基于物驅(qū)抽油桿柱縱向振動仿真的非線性波動方程

基于物驅(qū)抽油桿柱縱向振動仿真的非線性波動方程

抽油桿柱載荷特性計算機模仿技術(shù)廣泛應(yīng)用于驅(qū)油機井的動態(tài)模擬和優(yōu)化設(shè)計中，在實際應(yīng)用中取得了顯著成效。抽油井動態(tài)參數(shù)計算機仿真技術(shù)的關(guān)鍵是建立抽油桿柱縱向振動與示功圖的仿真模型，目前廣泛應(yīng)用波動方程描述抽油桿柱的縱向振動。然而，對于聚合物驅(qū)抽油機井，油井產(chǎn)出液不再是牛頓流體，而是黏彈性非牛頓流體。油井產(chǎn)出液流變性的變化不僅影響桿柱液體粘滯阻力，而且也影響抽油桿柱的振動特性。目前對聚合物驅(qū)抽油機井桿柱的載荷特性及計算方法進行了大量研究，研究的重點及現(xiàn)狀概括為：(1)建立了桿管環(huán)空內(nèi)黏彈性流體本構(gòu)方程與動量方程以及抽油桿柱法向力的計算方法，研究了法向力對桿管偏磨的影響以及防偏磨措施的優(yōu)化設(shè)計，研究成果廣泛用于油田實際，取得了顯著效果；(2)考慮了含聚濃度對油井產(chǎn)出液視粘度的影響，但仍然應(yīng)用牛頓層流理論所建立的公式計算桿柱液體摩擦力，桿柱液體摩擦力的計算模型尚需完善；(3)在計算桿柱負(fù)荷時，主要考慮了桿柱所受的靜負(fù)荷、摩擦負(fù)荷、慣性負(fù)荷，未考慮振動負(fù)荷的影響，聚合物驅(qū)抽油機井桿柱縱向振動的研究尚屬空白。為此，本文擬在改進聚合物驅(qū)抽油機井桿柱液體粘滯阻力計算模型的基礎(chǔ)上，綜合考慮桿柱所受的靜負(fù)荷、摩擦負(fù)荷、慣性負(fù)荷和振動負(fù)荷，建立聚合物驅(qū)抽油機井桿柱縱向振動與示功圖的仿真模型。1環(huán)空速度分布優(yōu)化大量試驗表明，聚合物驅(qū)抽油機井產(chǎn)出液為非牛頓流體，其流變性符合冪律流規(guī)律，可以作為冪律流體進行研究。為便于研究，在建立桿柱液體摩擦力的計算模型時，作如下假設(shè)：(1)油管柱與抽油桿柱為剛體，不考慮其彈性變形；(2)油管柱靜止，抽油桿柱作勻速運動，運動速度為vr；(3)豎直油井；(4)抽油桿柱與油管同心；(5)環(huán)空內(nèi)為冪律流體，均相不可壓縮。冪律流體本構(gòu)方程為：動量守衡方程為：式中,f為流體在油套環(huán)空內(nèi)流動水力摩阻所產(chǎn)生的壓力梯度，Pa/m由式(1)和式(2)得環(huán)空冪律流動的徑向速度梯度為：式中,C為待定常量。當(dāng)抽油桿柱下行時，由于壓差流和脈動流的疊加，冪律流體環(huán)空流動的速度分布形式如圖1所示。圖中，Rr為抽油桿半徑，m;Rt為油管內(nèi)徑，m;Ro為環(huán)空冪律流體速度零處的半徑，m;Rm環(huán)空冪律流體速度最大處的半徑m。由于r=Rm時，dv/dr=0，所以式(3)中待定常數(shù)C=-Rm22，故式(3)簡化為：則冪律流體的環(huán)空速度分布規(guī)律為：上式滿足邊界條件，即：由圖1，速度零點Ro(Rr≤Ro≤Rm)處可得如下方程：當(dāng)抽油桿柱向下運動時，從環(huán)形空間被排出的液體體積流量與桿柱下行所排出的液體體積流量相等，即式(6)、(7)、(8)是關(guān)于參數(shù)Ro、Rm、f的非線性代數(shù)方程組。為使上述非線性代數(shù)方程組的解具有實際物理意義，還應(yīng)滿足條件，即：式(6)、(7)、(8)、(9)是關(guān)于參數(shù)Ro、Rm、f的非線性代數(shù)方程組，無法直接得到解析解，應(yīng)用拉格朗日乘子法求其最優(yōu)解。令=[x1x2x3]=[RoRmf]，由式(6)得拉格朗日乘子法目標(biāo)函數(shù)為：不等式約束條件：由式(6)、(7)、(8)可得如下等式約束條件：通過上述優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，可以求得參數(shù)Ro、Rm和f，將Ro、Rm和f代入式(5)，可以求得環(huán)空內(nèi)冪律流體的速度分布規(guī)律，進而可以建立單位長度桿柱液體摩擦力的計算公式：將上式整理可得：式中，λ為流體對桿柱的阻力系數(shù)，(N/m)(s/m)n。