華宏2003年mba聯(lián)考輔導(dǎo)資料(a)

GROOBETT收集整理華宏2003年MBA聯(lián)考輔導(dǎo)資料(一):《MBA線性代數(shù)復(fù)習(xí)提綱》(尤承業(yè))上篇目錄第一章線性代數(shù)中最基本的概念1.矩陣(1)基本概念(2)線性運(yùn)算和轉(zhuǎn)置(3)n階矩陣和幾個(gè)特殊矩陣(4)初等變換和階梯形矩陣2.向量(1)基本概念(2)線性運(yùn)算和線性組合3．線性方程組(1)基本概念(2)同解變換與矩陣消元法第二章行列式1.1形式與意義1.2定義(完全展開式)1.3性質(zhì)1.4計(jì)算1.5克萊姆法則第三章矩陣乘法和可逆矩陣2.1矩陣乘法的定義和性質(zhì)2.2n階矩陣的方冪和多項(xiàng)式2.3乘積矩陣的列向量組和行向量組2.4矩陣方程和可逆矩陣(伴隨矩陣)2.5矩陣乘法的分塊法則2.6初等矩陣第四章向量組的線性關(guān)系和秩3.1向量組的線性表示關(guān)系3.2向量組的線性相關(guān)性3.3向量組的極大無(wú)關(guān)組和秩3.4矩陣的秩第五章線性方程組4.1線性方程組的形式4.2線性方程組解的性質(zhì)4.3線性方程組解的情況的判別4.4齊次線性方程組基礎(chǔ)解系線性方程組的通解分析第六章n階矩陣的特征向量和特征值5.1特征向量和特征值第一章線性代數(shù)中最基本的概念基礎(chǔ)比較好的考生可不必看這部分內(nèi)容,或者只用本部分的習(xí)題對(duì)自己進(jìn)行一次測(cè)試.1.矩陣(1)基本概念矩陣是描寫事物形態(tài)的數(shù)量形式的發(fā)展.由mn個(gè)數(shù)排列成的一個(gè)m行n列的表格,兩邊界以圓括號(hào)或方括號(hào),就成為一個(gè)mn型矩陣.這些數(shù)稱為它的元素,位于第i行第j列的數(shù)稱為(i,j)位元素.元素全為0的矩陣稱為零矩陣,通常就記作0.兩個(gè)矩陣A和B相等(記作A=B),是指它的行數(shù)相等,列數(shù)也相等(即它們的類型相同),并且對(duì)應(yīng)的元素都相等.(2)線性運(yùn)算和轉(zhuǎn)置加(減)法:兩個(gè)mn的矩陣A和B可以相加(減),得到的和(差)仍是mn矩陣,記作A+B(A-B),法則為對(duì)應(yīng)元素相加(減).數(shù)乘:一個(gè)mn的矩陣A與應(yīng)該數(shù)c可以相乘,乘積仍為mn的矩陣,記作cA,法則為A的每個(gè)元素乘c.這兩種運(yùn)算統(tǒng)稱為先性運(yùn)算,它們滿足以下規(guī)律:=1\*GB3①加法交換律:A+B=B+A.=2\*GB3②加法結(jié)合律:(A+B)+C=A+(B+C).=3\*GB3③加乘分配律:c(A+B)=cA+cB.(c+d)A=cA+dA.=4\*GB3④數(shù)乘結(jié)合律:c(d)A=(cd)A.=5\*GB3⑤cA=0c=0或A=0.轉(zhuǎn)置:把一個(gè)mn的矩陣A行和列互換,得到的nm的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置,記作AT(或A).有以下規(guī)律:=1\*GB3①(AT)T=A.=2\*GB3②(A+B)T=AT+BT.=3\*GB3③(cA)T=(cA)T.(3)n階矩陣幾個(gè)特殊矩陣行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣稱為方陣,行列數(shù)都為n的矩陣也常常叫做n階矩陣.n階矩陣A的相應(yīng)的行列式記作|A|,稱為A的行列式.把n階矩陣的從左上到右下的對(duì)角線稱為它的主對(duì)角線.(其上的運(yùn)算行列號(hào)相等.)下面列出幾類常用的n階矩陣,它們但是考試大綱中要求掌握的.對(duì)角矩陣:主對(duì)角線外的的元素都為0的n階矩陣.單位矩陣:主對(duì)角線外的的元素都為1的對(duì)角矩陣,記作E(或I).數(shù)量矩陣:主對(duì)角線外的的元素都等于一個(gè)常數(shù)c的對(duì)角矩陣,它就是cE.上(下)三角矩陣:主對(duì)角線下(上)的的元素都為0的n階矩陣.對(duì)稱矩陣:滿足AT=A矩陣.也就是對(duì)任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素總是相等的n階矩陣.反對(duì)稱矩陣:滿足AT=-A矩陣.也就是對(duì)任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素之和總等于0的n階矩陣.反對(duì)稱矩陣對(duì)角線上的元素一定都是0.(4)矩陣的初等變換和階梯形矩陣矩陣的初等行變換有以下三種:=1\*GB3①交換兩行的上下位置.主對(duì)角線上的元素的乘積,因?yàn)槠渌?xiàng)都為0.(2)化零降階法:取定一行(列),先用性質(zhì)=6\*GB3⑥把這行(列)的元素消到只有一個(gè)或很少幾個(gè)不為0,再用=7\*GB3⑦,對(duì)這行(列)展開.例如設(shè)4階行列式1111D=-2x31,22x4334x取第1行,把第2,3,4行各減去第一行,得到1000x+253x-22D=-2x+253=0x-22=(x+2)1x-3=(x+2)[(x-2)(x-3)-2]=(x+2)(x-1)(x-4).20x-2201x-3301x-3(3)利用性質(zhì)簡(jiǎn)化計(jì)算,主要應(yīng)用于元素有規(guī)律的行列式,包括n階行列式.5.