2023-2024學年福建省閩侯二中五校教學聯(lián)合體高二數學第一學期期末統(tǒng)考試題含解析

2023-2024學年福建省閩侯二中五校教學聯(lián)合體高二數學第一學期期末統(tǒng)考試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．當時，不等式恒成立，則實數的取值范圍為（）A. B.C. D.2．設各項均為正項的數列滿足，，若，且數列的前項和為，則（）A. B.C.5 D.63．已知直線的傾斜角為，在軸上的截距為，則此直線的方程為（）A. B.C. D.4．方程所表示的曲線為（）A.射線 B.直線C.射線或直線 D.無法確定5．已知是橢圓右焦點，點在橢圓上，線段與圓相切于點，且，則橢圓的離心率等于（）A. B.C. D.6．已知函數在上可導，且，則與的大小關系為A. B.C. D.不確定7．太極圖被稱為“中華第一圖”，閃爍著中華文明進程的光輝，它是由黑白兩個魚形紋組成的圖案，俗稱陰陽魚，太極圖展現(xiàn)了一種相互轉化，相對統(tǒng)一的和諧美．定義：能夠將圓O的周長和面積同時等分成兩個部分的函數稱為圓O的一個“太極函數”，設圓O：，則下列說法中正確的是（）①函數是圓O的一個太極函數②圓O的所有非常數函數的太極函數都不能為偶函數③函數是圓O的一個太極函數④函數的圖象關于原點對稱是為圓O的太極函數的充要條件A.①② B.①③C.②③ D.③④8．命題“?x∈[1，2]，x2－a≤0”為真命題的一個充分不必要條件是（）A.a≥4 B.a≤4C.a≥5 D.a≤59．在等差數列中，，則的公差為（）A.1 B.2C.3 D.410．頂點在原點，關于軸對稱，并且經過點的拋物線方程為（）A. B.C. D.11．已知點在平面α上，其法向量，則下列點不在平面α上的是（）A. B.C. D.12．有一組樣本數據、、、，由這組數據得到新樣本數據、、、，其中，為非零常數，則（）A.兩組樣本數據的樣本平均數相同 B.兩組樣本數據的樣本標準差相同C.兩組樣本數據的樣本中位數相同 D.兩組樣本數據的樣本眾數相同二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設、、是三個不同的平面，、是兩條不同的直線，給出下列三個結論：①若，，則；②若，，則；③若，，則其中，正確結論的序號為__14．某工廠生產甲、乙、丙、丁四種不同型號的產品，產量分別為100，200，150，50件．為檢驗產品的質量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有產品中抽取60件進行檢驗，則應從丙種型號的產品中抽取___________件15．“”是“”的________條件.（從“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中選擇一項填空.）16．已知點，拋物線的焦點為，點是拋物線上任意一點，則周長的最小值是__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓的圓心為，且圓經過點（1）求圓的標準方程；（2）若圓：與圓恰有兩條公切線，求實數取值范圍18．（12分）已知各項均為正數的等差數列中，，且，，構成等比數列的前三項（1）求數列，的通項公式；（2）求數列的前項和19．（12分）設數列滿足，數列的前項和為，且（1）求證：數列為等差數列，并求的通項公式；（2）設，若對任意正整數，當時，恒成立，求實數的取值范圍.20．（12分）已知直線與直線交于點.（1）求過點且平行于直線的直線的方程，并求出兩平行直線間的距離；（2）求過點并且在兩坐標軸上的截距互為相反數的直線的方程.21．