師］同學(xué)們說得都很好，由于父子倆對法律、法盲的定義不理解，因而鬧出了笑話，所以對某些特殊名稱或術(shù)語，我們需要給出它們的定義.這節(jié)課我們就要共同來研究“定義與命題”.【教學(xué)說明】巧設(shè)現(xiàn)實情境，引入新課.二、思考探究，獲取新知1.我們學(xué)習(xí)了許多有關(guān)三角形的概念，你能列舉出一些與三角形有關(guān)的概念嗎？【歸納結(jié)論】對一個概念的含義加以描述說明或作出明確規(guī)定的語句叫作這個概念的定義.如“把數(shù)與表示數(shù)的字母用運算符號連接而成的式子叫作代數(shù)式”是代數(shù)式的定義.【教學(xué)說明】教給學(xué)生獲取知識的方法和途徑,讓學(xué)生的學(xué)習(xí)可持續(xù)發(fā)展.2.說一說“方程”、“三角形的角平分線”的定義.3.下列敘述事情的語句中，哪些對事情作出了判斷？（1）三角形的內(nèi)角和等于180°；（2）如果|a|=3，那么a=3;（3）1月份有31天；（4）作一條線段等于已知線段；（5）一個銳角與鈍角互補嗎？【歸納結(jié)論】一般地，對某一件事情作出判斷的語句（陳述句）叫作命題.4.觀察：下列命題的表述形式有什么共同點？（1）如果a=b,且b=c,那么a=c;（2）如果兩個角的和等于90°，那么這兩個角互為余角.在數(shù)學(xué)中，許多命題是由題設(shè)（或已知條件）、結(jié)論兩部分組成的.題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項，這樣的命題?？蓪懗伞叭绻?，那么……”的形式.用“如果”開始的部分就是題設(shè)，而用“那么”開始的部分就是結(jié)論.5.做一做,指出下列命題的條件與結(jié)論，并改寫成“如果…，那么…”的形式：①能被2整除的數(shù)是偶數(shù).②有公共頂點的兩個角是對頂角.③兩直線平行，同位角相等.④同位角相等，兩直線平行.上述命題③與④的條件與結(jié)論之間有什么關(guān)系？【歸納結(jié)論】對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，我們把這樣的兩個命題稱為互逆命題，其中一個叫作原命題，另一個叫作逆命題.【教學(xué)說明】學(xué)生感受命題中條件和結(jié)論的存在.使學(xué)生心中的命題結(jié)構(gòu)化.為后面的題設(shè)、結(jié)論的認(rèn)識、區(qū)分,更為命題的改寫作鋪墊.三、運用新知，深化理解1.下列句子中，哪些是命題？哪些不是命題？（1）對頂角相等；（2）畫一個角等于已知角；（3）兩直線平行，同位角相等；（4）a、b兩條直線平行嗎？（5）高個的李明明;（6）玫瑰花是動物;（7）若a2＝4，求a的值;（8）若a2＝b2，則a＝b.2.下列語句中，哪些是命題?哪些不是命題?(1)若a<b，則-b<-a；(2)三角形的三條高交于一點；(3)在ΔABC中，若AB>AC，則∠C>∠B嗎?(4)兩點之間線段最短；(5)解方程x2-2x-3=0；(6)1＋2≠3.3.指出下列命題的條件和結(jié)論，并改寫成“如果……那么……”的形式：（1）三條邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等；解：條件是：兩個三角形的三條邊對應(yīng)相等；結(jié)論是：這兩個三角形全等.改寫成：如果兩個三角形有三條邊對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等.（2）在同一個三角形中，等角對等邊；解：條件是：同一個三角形中的兩個角相等；結(jié)論是：這兩個角所對的兩條邊相等.改寫成：如果在同一個三角形中，有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等.（3）對頂角相等.解：條件是：兩個角是對頂角；結(jié)論是：這兩個角相等.改寫成：如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等.(4)同角的余角相等；解：條件是：兩個角是同一個角的余角；結(jié)論是：這兩個角相等.