克萊姆法則克萊姆法則當(dāng)線性方程組的方程個(gè)數(shù)等于未知數(shù)個(gè)數(shù)n(即系數(shù)矩陣為n階矩陣)時(shí),如果它的系數(shù)行列式不等于0,則方程組有唯一解,這個(gè)解為(D1/D,D2/D,,Dn/D),這里D是系數(shù)行列式的值,Di是把系數(shù)行列式的第i個(gè)列向量換成常數(shù)列向量所得到的行列式的值.兩點(diǎn)說(shuō)明:=1\*GB3①按法則給的公式來(lái)求解計(jì)算量太大，沒有實(shí)用價(jià)值.因此法則的主要意義在理論上.(實(shí)際求解方法:對(duì)增廣矩陣(A|)作初等行變換,使得A變?yōu)閱挝痪仃?此時(shí)變?yōu)榻?)=2\*GB3②法則的改進(jìn),事實(shí)上系數(shù)行列式不等于0是唯一解的充分必要條件.練習(xí)題一1．計(jì)算行列式(1)2aaaaa2aaaaa2aaaaa2aaaaa2.(2)14916491625916253616253649.2.(1)a00b(2)a10a20000b10b200c10c20c00d.0d10d2.3.計(jì)算n階行列式(1)123…n-1n-123…n-1n-1–23…n-1n…………-1–2–3…1-nn．(2)1-2-2…-2-2(3)123…n(4)1a10…0022-2…-2-2212…n-1-11-a1a2…00223…-2-2321…n-20-11-a2…00……………222…2n．nn-1n-2…1．000…-11-an．4.設(shè)4階矩陣A=(,1,2,3),B=(,1,2,3),|A|=2,|B|=3,求|A+B|.5.一個(gè)三階行列式的值為8，它的第二行的元素是1，2，a，它們的余子式依次為A21=2，A22=-1，A23=1，則a=().6.x3-31-32x+2多項(xiàng)式f(x)=-75-2x1，求f(x)的次數(shù)，最高次項(xiàng)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).X+3-133x2-29x36-67.x-2x-1x-2x-3求多項(xiàng)式f(x)=2x-22x-12x-22x-3的次數(shù).3x-33x-24x-53x-54x4x-35x-74x-38.已知x-3a-14f(x)=5x-80–2的根為x1,x2,x3,x4,求x1+x2+x3+x4.bx+11221x9.求行列式0100……0的全部代數(shù)余子式的和.002-10……00003-1……0…………0000……(n-1)-1n-1000……010．a(chǎn)bcd已知行列式x-1-yz+1的代數(shù)余子式A11=-9,A12=3,A13=-1,A14=3,求x,y,z.1-zx+3yy-2x+10z+3參考答案1.(1)把各列都加到第1列上,提出公因子.得(4a+2)(a-2)4.(2)自下而上,各行減去上一行(作兩次).得0.2.用換行(列)的方法.得(1)(ad-bc)|B|.(3)(a1c2-a2c1)(b1d2-b2d1).3.(1)提示：把第一行加到其它各行．得2n-1n!．(2)第3到n行各減第二行．得(n+2)!/4．(3)提示：自下而上各行減去上行．得(-1)n-12n-2(n+1)．(4)提示：從第2行起，自上而下各行加上行．得1．4.得40.5.得8.6.最高次只出現(xiàn)在下面劃線的4個(gè)元素的乘積一項(xiàng)中,常數(shù)項(xiàng)即f(0).得9,6,0.7.2.8.提示:利用特征值的性質(zhì).得10.9.提示:利用伴隨矩陣.得(-1)n-1(n+1)/2(n-1)!.10.x=0,y=3,z=-1.第三章矩陣乘法和可逆矩陣1.矩陣乘法的定義和性質(zhì)定義2.1當(dāng)矩陣A的列數(shù)和B相等時(shí),和A和B可以相乘,乘積記作AB.AB的行數(shù)和A相等,列數(shù)和B相等.AB的(i,j)位元素等于A的第i個(gè)行向量和B的第j個(gè)列向量(維數(shù)相同)對(duì)應(yīng)分量乘積之和.矩陣的乘法在規(guī)則上與數(shù)的乘法有不同:=1\*GB3①矩陣乘法有條件.=2\*GB3②矩陣乘法無(wú)交換律.=3\*GB3③矩陣乘法無(wú)消去律,即一般地由AB=0推不出A=0或B=0.由AB=AC和A=0推不出或B=C.(無(wú)左消去律)由BA=CA和A=0推不出或B=C.(無(wú)右消去律)把數(shù)的乘法的性質(zhì)簡(jiǎn)單地搬用到矩陣乘法中來(lái),這是常見錯(cuò)誤.矩陣乘法適合以下法則:=1\*GB3①加乘分配律A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC.=2\*GB3②數(shù)乘性質(zhì)(cA)B=c(AB).=3\*GB3③結(jié)合律(AB)C=A(BC).=4\*GB3④(AB)T=BTAT.2.n階矩陣的方冪和多項(xiàng)式任何兩個(gè)n階矩陣A和B都可以相乘,乘積AB仍是n階矩陣.(1)行列式性質(zhì)|AB|=|A||B|.(2)如果AB=BA,則說(shuō)A和B可交換.(3)方冪設(shè)k是正整數(shù),n階矩陣A的k次方冪Ak即k個(gè)A的連乘積.規(guī)定A0=E.顯然A的任何兩個(gè)方冪都是可交換的,并且方冪運(yùn)算符合指數(shù)法則:=1\*GB3①AkAh=Ak+h.=2