（12分）已知橢圓過點，離心率為（1）求橢圓的標準方程；（2）過橢圓的上頂點作直線l交拋物線于A，B兩點，O為坐標原點①求證：；②設OA，OB分別與橢圓相交于C，D兩點，過點O作直線CD的垂線OH，垂足為H，證明：為定值22．（10分）設，分別是橢圓（）的左、右焦點，E的離心率為.短軸長為2.（1）求橢圓E的方程：（2）過點的直線l交橢圓E于A，B兩點，是否存在實數t，使得恒成立？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】設，對實數的取值進行分類討論，求得，解不等式，綜合可得出實數的取值范圍.【詳解】設，其中.①當時，即當時，函數在區(qū)間上單調遞增，則，解得，此時不存在；②當時，，解得；③當時，即當時，函數在區(qū)間上單調遞減，則，解得，此時不存在.綜上所述，實數的取值范圍是.故選：A.2、D【解析】由利用因式分解可得，即可判斷出數列是以為首項，為公差的等差數列，從而得到數列，數列的通項公式，進而求出【詳解】等價于，而，所以，即可知數列是以為首項，為公差的等差數列，即有，所以，故故選：D3、D【解析】求出直線的斜率，利用斜截式可得出直線的方程.【詳解】直線的斜率為，由題意可知，所求直線的方程為.故選：D.4、C【解析】將方程化為或，由此可得所求曲線.【詳解】由得：或，即或，方程所表示的曲線為射線或直線.故選：C.5、A【解析】結合橢圓的定義、勾股定理列方程，化簡求得，由此求得離心率.【詳解】圓的圓心為，半徑為.設左焦點為，連接，由于，所以，所以，所以，由于，所以，所以，，.故選：A6、B【解析】由,所以.7、B【解析】①③可以通過分析奇偶性和結合圖象證明出符合要求，②④可以舉出反例.【詳解】是奇函數，且與圓O的兩交點坐標為，能夠將圓O的周長和面積同時等分為兩個部分，故符合題意，①正確；同理函數是圓O的一個太極函數，③正確；例如，是偶函數，也能將將圓O的周長和面積同時等分為兩個部分，故②錯誤；函數的圖象關于原點對稱不是為圓O的太極函數的充要條件，例如為奇函數，但不滿足將圓O的周長和面積同時等分為兩個部分，所以④錯誤；故選：B8、C【解析】先要找出命題為真命題的充要條件，從集合的角度充分不必要條件應為的真子集，由選擇項不難得出答案【詳解】命題“?x∈[1，2]，x2－a≤0”為真命題，可化為?x∈[1，2]，恒成立即只需，即命題“?x∈[1，2]，x2－a≤0”為真命題的的充要條件為，而要找的一個充分不必要條件即為集合的真子集，由選擇項可知C符合題意.故選：C9、A【解析】根據等差數列性質可得方程組，求得公差.【詳解】等差數列中,,，由通項公式可得解得故選：A10、C【解析】根據題意，設拋物線的方程為，進而待定系數求解即可.【詳解】解：由題，設拋物線的方程為，因為在拋物線上，所以，解得，即所求拋物線方程為故選：C11、D【解析】根據法向量的定義，利用向量垂直對四個選項一一驗證即可.【詳解】對于A：記,則.因為，所以點在平面α上對于B：記,則.因為，所以點在平面α上對于C：記,則.因為，所以點在平面α上對于D：記,則.因為，所以點不在平面α上.故選：D12、B【解析】利用平均數公式可判斷A選項；利用標準差公式可判斷B選項；利用中位數的定義可判斷C選項；利用眾數的定義可判斷D選項.【詳解】對于A選項，設數據、、、的平均數為，數據、、、的平均數為，則，A錯；對于B選項，設數據、、、的標準差為，數據、、、的標準差為，，B對；對于C選項，設數據、、、中位數為，數據、、、的中位數為，不妨設，則，若為奇數，則，；若為偶數，則，.綜上，，C錯；對于D選項，設數據、、、的眾數為，則數據、、、的眾數為，D錯.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①②【解析】利用線面垂直的性質可判斷命題①、②的正誤；利用特例法可判斷命題③的正誤.綜合可得出結論.