第五屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)精英邀請賽試卷（小高組筆試二）

第1頁（共1頁）第五屆兩岸四地“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)精英邀請賽試卷（小高組筆試二）一、填空題（每題20分，共60分）1．（20分）甲參加鐵人三項比賽，先是游泳1.5千米，接著騎自行車40千米，最后跑10千米．甲的跑步速度是游泳速度的5倍，騎車速度是跑步速度的2.5倍，甲的游泳和跑步的總時間比騎車的時間多6分鐘，那么甲完成整個比賽的時間為分鐘．2．（20分）如圖，圓圈上有7個點，每個點處放有一個盒子，每個盒子里裝有棋子的數(shù)目見該點處的數(shù)字．老師讓7名小朋友分別站在盒子旁做傳棋子游戲：小朋友們同時將自己面前的盒子里的一半棋子放到逆時針相鄰的盒子里，然后老師向只有奇數(shù)枚棋子的盒子里放一枚棋子．重復(fù)上述傳遞方式20次后，老師共向所有的盒子里放了枚棋子．3．（20分）十個畢業(yè)班級都向低年級同學(xué)捐獻了圖書，其中任意六個班所捐獻的冊數(shù)之和都不少于總捐獻冊數(shù)50%．那么捐獻冊數(shù)最多的班級所捐獻冊數(shù)占總冊數(shù)的最大百分比是．二、解答題（每題20分，共60分）4．（20分）如圖是手機上設(shè)置“手勢密碼”的圖片，在2×2方格中有9個格點．“手勢密碼”是以某個格點為起點，用線段依次連接若干格點．每次連接的線段中間不能有未被用過的格點并且線段的兩個端點不能都是已用的格點．若一個人的手勢密碼以中心的格點為起點且只用了三個格點，則有多少種連接方式？5．（20分）兩個相同的長方形紙片，每塊面積為48平方厘米．如圖所示疊放在一起蓋住的面積為72平方厘米．已知重疊部分的四邊形ABCD的一條對角線BD為6厘米，則每張長方形紙片的長是多少厘米？6．（20分）將分別寫有數(shù)1至23的23張卡片分成三堆，已知三堆卡片上的數(shù)的平均數(shù)分別是13、4、17，問：平均數(shù)為13的那堆至少有幾張卡片？

第五屆兩岸四地“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)精英邀請賽試卷（小高組筆試二）參考答案與試題解析一、填空題（每題20分，共60分）1．（20分）甲參加鐵人三項比賽，先是游泳1.5千米，接著騎自行車40千米，最后跑10千米．甲的跑步速度是游泳速度的5倍，騎車速度是跑步速度的2.5倍，甲的游泳和跑步的總時間比騎車的時間多6分鐘，那么甲完成整個比賽的時間為134分鐘．【分析】根據(jù)題意可設(shè)游泳的速度為每分鐘x千米，跑步的速度是每分鐘5x千米，騎車的速度是每分鐘2.5×5x千米，根據(jù)游泳的時間+跑步的時間﹣騎車的時間＝6，據(jù)此可列方程進行解答．【解答】解：設(shè)游泳的速度為每分鐘x千米，跑步的速度是每分鐘5x千米，騎車的速度是每分鐘2.5×5x千米+﹣＝6＝61.5+2﹣3.2＝6x0.3＝6xx＝0.055x＝5×0.05＝0.252.5×5x＝2.5×5×0.05＝0.625（1.5÷0.05）+（10÷0.25）+（40÷0.625）＝30+40+64＝134（分鐘）答：整個比賽的時間為134分鐘．故答案為：134．2．（20分）如圖，圓圈上有7個點，每個點處放有一個盒子，每個盒子里裝有棋子的數(shù)目見該點處的數(shù)字．老師讓7名小朋友分別站在盒子旁做傳棋子游戲：小朋友們同時將自己面前的盒子里的一半棋子放到逆時針相鄰的盒子里，然后老師向只有奇數(shù)枚棋子的盒子里放一枚棋子．重復(fù)上述傳遞方式20次后，老師共向所有的盒子里放了42枚棋子．【分析】按題設(shè)要求進行操作，找出其規(guī)律，這樣往往是周期現(xiàn)象問題．【解答】解：每次傳遞后盒子里棋子數(shù)目變化如下：原來棋子數(shù)：2，4，6，8，10，12，14（逆時針方向排列）第1次：8，3，7，7，9，11，13，放6枚后：8，4，8，8，10，12，14第2次操作后：12，6，6，8，10，12，14，放了6枚；第3次操作后：14，10，6，8，10，12，14，放了6枚；第4次操作后：14，12，8，8，10，12，14，放了4枚；第5次操作后：14，11，10，8，10，12，14，放了4枚；第6次操作后：14，14，12，10，10，12，14，放了4枚；第7次操作后：14，14，14，12，10，12，14，放了4枚；第8次操作后：14，14，14，14，12，12，14，放了4枚；第9次操作后：14，14，14，14，11，12，14，放了2枚；第10次操作后：14，14，14，14，14，14，14，放了2枚；第11次操作后：14，14，14，14，14，14，14，放O枚；以后不論進行多少次，每盒棋子數(shù)不變，也不用放棋子，共計放入3×6+5×4+2×2＝42（枚）．