2023-2024學(xué)年廣東惠州光正實驗學(xué)校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2023-2024學(xué)年廣東惠州光正實驗學(xué)校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的離心率等于（）A. B.C.2 D.42．已知向量＝（3，0，1），＝（﹣2，4，0），則3+2等于（）A.（5，8，3） B.（5，﹣6，4）C.（8，16，4） D.（16，0，4）3．過雙曲線Ω：(a＞0，b＞0)右焦點F作x軸的垂線，與Ω在第一象限的交點為M，且直線AM的斜率大于2，其中A為Ω的左頂點，則Ω的離心率的取值范圍為()A.(1,3) B.(3，＋∞)C.(1,) D.(，＋∞)4．已知實數(shù)，滿足，則的最小值是（）A. B.C. D.5．在正方體中，與直線和都垂直，則直線與的關(guān)系是（）A.異面 B.平行C.垂直不相交 D.垂直且相交6．已知數(shù)列滿足，則滿足的的最大取值為（）A.6 B.7C.8 D.97．如下圖，面與面所成二面角的大小為，且A，B為其棱上兩點．直線AC，BD分別在這個二面角的兩個半平面中，且都垂直于AB，已知，，，則（）A. B.C. D.8．已知橢圓：的左、右焦點為，，上頂點為P，則（）A.為銳角三角形 B.為鈍角三角形C.為直角三角形 D.，，三點構(gòu)不成三角形9．已知函數(shù)的圖象在點處的切線與直線垂直，則（）A. B.C. D.10．已知拋物線C：，則過拋物線C的焦點，弦長為整數(shù)且不超過2022的直線的條數(shù)是（）A.4037 B.4044C.2019 D.202211．若函數(shù)f(x)=x2+x+1在區(qū)間內(nèi)有極值點,則實數(shù)a的取值范圍是()A. B.C. D.12．已知命題：△中，若，則；命題：函數(shù)，，則的最大值為.則下列命題是真命題的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．長方體中，，已知點與三點共線且，則點到平面的距離為________14．三棱錐中，、、兩兩垂直，且.給出下列四個命題：①；②；③和的夾角為；④三棱錐的體積為.其中所有正確命題的序號為______________.15．在1和9之間插入三個數(shù)，使這五個數(shù)成等比數(shù)列，則中間三個數(shù)的積等于________.16．若動直線分別與函數(shù)和的圖像交于A，B兩點，則的最小值為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓，其焦點為，，離心率為，若點滿足.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓交于兩點，為坐標原點，的重心滿足：，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）圓的圓心為，且與直線相切，求：（1）求圓的方程；（2）過的直線與圓交于，兩點，如果，求直線的方程19．（12分）在①，②，③，三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答.設(shè)數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列，其前項和為，數(shù)列是等差數(shù)列，其前項和為.已知，，，_____________.（1）請寫出你選擇條件的序號____________；并求數(shù)列和的通項公式；（2）求和.20．（12分）如圖，從參加環(huán)保知識競賽的學(xué)生中抽出60名，將其成績(均為整數(shù))整理后畫出的頻率分布直方圖如下：觀察圖形，回答下列問題：（1）[79.5，89.5)這一組的頻數(shù)、頻率分別是多少？（2）估計這次環(huán)保知識競賽的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)是多少？21．（12分）公差不為零的等差數(shù)列中，已知其前n項和為，若，且成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項；（2）當(dāng)時，求數(shù)列的前n和22．（10分）如圖1，在中，，，，分別是，邊上的中點，將沿折起到的位置，使，如圖2（1）求點到平面的距離；（2）在線段上是否存在一點，使得平面與平面夾角的余弦值為．若存在，求出長；若不存在，請說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由雙曲線的漸近線方程，可得，再由的關(guān)系和離心率公式，計算即可得到所求值【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，由題意可得即，可得由可得，故選：A.2、A【解析】直接根據(jù)空間向量的線性運算，即可得到答案；【詳解】，故選：A3、B【解析】求點A和M的坐標，進而表示斜率，可得，整理得b2＞2ac＋2a2，從而可解得離心率的范圍.