2023-2024學年河北深州市長江中學高二上數學期末考試試題含解析

2023-2024學年河北深州市長江中學高二上數學期末考試試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，點在雙曲線上.若為鈍角三角形，則的取值范圍是A. B.C. D.2．在等比數列中，，，則（）A.2 B.4C.6 D.83．阿基米德（公元前287年～公元前212年）不僅是著名的物理學家，也是著名的數學家，他利用“逼近法”得到的橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓的對稱軸為坐標軸，焦點在軸上，且橢圓的離心率為，面積為，則橢圓的標準方程為（）A. B.C. D.4．數列2，，9，，的一個通項公式可以是（）A. B.C. D.5．拋物線的焦點到準線的距離為（）A. B.C. D.6．已知集合M＝{0，x}，N＝{1,2}，若M∩N＝{2}，則M∪N＝()A.{0，x,1,2} B.{2,0,1,2}C.{0,1,2} D.不能確定7．已知在平面直角坐標系中，圓的方程為，直線過點且與直線垂直.若直線與圓交于兩點，則的面積為A.1 B.C.2 D.8．是等差數列，，，的第（）項A.98 B.99C.100 D.1019．某學校隨機抽取了部分學生，對他們每周使用手機的時間進行統(tǒng)計，得到如下的頻率分布直方圖.則下列說法：①；②若抽取100人，則平均用時13.75小時；③若從每周使用時間在，，三組內的學生中用分層抽樣的方法選取8人進行訪談，則應從使用時間在內的學生中選取的人數為3.其中正確的序號是（）A.①② B.①③C.②③ D.①②③10．圓與圓的位置關系為（）A.內切 B.相交C.外切 D.外離11．數列滿足，且，是函數的極值點，則的值是（）A.2 B.3C.4 D.512．已知直線與垂直，則為（）A.2 B.C.-2 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，則與向量同方向的單位向量的坐標為____________.14．若曲線在處的切線平行于x軸，則___________.15．命題“，”的否定是____________.16．已知函數f(x)=x3－3x2+2，則函數f(x)的極大值為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在①成等差數列；②成等比數列；③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并對其求解.問題：已知為數列的前項和，，且___________.（1）求數列的通項公式；（2）記，求數列的前項和.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.18．（12分）命題存在，使得；命題對任意的，都有（1）若命題p為真時，求實數a的取值范圍；若命題q為假時，求實數a的取值范圍；（2）如果命題為真命題，命題為假命題，求實數a的取值范圍19．（12分）已知圓，直線過定點.（1）若與圓相切，求的方程；（2）若與圓相交于兩點，且，求此時直線的方程.20．（12分）已知公差不為0的等差數列滿足：且成等比數列（1）求數列的通項公式；（2）記為數列的前n項和，求證是等差數列21．（12分）“綠水青山就是金山銀山”，中國一直踐行創(chuàng)新、協(xié)調、綠色、開放、共享的發(fā)展理念，著力促進經濟實現高質量發(fā)展，決心走綠色、低碳、可持續(xù)發(fā)展之路．新能源汽車環(huán)保、節(jié)能，以電代油，減少排放，既符合我國的國情，也代表了世界汽車產業(yè)發(fā)展的方向工業(yè)部表示，到2025年我國新能源汽車銷量占總銷量將達20%以上.2021年，某集團以20億元收購某品牌新能源汽車制造企業(yè)，并計劃投資30億元來發(fā)展該品牌.2021年該品牌汽車的銷售量為10萬輛，每輛車的平均銷售利潤為3000元．據專家預測，以后每年銷售量比上一年增加10萬輛，每輛車的平均銷售利潤比上一年減少10%（1）若把2021年看作第一年，則第n年的銷售利潤為多少億元？（2）到2027年年底，該集團能否通過該品牌汽車實現盈利？（實現盈利即銷售利潤超過總投資，參考數據：，，）22．（10分）已知函數.（1）判斷的單調性.（2）證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據雙曲線的幾何性質，結合余弦定理分別討論當為鈍角時的取值范圍，根據雙曲線的對稱性，可以只考慮點在雙曲線上第一象限部分即可.【詳解】由題：雙曲線：的左、右焦點分別為，，點在雙曲線上，必有，若為鈍角三角形，根據雙曲線的對稱性不妨考慮點在雙曲線第一象限部分：當為鈍角時，在中，設，有，，即，，所以；當時，所在直線方程，所以，，，根據圖象可得要使，點向右上方移動，此時，綜上所述：的取值范圍是.故選：C【點睛】此題考查雙曲線中焦點三角形相關計算，關鍵在于根據幾何意義結合特殊情況分類討論，體現數形結合思想.2、D【解析】由等比中項轉化得，可得，求解基本量，由等比數列通項公式即得解【詳解】設公比為，則由，得，即故，解得故選：D3、C【解析】由題意，設出橢圓的標準方程為，然后根據橢圓的離心率以及橢圓面積列出關于的方程組，求解方程組即可得答案【詳解】由題意，設橢圓的方程為，由橢圓的離心率為，面積為，∴，解得，∴橢圓的方程為，故選：C.4、C【解析】用檢驗法，由通項公式驗證是否符合數列各項，結合排除法可得【詳解】第一項為正數，BD中求出第一項均為負數，排除，而AC均滿足，A中，，排除A，C中滿足，，，故選：C5、C【解析】根據拋物線方程求出焦點坐標與準線方程，即可得解；【詳解】解：因為拋物線方程為，所以焦點坐標為，準線的方程為，所以焦點到準線的距離為；故選：C6、C【解析】集合M＝{0，x}，N＝{1,2}，若M∩N＝{2}，則.