《復(fù)習(xí)題》教學(xué)設(shè)計(jì)(江西省市級(jí)優(yōu)課)x-八年級(jí)數(shù)學(xué)教案

共頂點(diǎn)雙等腰三角形模型再探【活動(dòng)一】模型認(rèn)識(shí)：（2017·九江八下期末）如圖1是共頂點(diǎn)雙等腰三角形模型。已知AB=AC,AB'=AC',∠BAC=∠B'AC'.研究此圖形可以發(fā)現(xiàn)一些有趣的結(jié)論。（1）如圖2，連接BB',CC'，CC'交AB于E，延長(zhǎng)CC'交BB'于點(diǎn)D，求證：∠BDC=∠BAC;

聯(lián)系與運(yùn)用：（2）如圖3，△ABC與△ABC'均為等邊三角形，點(diǎn)C‘在△ABC內(nèi)，連接BB',CC',BC'，設(shè)∠BC'C=y，∠B'BC'=x，求y與x滿足的關(guān)系式；（3）如圖4，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°且∠ADB=45°，BD=4，CD=√41，求AD的長(zhǎng)?！窘馕觥浚?）首先共頂點(diǎn)雙等腰模型的本質(zhì)就是旋轉(zhuǎn)式全等三角形，其次這種模型中經(jīng)常隱藏著一些“8字型”，這些“8字型”是推導(dǎo)相等角的重要模型，例如共頂點(diǎn)雙等腰模型中常用“8字型”證兩線垂直；共頂點(diǎn)雙等邊模型中常用“8字型”證兩線夾角為60°等。所以請(qǐng)同學(xué)們務(wù)必重視如下圖紅色粗線所示的“8字型”，也是我們今后初三常見(jiàn)的”相似模型“。如圖，易知△ABB'≌△ACC'，∴∠ABD=∠ACE∵∠BDC+∠ABD+∠DEB=180°

∠BAC+∠ACE+∠AEC=180°又∵∠DEB=∠AEC∴∠BDC=∠BAC（2）方法一：根據(jù)（1）的提示，延長(zhǎng)CC',交BB'于點(diǎn)E，構(gòu)造如下圖紅色線所示的”8字型“，易得∠BEC=∠BAC=60°，再由三角形的外角定理得y=x+60°.（2）方法二：∵∠1+∠2=180°-y又∵∠ABC'+∠1+∠∠ACC'+∠2=60°+60°=120°∴∠ABC'+∠ACC'=120°-（180°-y）=y-60°∵△ABB'≌△ACC'∴∠ABB'=∠ACC'∴∠ABC'+∠ABB'=y-60°

即x=y-60°∴y=x+60°（2）方法三：延長(zhǎng)AC'，∵∠1+∠2=∠BC'E

∠3+∠4=∠CC'E∴∠1+∠4+60°=y又∵∠4=∠ABB'∴∠1+∠ABB'+60°=y∴y=x+60°（3）方法一：作EA⊥AD，交DB的延長(zhǎng)線于E，連接CE。（構(gòu)造共等頂點(diǎn)雙等腰直角模型）易知△ADB≌△AEC∴∠ADB=∠AEC=45°又∵∠DAE=90°∴∠AED=90°-45°=45°∴∠DEC=45°+45°=90°∵BD=EC=4,CD=√41∴由勾股理得DE=5∴DA=5÷√2=2.5√2（3）方法二：作D'A⊥DAA，且D'A=DA。（構(gòu)造共頂點(diǎn)雙等腰直角模型）