改寫成：如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等.(5)三角形的內(nèi)角和等于180°；解：條件是：三個角是一個三角形的三個內(nèi)角；結(jié)論是：這三個角的和等于180°.改寫成：如果三個角是一個三角形的三個內(nèi)角，那么這三個角的和等于180°.(6)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等．解：條件是：一個點在一個角的平分線上；結(jié)論是：這個點到這個角的兩邊距離相等.改寫成：如果一個點在一個角的平分線上，那么這個點到這個角的兩邊距離相等.4.寫出下列命題的逆命題.（1）直角三角形兩個銳角互余.（2）兩條邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等.【教學(xué)說明】鞏固所學(xué)知識，培養(yǎng)學(xué)生獨立思考的習(xí)慣.四、師生互動，課堂小結(jié)先小組內(nèi)交流收獲和感想而后以小組為單位派代表進(jìn)行總結(jié).教師作以補充.布置作業(yè):教材P52“練習(xí)”.在教學(xué)中，學(xué)生對定義與命題的把握還是比較清楚的.大部分學(xué)生可以口頭完成導(dǎo)學(xué)案設(shè)計的題目.能夠迅速地把一個命題轉(zhuǎn)化成“如果……那么……”的形式.利用疑問句和祈使句的特點,判定二者不是命題的語句.學(xué)生的掌握情況還是比較可觀的.第2課時真命題、假命題與定理1.了解命題、公理、定理的含義；理解證明的必要性.2.通過對真假命題的判斷，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)方法.3.初步感受公理化方法對數(shù)學(xué)發(fā)展和人類文明的價值.【教學(xué)重點】判斷一個命題的真假.【教學(xué)難點】正確認(rèn)識公理、定理、命題（真命題）和定義的區(qū)別.一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)說新課將“等角的余角相等”改寫成“如果……，那么……”的形式，并寫出它的逆命題.【教學(xué)說明】復(fù)習(xí)上節(jié)課的內(nèi)容，為本節(jié)課的教學(xué)作準(zhǔn)備.二、思考探究，獲取新知1.議一議：下列命題中，哪些正確？哪些錯誤？并說明理由.（1）每一個月都有31天；（2）如果a是有理數(shù)，那么a是整數(shù)；（3）同位角相等；（4）同角的補角相等.【歸納結(jié)論】我們把正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題.要判斷一個命題是真命題，常常要從命題的條件出發(fā)，通過講道理，得出其結(jié)論成立，從而判斷這個命題為真命題，這個過程叫證明.要判斷一個命題是假命題，只需要舉出一個反例，它符合命題的條件，但不滿足命題的結(jié)論，從而就可判斷這個命題為假命題.我們把這種方法稱為“舉反例”.2.以學(xué)生同桌為單位進(jìn)行操練，一人負(fù)責(zé)說命題，然后另一個人來回答是真命題還是假命題，并要有適當(dāng)?shù)睦碛?，然后反過來.【教學(xué)說明】當(dāng)遇到有不能解決的問題，或產(chǎn)生爭論的時候，可以請老師裁決.3.說一說:判斷下列命題為真命題的依據(jù)是什么？（1）如果a是整數(shù)，那么a是有理數(shù).（2）如果△ABC是等邊三角形，那么△ABC是等腰三角形.【歸納結(jié)論】人類經(jīng)過長期實踐后公認(rèn)為正確的命題，作為判斷其他命題的依據(jù).這樣公認(rèn)為正確的命題叫做公理.我們把經(jīng)過證明為真的命題叫做定理.定理也可以作為判斷其他命題真假的依據(jù).由某些定理直接得出的真命題叫作這個定理的推論.4.“如果∠1和∠2是對頂角，那么∠1=∠2”是真命題嗎？它的逆命題是什么？其逆命題是真命題嗎？【歸納結(jié)論】如果一個定理的逆命題能被證明是真命題，那么就叫它是原命題的逆定理，這兩個定理叫作互逆定理.5.