阻力系數(shù)只和抽油桿柱結(jié)構(gòu)參數(shù)、油管柱結(jié)構(gòu)參數(shù)、冪律流流變參數(shù)有關(guān)，由下式計算：2油擠出方程法的垂直振動模型2.1縱向振動的數(shù)學(xué)模型對于聚合物驅(qū)抽油機井，由于抽油桿柱一般是采用全井扶正，因此可以假設(shè)抽油桿柱與油管同心，即抽油桿柱的法向力為零。對于鉛垂直井，用抽油桿柱軸向坐標(biāo)x表示抽油桿柱上任意橫截面的位置，用u(x,t)表示抽油桿柱x處橫截面在時刻t的位移，描述抽油桿柱縱向振動的數(shù)學(xué)模型為：式中,c為聲波在抽油桿中的傳播速度,m/s;Er為抽油桿材料彈性模量，N/m2；ρr為抽油桿材料密度，kg/m3;Ar為抽油桿的橫截面積，m2；υ為抽油桿柱縱向振動的阻尼系數(shù)，ν=λ/(ρrAr)，1/s;u*為懸點運動位移，m;Pp(t)為作用于抽油泵柱塞上的液體負(fù)荷，N在式(21)中，懸點位移u*(t)、泵負(fù)荷時間函數(shù)PP(t)的具體模擬方法見文獻。和水驅(qū)抽油機井桿柱縱向振動的仿真模型比較，式(21)中的液體摩擦力項含有速度的冪律指數(shù)，為非線性偏微分方程。為區(qū)別于水驅(qū)抽油桿柱縱向振動的波動方程，本文將其稱為非線性波動方程。2.2抽油桿柱上節(jié)點的位移將抽油桿柱沿軸線離散成I個單元。各單元具有相同的步長?x；將時間t離散成步長為?t的J+1個節(jié)點，ui,j表示抽油桿柱上的節(jié)點i在時刻j的位移。根據(jù)牛頓差分公式可得式(21)中第一式非線性波動方程的差分形式：式中i=1,2，…，I-1;j=2,3，…，J-1懸點運動邊界條件的差分形式、井下載荷邊界條件的差分形式以及初始條件的處理見參考文獻，本文不再贅述。式(22)是關(guān)于ui,j的非線性超越代數(shù)方程，無法求得解析解，本文采用迭代法求其數(shù)值解。3等效阻尼系數(shù)的確定當(dāng)用式(22)求抽油桿柱的位移ui,j時，由于需要進行大量的超越代數(shù)方程的迭代求根計算，嚴(yán)重降低了仿真速度，仿真計算耗時較長。為此，進一步探索將非線性波動方程簡化為常規(guī)線性波動方程的可行性，即假設(shè)式(21)中的n=1，則將非線性波動方程(21)簡化成了為常規(guī)波動方程。根據(jù)簡化前后液體摩擦功不變的原則，由下式計算常規(guī)波動方程中的等效阻尼系數(shù)υe:式中，T為為懸點運動的周期，s式(23)中，是待求量，為此在計算等效阻尼系數(shù)時，首先不考慮抽油桿柱的彈性變形，即認(rèn)為抽油桿柱各截面具有相同的運動速度，并且等于懸點運動速度。為提高仿真精度，可以利用的仿真結(jié)果進一步迭代計算。4模擬軟件和實用程序4.1懸點最小載荷根據(jù)所建立的仿真模型，開發(fā)了《聚合物驅(qū)抽油機井桿柱縱向振動與示功圖的計算機仿真軟件》。利用仿真軟件對6口聚合物驅(qū)抽油機井桿柱縱向振動與示功圖進行了仿真。圖2、圖3分別為1口井的實測與仿真示功圖，表1對比列出了6口井懸點最大載荷、最小載荷的仿真與測試結(jié)果。表1中，Pmax0為實測懸點最大載荷；Pmin0為實測懸點最小載荷；Pmax1為懸點最大載荷非線性波動方程的仿真結(jié)果；δmax1為懸點最大載荷非線性波動方程的仿真誤差；Pmax2為懸點最大載荷常規(guī)波動方程的仿真結(jié)果；δmax2為懸點最大載荷常規(guī)波動方程的仿真誤差；Pmin1為懸點最小載荷非線性波動方程的仿真結(jié)果；δmin1為懸點最小載荷非線性波動方程的仿真誤差；Pmin2為懸點最小載荷常規(guī)波動方程的仿真結(jié)果；δmin2為懸點最小載荷常規(guī)波動方程的仿真誤差。