易知△ADC≌△AD'B

∴CD=BD’=√41

又∵∠ADB=45°，∠ADD'=45°

∴∠BDD'=90°【方法提煉】1、共頂點(diǎn)雙等腰有兩種特殊的模型，即共頂點(diǎn)雙等邊，共頂點(diǎn)雙等腰直角（共頂點(diǎn)雙正方形亦屬此類(lèi)型）。這些模型都是由三角形旋轉(zhuǎn)而得，前者是旋轉(zhuǎn)60°，后者旋轉(zhuǎn)90°。2、有趣的是旋轉(zhuǎn)模型中往往”寄生“了另一種數(shù)學(xué)小模型，即”8字型“，”8字型“是導(dǎo)角相等或?qū)Ь€垂直的重要方法，也是相似三角形的基本模型。正所謂：兩個(gè)等腰共頂點(diǎn)，全等圖形特明顯！若是找找八字型，九成會(huì)有新發(fā)現(xiàn)！【活動(dòng)二】模型變化（2014?本溪）如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不動(dòng)，△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接BE、CD，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)，連接AF．（1）如圖①，當(dāng)∠BAE=90°時(shí)，求證：CD=2AF；（2）當(dāng)∠BAE≠90°時(shí)，（1）的結(jié)論是否成立？請(qǐng)結(jié)合圖②說(shuō)明理由．解答：（1）證明：如圖①，∵∠BAC+∠EAD=180°，∠BAE=90°，∴∠DAC=90°，在△ABE與△ACD中∴△ABE≌△ACD（SAS），∴CD=BE，∵在RT△ABE中，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)，∴BE=2AF，∴CD=2AF．（2）成立，證明：如圖②，延長(zhǎng)EA交BC于G，在AG上截取AH=AD，∵∠BAC+∠EAD=180°，∴∠EAB+∠DAC=180°，∵∠EAB+∠BAH=180°，在△ABH與△ACD中∴△ABH≌△ACD（SAS）∴BH=DC，∵AD=AE，AH=AD，∴AE=AH，∵EF=FB，∴BH=2AF，∴CD=2AF．【活動(dòng)三】模型重建（2017?江西）我們定義：如圖1，在△ABC中，把AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<180°）得到AB′，把AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β得到AC′，連接B′C′．當(dāng)α+β=180°時(shí)，我們稱(chēng)△AB′C′是△ABC的“旋補(bǔ)三角形”，△AB′C′邊B′C′上的中線AD叫做△ABC的“旋補(bǔ)中線”，點(diǎn)A叫做“旋補(bǔ)中心”．特例感知（1）在圖2，圖3中，△AB′C′是△ABC的“旋補(bǔ)三角形”，AD是△ABC的“旋補(bǔ)中線”.①如圖2，當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，AD與BC的數(shù)量關(guān)系為AD=______BC;②如圖3，當(dāng)∠BAC=90°，BC=8時(shí)，則AD長(zhǎng)為_(kāi)______．猜想論證（2）在圖1中，當(dāng)△ABC為任意三角形時(shí)，猜想AD與BC的數(shù)量關(guān)系，并給予證明.拓展應(yīng)用（3）如圖4，在四邊形ABCD中，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD=，DA=6．在四邊形內(nèi)部是否存在點(diǎn)P，使△PDC是△PAB的“旋補(bǔ)三角形”？若存在，給予證明，并求△PAB的“旋補(bǔ)中線”長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．23.解：（1）①．②4．(2)猜想：AD=．證法一證明：如圖1，延長(zhǎng)AD至E，使DE=AD．∵AD是△ABC的“旋補(bǔ)中線”，∴B′D=C′D．∴四邊形AB′EC′是平行四邊形．∴EC′∥B′A，EC′=B′A．∴∠AC′E+∠B′AC′=180°．由定義可知∠B′AC′+∠BAC=180°，B′A=BA，AC=AC′，∴∠AC′E=∠BAC，EC′=BA．∴△AC′E≌△CAB．∴AE=BC．∵AD=AE，∴AD=BC．證法二證明：如圖2，延長(zhǎng)B′A至F，使AF=B′A,連接C′F．∴∠B′AC′+∠C′AF=180°．由定義可知∠B′AC′+∠BAC=180°，B′A=BA，AC=AC′，∴∠CAB=∠C′AF，AB=AF．∴△ABC≌△AFC′．∴BC=FC′．∵B′D=C′D，B′A=AF，∴AD=FC′．∴AD=BC．證法三證明：如圖3，將△AB′C′繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠C′AC的度數(shù)，得到△AEC，此時(shí)AC′與AC重合，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D′，連接AD′．由定義可知∠B′AC′+∠BAC=180°．由旋轉(zhuǎn)得∠B′AC′=∠EAC，∴∠BAC+∠EAC=180°．∴E、A、B三點(diǎn)在同一直線上．∵AB=AB′=AE，ED′=D′C，∴AD′是△EBC的中位線．∴AD′=BC．即AD=BC．（注：其他解法酌情給分）(3)存在．如圖4，以AD為邊向四邊形ABCD的內(nèi)部作等邊△PAD，連接PB，PC，延長(zhǎng)BP交AD于點(diǎn)F，則有∠ADP=∠APD=60°，PA=PD=AD=6．∵∠CDA=150°，∴∠CDP=90°．過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E，易知四邊形PDCE為矩形．∴CE=PD=6．∴tan∠1=．∴∠1=30°，∠2=60°∴BE=12-6=6=CE.又PE⊥BC，∴PC=PB，∠3=∠2=60°.∴∠APD+∠BPC=60°+120°=180°.又PA=PD，PB=PC，∴△PDC是△PAB的“旋補(bǔ)三角形”．∵∠3=60°，∠DPE=90°，∴∠DPF=30°．∴BF⊥AD，AF==3，PF=．在Rt△PBE中，PB===．∴BF=PB+PF=．在Rt△ABF中，AB=．由上證得：△PDC是△PAB的“旋補(bǔ)三角形”．∴△PAB的“旋補(bǔ)中線”長(zhǎng)為．求解“旋補(bǔ)中線”補(bǔ)充解法如圖5，分別延長(zhǎng)AD、BC相交于點(diǎn)G，∵∠ADC=150°，∠BCD=90°，∴∠GDC=30°，∠GCD=90°．∴在Rt△GDC中，GD==4．∴GC==2．∴GA=6+4=10，GB=2+12=14．作AH⊥GB交GB于點(diǎn)H，在Rt△GAH中，∴AH=GAsin60°=10×，GH=×AG=5．∴HB=GB-GH=14-5=9．∴AB=．由上證得：△PDC是△PAB的“旋補(bǔ)三角形”．∴△PAB的“旋補(bǔ)中線”長(zhǎng)為．【活動(dòng)四】（2017?江西改編）模型再探模型歸納如圖1，?ABC中，D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，現(xiàn)將?ADC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖2，得到?ADF，我們把線段DE稱(chēng)為?DBC的旋補(bǔ)中線．可知在圖2中始終有如下等