你能舉出一對互逆定理嗎？【教學(xué)說明】學(xué)生小組合作交流、回答.三、練習(xí)反饋，鞏固提高1.下列的命題中，哪些是真命題?哪些是假命題?請說明理由：(1)對頂角相等；(2)在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；(3)三條直線兩兩相交，必有三個交點；(4)若兩個三角形的兩邊及其夾角對應(yīng)相等，則這兩個三角形全等；(5)“-a”是負(fù)數(shù).解：略.2.“兩點之間，線段最短”這個語句是（A）A.定理B.公理C.定義D.只是命題3.“同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線”這個語句是（C）A.定理B.公理C.定義D.只是命題4.下列命題中，屬于定義的是（D）A.兩點確定一條直線B.同角的余角相等C.兩直線平行，內(nèi)錯角相等D.點到直線的距離是該點到這條直線的垂線段的長度5.下列句子中，是定理的是（E），是公理的是（B），是定義的是（D）.A.若a=b，b=c，則a=c；B.對頂角相等；C.全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等；D.有一組鄰邊相等的平行四邊形叫作菱形；E.兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等.6.下面命題中：（1）旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小.（2）軸反射不改變圖形的形狀和大小.（3）連接兩點的所有線中，線段最短.（4）三角形的內(nèi)角和等于180°.屬于公理的有（C）A.1個B.2個C.3個D.4個7.下面關(guān)于公理和定理的聯(lián)系說法不正確的是（B）A.公理和定理都是真命題.B.公理就是定理，定理也是公理.C.公理和定理都可以作為推理論證的依據(jù).D.公理的正確性不需證明，定理的正確性需證明.8.仔細(xì)觀察下面推理，填寫每一步用到的公理或定理.如圖：在平行四邊形ABCD中，CE⊥AB，E為垂足，如果∠A=125°，求∠BCE.解：∵四邊形ABCD是平行四邊形(已知)∴AD∥BC（）∵∠A=125°（已知）∴∠B=180°-125°=55°（）∵△BEC是直角三角形（已知）∴∠BCE=90°-55°=35°()答案：平行四邊形對邊平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；直角三角形兩銳角互余.【教學(xué)說明】學(xué)生嘗試解題，師生共同評價，鞏固所學(xué)知識.四、師生互動，課堂小結(jié)先小組內(nèi)交流收獲和感想而后以小組為單位派代表進(jìn)行總結(jié).教師作以補充.布置作業(yè):教材P55“練習(xí)”.新課程的教學(xué)告訴我們，在學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，要對學(xué)生進(jìn)行合理的評價，這就是要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的水平，更要關(guān)注它們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中所表現(xiàn)出來的情感與態(tài)度，幫助學(xué)生認(rèn)識自我，建立信心.第3課時證明與反證法1.了解證明的含義.2.通過證明步驟中由命題畫出圖形，寫出已知、求證的過程，繼續(xù)訓(xùn)練學(xué)生由幾何語句正確畫出幾何圖形的能力.3.讓學(xué)生體驗從實驗幾何向推理幾何的過渡.【教學(xué)重點】證明的含義和表述格式.【教學(xué)難點】如何構(gòu)造一個反例去證明一個命題是錯誤的.一、情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知1.一般地，判斷一件事情正確或不正確的句子叫做命題，命題分為真命題與假命題.2.說明一個命題是假命題，通常只用找出一個反例，但要說明一個命題是真命題，就必須用推理的方法，而不能光憑一個例子.3.