由表1與圖2可得如下結(jié)論：(1)冪律流模型懸點最大載荷仿真誤差小于±10%，最小載荷仿真誤差小于±12%，具有較高的仿真精度，能夠滿足工程實際應(yīng)用的要求。(2)簡化線性模型懸點最大載荷仿真誤差的最大值為12.84%，最小載荷仿真誤差的最大值為19.77%，仿真誤差明顯高于冪律流模型。仿真誤差的大小取決于油井產(chǎn)出液的流變參數(shù)，對此下面深入討論。(3)懸點上沖程時，兩種模型仿真結(jié)果相差較??；懸點下沖程時，兩種模型仿真結(jié)果相差較大。簡化線性模型仿真結(jié)果與實測值相比，最大載荷普遍偏低，而最小載荷普遍偏高。4.2不同稠系數(shù)時的仿真結(jié)果已知某油井基本數(shù)據(jù)：抽油機型號為CYJ10-3-53HB，使用沖程S=2m，使用沖次N=8min-1，泵徑dp=44mm，下泵深度L=1000m，動液面Hd=800m，油壓po=0.3MPa，套壓pc=0.4MPa，氣液比Sp=40m3/m3，抽油桿柱直徑dr=22mm，油管內(nèi)徑dt=62mm。當(dāng)產(chǎn)出液冪律指數(shù)n=0.318,0.6530.718，稠度系數(shù)為K=10,50,100,200mPa·sn時，分別采用冪律流模型和牛頓流模型計算抽油機懸點最大載荷和最小載荷，計算結(jié)果見表2。表2中，δmax12兩種模型懸點最大載荷仿真結(jié)果相差百分?jǐn)?shù)；δmin12兩種模型懸點最小載荷仿真結(jié)果相差百分?jǐn)?shù)，其它符號含義與表1相同。由表2可以得出以下結(jié)論：(1)當(dāng)冪律指數(shù)一定時，兩種模型懸點最大載荷與最小載荷隨稠度系數(shù)的變化規(guī)律相同：懸點最大載荷隨稠度系數(shù)的增大而增大，懸點最小載荷隨稠度系數(shù)的增加而減小。(2)當(dāng)稠度系數(shù)一定時，兩種模型懸點最大載荷與最小載荷隨冪律指數(shù)的變化規(guī)律是不同的：對于線性簡化模型，隨冪律指數(shù)的增大，懸點最大載荷增大，最小載荷減??；對于冪律流模型，隨冪律指數(shù)的增大，懸點最大載荷減小，最小載荷增大。(3)冪律指數(shù)越小，兩種模型計算懸點載荷的差別越大。當(dāng)冪律指數(shù)為1時，即牛頓流體層流流動時，兩種模型計算結(jié)果是一致的。(4)對于上行程，兩種模型載荷計算結(jié)果相差較??；而下行程時，兩種模型載荷計算結(jié)果相差較大。(5)仿真軟件的實際應(yīng)用除考慮精度要求外，運算速度也是一個關(guān)鍵因素，冪律流模型的運算速度遠低于簡化線性模型，所以對冪律指數(shù)較大的區(qū)塊或油井，可以采用簡化線性模型；而對于冪律指數(shù)較小的區(qū)塊或油井，有必要采用冪律流模型。5非線性波動方程模擬(1)建立了聚合物驅(qū)抽油機井桿柱液體摩擦力的計算模型。當(dāng)冪律流產(chǎn)出液冪律指數(shù)為n時，桿柱的液體摩擦力與桿柱運動速度的n次冪成正比，阻力系數(shù)取決于抽油桿柱結(jié)構(gòu)參數(shù)、油管柱結(jié)構(gòu)參數(shù)、冪律流的稠度系數(shù)與冪律指數(shù)；(2)建立了聚合物驅(qū)抽油機井桿柱縱向振動的數(shù)學(xué)模型，其中液體摩擦力項含有速度的冪律指數(shù)，該模型為非線性波動方程，并建立了差分形式的非線性波動方程的數(shù)值仿真模型；將非線性波動方程線性化，建立了聚合物驅(qū)抽油機井桿柱縱向振動的簡化線性模型，給出等效阻尼系數(shù)的計算方法；(3)開發(fā)了《聚合物驅(qū)抽油機井桿柱縱向振動與示功圖計算機仿真軟件》，仿真與實測示功圖對比結(jié)果表明，所建立的數(shù)學(xué)模型與計算機軟件具有較高的仿真精度，能夠滿足工程實際應(yīng)用的要求；(4)仿真結(jié)果表明，當(dāng)冪律指數(shù)較