答案：42枚．3．（20分）十個畢業(yè)班級都向低年級同學(xué)捐獻了圖書，其中任意六個班所捐獻的冊數(shù)之和都不少于總捐獻冊數(shù)50%．那么捐獻冊數(shù)最多的班級所捐獻冊數(shù)占總冊數(shù)的最大百分比是25%．【分析】按題意，可以設(shè)甲為捐獻冊數(shù)最多的班級，x%是其所捐獻冊數(shù)占總數(shù)的百分比，其余的9個班按3個班級一組分為A、B和C三組，可以利用所捐獻冊數(shù)之和不少于50%，可解得x的取值范圍，取的最大值即是所求的最大百分比．【解答】解：根據(jù)分析，設(shè)甲為捐獻冊數(shù)最多的班級，x%是其所捐獻冊數(shù)占總數(shù)的百分比，其余的9個班按3個班級一組分為A、B和C三組，設(shè)他們所捐獻冊數(shù)占總數(shù)百分比為a%，b%和c%．則：2（100﹣x）＝2（a+b+c）＝（a+b）+（b+c）+（c+a）≥50+50+50，解得：x≤25．∴捐獻冊數(shù)最多的班級所捐獻冊數(shù)占總數(shù)的最大百分比不能超過25%，當(dāng)9個班級每一個捐書冊數(shù)占總數(shù)的%＝%時，則他們中任意6個所捐獻冊數(shù)之和恰好為總數(shù)的50%，而甲的恰好為25%．故答案是：25%．二、解答題（每題20分，共60分）4．（20分）如圖是手機上設(shè)置“手勢密碼”的圖片，在2×2方格中有9個格點．“手勢密碼”是以某個格點為起點，用線段依次連接若干格點．每次連接的線段中間不能有未被用過的格點并且線段的兩個端點不能都是已用的格點．若一個人的手勢密碼以中心的格點為起點且只用了三個格點，則有多少種連接方式？【分析】如右圖所示，9個格點分別用字母標(biāo)示，以O(shè)為起點，可以先用線段連接另外8個格點的任意一個，然后再連接第三個點，分兩類推理，利用分類計數(shù)原理可得結(jié)論．【解答】解：如右圖所示，9個格點分別用字母標(biāo)示，以O(shè)為起點，可以先用線段連接另外8個格點的任意一個，然后再連接第三個點．①第二個格點為A時，由題意，連接的第三個格點可以是B，D，E，F(xiàn)，H，所以有5種連接方式；類似地，第二個格點為C，E，G時各有5種連接方式；②第二個格點為B時，連接的第三個格點可以是O和B以外的其它7個格點，所以有7種連接方式；類似地，第二個格點為D，F(xiàn)，H時，各有7種連接方式，因此滿足條件的連接方式共有4×（5+7）＝48種．故答案為：48．5．（20分）兩個相同的長方形紙片，每塊面積為48平方厘米．如圖所示疊放在一起蓋住的面積為72平方厘米．已知重疊部分的四邊形ABCD的一條對角線BD為6厘米，則每張長方形紙片的長是多少厘米？【分析】易知ABCD是平行四邊形，其面積為48+48﹣72＝24平方厘米．又設(shè)長方形紙片的寬為h，則h也是平行四邊形的兩組平行線間的距離，所以AD×h＝?ABCD的面積＝DC×h，得AD＝DC，因此ABCD是菱形，菱形的對角線AC與BD互相垂直于O，所以AC×6÷2＝24，因此AC＝8．在直角三角形COD中，OD＝3厘米，OC＝4厘米，所以DC＝5厘米．因此5×h＝24，所以，h＝4.8厘米．由于長方形的面積為48平方厘米，所以長方形的長為10厘米．【解答】解：平行四邊形ABCD的面積是：48+48﹣72＝24平方（厘米）．又設(shè)長方形紙片的寬為h，則h也是平行四邊形的兩組平行線間的距離，所以AD×h＝?ABCD的面積＝DC×h，得AD＝DC，因此ABCD是菱形，菱形的對角線AC與BD互相垂直于O，所以AC×6÷2＝24，因此AC＝8厘米．在直角三角形COD中，OD＝3厘米，OC＝4厘米，所以DC＝＝5（厘米）．因此5×h＝24，所以，h＝24÷5＝4.8（厘米）48÷4.8＝10（厘米）答：每張長方形紙片的長是10厘米．6．（20分）將分別寫有數(shù)1至23的23張卡片分成三堆，已知三堆卡片上的數(shù)的平均數(shù)分別是13、4、17，問：平均數(shù)為13的那堆至少有幾張卡片？【分析】根據(jù)題意，設(shè)平均數(shù)是13、4、17的堆各有a、b、c張卡片，則：a+b+c＝23，13a+4b+17c＝1+2+3+…+23＝276，將c＝23﹣b﹣a代入13a+4b+17c＝276，可得：4a+13b＝115，據(jù)此求出平均數(shù)為13的那堆至少有幾張卡片即可．【解答】解：設(shè)平均數(shù)是13、4、17的堆各有a、b、c張卡片，則：a+b+c＝23