判斷下列命題的真假（1）有一個角是45°的直角三角形是等腰直角三角形.（真命題）（2）素數(shù)不可能是偶數(shù).（假命題）（3）黃皮膚和黑皮膚的人都是中國人.（假命題）（4）有兩個外角(不同頂點)是鈍角的三角形是銳角三角形.（假命題）（5）若y(1-y)=0，則y=0.（假命題）【教學(xué)說明】復(fù)習(xí)上節(jié)課的內(nèi)容，為本節(jié)課的教學(xué)作準(zhǔn)備.二、思考探究，獲取新知1.做一做：采用剪拼或度量的方法，猜測“三角形的外角和”等于多少度.此時，猜測出的命題僅僅是一種猜想，未必都是真命題，要確定這個命題是真命題，還需要通過推理的方法加以證明.【教學(xué)說明】在實驗幾何中，常讓學(xué)生通過觀察、實驗和歸納得出結(jié)論.增加學(xué)生的感官感受.使學(xué)生感受到憑實驗、觀察和歸納得出的結(jié)論不一定正確，使學(xué)生感受到直觀是重要的，但有時也會欺騙人，這時就需要通過邏輯推理來判斷，從而讓學(xué)生理解證明的必要性.2.證明命題“三角形的外角和等于360°”是真命題.已知：如圖，∠BAF,∠CBD,∠ACE分別是△ABC的三個外角.求證：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°證明：由題意得，在△ABC中∠1+∠2+∠3＝180°∵∠BAF+∠1=180°∠CBD+∠2=180°∠ACE+∠3=180°故∠BAF+∠CBD+∠ACE+∠1+∠2+∠3=180°+180°+180°＝540°則∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°【教學(xué)說明】引導(dǎo)學(xué)生寫出證明過程.【歸納結(jié)論】證明與圖形有關(guān)的命題時，一般有以下步驟：①畫出圖形；②寫出已知、求證；③寫出證明的過程.3.已知：∠A,∠B,∠C是△ABC的內(nèi)角.求證：∠A,∠B,∠C中至少有一個角大于或等于60°.分析：這個命題的結(jié)論是“至少有一個”，也就是說出現(xiàn)“有一個”、“有兩個”、“有三個”這三種情況，如果直接證明，比較困難，因此，我們將從另外一個角度來證明.證明：假設(shè)∠A,∠B,∠C中沒有一個角大于或等于60°.則∠A+∠B+∠C<180°這與“三角形的內(nèi)角和等于180°”矛盾，所以假設(shè)不正確.因此，∠A,∠B,∠C中至少有一個角大于或等于60°.【歸納結(jié)論】先假設(shè)命題不成立，然后利用命題的條件或結(jié)論，通過推理導(dǎo)出矛盾，從而得出假設(shè)不成立，即所證明的命題正確，這種證明方法稱為反證法.三、運用新知，深化理解1.教材P57例1.2.如圖，BC⊥AC于點C，CD⊥AB于點D，E是AC延長線上一點，連接BE，∠EBC=∠A，求證：BE∥CD證明：∵BC⊥AC(已知)∴∠ACD+∠BCD=90°(垂直的定義)∵CD⊥AB(已知)∴∠A+∠ACD=90°（直角三角形的兩銳角和為90°）∴∠A=∠BCD（同角的余角相等）又∵∠EBC=∠A（已知）∴∠EBC=∠BCD∴BE∥CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）3.已知如圖，在△ABC中，CH是外角∠ACD的角平分線，BH是∠ABC的角平分線,∠A=58°.求∠H的度數(shù).解：∵∠A=58°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-58°=122°…①，∵BH是∠ABC的角平分線，∴∠HBC=12∠ABC，∵∠ACD是△ABC的外角，CH是外角∠ACD的角平分線，∴∠ACH=12（∠A+∠ABC），∴∠BCH=∠ACB+∠ACH=∠ACB+12（∠A+∠ABC），∵∠H+∠HBC+∠ACB+∠ACH=180°，∴∠H+12∠ABC+∠ACB+12（∠A+∠ABC）=180°，即∠H+（∠ABC+∠ACB）+12∠A=180°…②，把①代入②得，∠H+122°+12×58°=180°，∴∠H=29°.4.已知：三條直線a、b、c，其中a∥b，b∥c，求證：a∥c.解：假設(shè)a與c不