所以.故選C.點睛：集合的交集即為由兩個集合的公共元素組成的集合，集合的并集即由兩集合的所有元素組成.7、A【解析】∵圓的方程為，即，∴圓的圓心為，半徑為2.∵直線過點且與直線垂直∴直線.∴圓心到直線的距離.∴直線被圓截得的弦長，又∵坐標原點到的距離為，∴的面積為.考點：1、直線與圓的位置關系；2、三角形的面積公式.8、C【解析】等差數列，，中，，，由此求出，令，得到是這個數列的第100項【詳解】解：等差數列，，中，，令，得是這個數列的第100項故選：C9、B【解析】根據頻率分布直方圖中小矩形的面積和為1可求出，再求出頻率分布直方圖的平均值，即為抽取100人的平均值的估計值，再利用分層抽樣可確定出使用時間在內的學生中選取的人數為3.【詳解】，故①正確；根據頻率分布直方圖可估計出平均值為，所以估計抽取100人的平均用時13.75小時，②的說法太絕對，故②錯誤；每周使用時間在，，三組內的學生的比例為，用分層抽樣的方法選取8人進行訪談，則應從使用時間在內的學生中選取的人數為，故③正確.故選：B.10、C【解析】將圓的一般方程化為標準方程，根據圓心距和半徑的關系，判斷兩圓的位置關系.【詳解】圓的標準方程為，圓的標準方程為，兩圓的圓心距為，即圓心距等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，故選：C.11、C【解析】利用導數即可求出函數的極值點，再利用等差數列的性質及其對數的運算性質求解即可【詳解】由，得，因為，是函數的極值點，所以，是方程兩個實根，所以，因為數列滿足，所以，所以數列為等差數列，所以，所以，故選：C12、A【解析】利用一般式中直線垂直的系數關系列式求解.【詳解】因為直線與垂直，故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由空間向量的模的計算求得向量的模，再由單位向量的定義求得答案.【詳解】解：因為，所以，所以與向量同方向的單位向量的坐標為，故答案為：.14、【解析】求出導函數得到函數在時的導數，由導數值為0求得a的值【詳解】由，得，則，∵曲線在點處的切線平行于x軸，∴，即.故答案為：15、，【解析】根據全稱命題量詞的否定即可得出結果.【詳解】命題“”的否定是“，”故答案為：16、2【解析】利用導數研究函數的單調區(qū)間，從而得到極大值.【詳解】，令，解得：，00極大值極小值所以當時，函數取得極大值，即函數的極大值為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由可知數列是公比為的等比數列，若選①：結合等差數列等差中項的性質計算求解；若選②：利用等比數列等比中項的性質計算求解，若選③：利用直接計算；（2）根據對數的運算，可知數列為等差數列，直接求和即可.小問1詳解】由，當時，，即，即，所以數列是公比為的等比數列，若選①：由，即，，所以數列的通項公式為；若選②：由，所以，所以數列的通項公式為；若選③：由，即，所以數列的通項公式為；【小問2詳解】由（1）得，所以數列等差數列，所以.18、（1）p為真時或，q為假時；（2）{或}.【解析】（1）p為真應用判別式求參數范圍；q為真，根據恒成立求參數范圍，再判斷q為假對應的參數范圍.（2）由題設易得p、q一真一假，討論p、q的真假，結合（1）的結果求a的取值范圍【小問1詳解】若p真，則有實數根，∴，解得或若q為真，則，即故q為假時，實數a的取值范圍為【小問2詳解】∵命題真命題，命題為假命題，∴p，q一真一假，當p真q假時，，可得當p假q真時，，可得綜上，實數a取值范圍為或.19、（1）或；（2）或.【解析】（1）由圓的方程可得圓心和半徑，當直線斜率不存在時，知與圓相切，滿足題意；當直線斜率存在時，利用圓心到直線距離等于半徑可構造方程求得，由此可得方程；（2）當直線斜率不存在時，知與圓相切，不合題意；當直線斜率存在時，利用垂徑定理可構造方程求得，由此可得方程.【小問1詳解】由圓的方程知：圓心，半徑；當直線斜率不存在，即時，與圓相切，滿足題意；當直線斜率存在時，設，即，圓心到直線距離，解得：，，即；綜上所述：直線方程為或；【小問2詳解】當直線斜率不存在，即時，與圓相切，不合題意；當直線斜率存在時，設，即，圓心到直線距離，，解得：或，直線的方程為或.20、（1）；（2）證明見解析.【解析】(1)根據等比中項的應用可得，結合等差數列的定義和求出公差，進而得出通項公式；(2)根據等差數列前n項求和公式可得，結合等差數列定義即可證明.【小問1詳解】設等差數列的公差為()，由成等比數列，得，又，所以，解得，所以；【小問2詳解】由(1)可得，所以，有，故，又，所以數列是以2為首項，以2為公差的等差數列.21、（1）億元（2）該集團能通過該品牌汽車實現盈利【解析】（1）由題意可求得第n年的銷售量，第n年每輛車的平均銷售利潤，從而可求出第n年的銷售利潤，（2）利用錯位相減法求出到2027年年底銷售利潤總和，再與總投資額比較即可【小問1詳解】設第n年的銷售量為萬輛，則該汽車的年銷售量構成首項為10，公差為10的等差數列，所以，設第n年每輛車的平均銷售利潤為元，則每輛汽車的平均銷售利潤構成首項為3000，公比為0.9的等比數列，所以，記第n年的銷售利潤為，則萬元；即第n年的銷售利潤為億元【小問2詳解】到2027年年底，設銷售利潤總和為S億元，則①，②，①﹣②得億元，而總投資為億元，因為，則到2027年年底，該集團能通過該品牌汽車實現盈利22、（1）在R上單調遞增，無單調遞減區(qū)間；（2）證明見解析.【解析