【詳解】、、是三個不同的平面，、是兩條不同的直線.對于①，若，，由同垂直于同一平面的兩直線平行，可得，故①正確；對于②，若，，由同垂直于同一直線的兩平面平行，可得，故②正確；對于③，若，，考慮墻角處的三個平面兩兩垂直，可判斷、相交，則不正確故答案為：①②【點睛】本題考查空間中線面、面面位置關系有關命題真假的判斷，考查推理能力，屬于基礎題.14、【解析】根據分層抽樣的方法，即可求解.【詳解】由題意，甲、乙、丙、丁四種不同型號的產品，產量分別為100，200，150，50件，用分層抽樣的方法從以上所有產品中抽取60件進行檢驗，則應從丙種型號的產品中抽取個數為件.故答案為：.15、充分不必要【解析】由不等式的性質可知，由得，反之代入進行驗證，然后根據充分性與必要性的定義進行判斷，即可得出所要的答案【詳解】解：由不等式的性質可知，由得，故“”成立可推出“”，而，當，則，所以“”不能保證“”，故“”是“”成立的充分不必要條件.故答案為：充分不必要【點睛】本題考查充分條件與必要條件的判斷，結合不等式的性質，屬于較簡單題型16、##【解析】利用拋物線的定義結合圖形即得.【詳解】拋物線的焦點為，準線的方程為，過點作，垂足為，則，所以的周長為，當且僅當三點共線時等號成立.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】(1)根據給定條件求出圓C的半徑，再直接寫出方程作答.(2)由給定條件可得圓C與圓O相交，由此列出不等式求解作答.【小問1詳解】依題意，圓C的半徑，所以圓的標準方程是：.【小問2詳解】圓：圓心，半徑為，因圓與圓恰有兩條公切線，則有圓O與圓C相交，即，而，因此有，解得，所以實數的取值范圍是.18、（1）；（2）【解析】（1）設等差數列公差為d，利用基本量代換列方程組求出的通項公式，進而求出的首項和公比，即可求出的通項公式；（2）利用分組求和法直接求和.【小問1詳解】設等差數列的公差為d，則由已知得：，即，又，解得或（舍去），所以.，又，，，；【小問2詳解】，.19、（1）證明見解析，；（2）或.【解析】（1）結合與關系用即可證明為常數；求出通項公式后利用累加法即可求的通項公式；（2）裂項相消求，判斷單調性求其最大值即可.【小問1詳解】當時，得到，∴，當時，是以4為首項，2為公差的等差數列∴當時，當時，也滿足上式，.【小問2詳解】令，當，因此的最小值為，的最大值為對任意正整數，當時，恒成立，得，即在時恒成立，，解得t＜0或t＞3.20、（1）；.（2）或.【解析】(1)首先求得交點坐標，然后利用待定系數法確定直線方程，再根據兩平行直線之間距離公式即可計算距離；(2)根據截距式方程的求法解答【小問1詳解】由得設直線的方程為，代入點坐標得，∴直線的方程為∴兩平行線間的距離【小問2詳解】當直線過坐標原點時，直線的方程為，即；當直線不過坐標原點時，設直線的方程為，代入點坐標得，∴直線的方程的方程為，即綜上所述，直線的方程為或21、（1）（2）①證明見解析；②證明見解析【解析】（1）根據離心率及過點求出求解即可；（2）①設直線l的方程為，利用向量的數量積計算證明即可；②設直線CD方程為，利用求出，再由點O到直線CD的距離即可求證.【小問1詳解】因為，所以，又因為，解得，，所以橢圓的方程為；【小問2詳解】①證明：設，，依題意，直線l斜率存在，設直線l的方程為，聯(lián)立方程，消去y得，所以，又因為，所以，因此，②證明：設，，設直線CD方程為，因為，所以，則，聯(lián)立，得當時，，則所以，即滿足則，即為定值22、（1）（2）存在，【解析】(1)由條件列出，，的方程，解方程求出，，，由此可得橢圓E的方程：(2)當直線的斜率存在時，設直線的方程為，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程化簡可得，設，，可得，，由此證明，再