【詳解】F(c,0)，設(shè)M(c，yM)，(yM＞0)代入可解得yM＝，A(－a,0)，由于kAM＞2，即，整理得b2＞2ac＋2a2，又b2＝c2－a2，∴c2－a2＞2ac＋2a2，即c2－2ac－3a2＞0，∴e2－2e－3＞0，e＜－1(舍)或e＞3.答案：B【點睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標的范圍等.4、A【解析】將化成，即可求出的最小值【詳解】由可化為，所以，解得，因此最小值是故選：A5、B【解析】以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，根據(jù)向量垂直的坐標表示求出，再利用向量的坐標運算可得，根據(jù)共線定理即可判斷.【詳解】設(shè)正方體的棱長為1.以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則.設(shè)，則，取.，.故選：B【點睛】本題考查了空間向量垂直的坐標表示、空間向量的坐標表示、空間向量共線定理，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】首先地推公式變形，得，，求得數(shù)列的通項公式后，再解不等式.【詳解】因為，兩邊取倒數(shù)，得，整理為：，，所以數(shù)列是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，，，因為，即，得，解得：，,所以的最大值是7.故選：B7、B【解析】根據(jù)題意，作，且，則四邊形ABDE為平行四邊形，進一步判斷出該四邊形為矩形，然后確定出為二面角的平面角，進而通過余弦定理和勾股定理求得答案.【詳解】如圖，作，且，則四邊形ABDE為平行四邊形，所以.因為，所以，又，所以是該二面角的一個平面角，即，由余弦定理.因為，，所以，易得四邊形ABDE為矩形，則，而，所以平面ACE，則，于是.故選：B.8、A【解析】根據(jù)題意求得，要判斷的形狀，只需要看是什么角即可，利用余弦定理判斷，從而可得結(jié)論.【詳解】解：由橢圓：，得，則，則，所以且為銳角，因為，所以銳角，所以為銳角三角形.故選：A.9、C【解析】對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合垂直關(guān)系計算作答.【詳解】函數(shù)定義域為，求導(dǎo)得，于是得函數(shù)的圖象在點處切線的斜率，而直線的斜率為，依題意，，即，解得，所以.故選：C10、A【解析】根據(jù)已知條件，結(jié)合拋物線的性質(zhì)，先求出過焦點的最短弦長，再結(jié)合拋物線的對稱性，即可求解【詳解】∵拋物線C：，即，由拋物線的性質(zhì)可得，過拋物線焦點中，長度最短的為垂直于y軸的那條弦，則過拋物線C的焦點，長度最短的弦的長為，由拋物線的對稱性可得，弦長在5到2022之間的有共有條，故弦長為整數(shù)且不超過2022的直線的條數(shù)是故選：A11、C【解析】若f(x)=x2+x+1在區(qū)間內(nèi)有極值點,則f'(x)=x2-ax+1在區(qū)間內(nèi)有零點,且零點不是f'(x)的圖象頂點的橫坐標.由x2-ax+1=0,得a=x+.因為x∈,y=x+的值域是,當(dāng)a=2時,f'(x)=x2-2x+1=(x-1)2,不合題意.所以實數(shù)a的取值范圍是,故選C.12、A【解析】由三角形內(nèi)角及正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷、的真假，應(yīng)用換元法令，結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)確定的值域即知、的真假，根據(jù)各選項復(fù)合命題判斷真假即可.【詳解】由且，可得或，故為假命題，為真命題；令，又，則，故，∵在上遞減，∴，故的最大值為.∴為真命題，為假命題；∴為真，為假，為假，為假.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用坐標法，利用向量共線及垂直的坐標表示可求，即求.【詳解】如圖建立空間直角坐標系，則，因為點與三點共線且，，設(shè)，即，∴，∴，∴，即，∴點到平面的距離為.故答案為：.14、①②③【解析】設(shè)，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量數(shù)量積的坐標運算可判斷①②③④的正誤.【詳解】設(shè)，由于、、兩兩垂直，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：則、、、.對于①，，所以，，①正確；對于②，，，則，②正確；對于③，，，，，所以，和的夾角為，③正確；對于④，，，，則，所以，，而三棱錐的體積為，④錯誤.故答案為：①②③.【點睛】關(guān)鍵點點睛：在立體幾何中計算空間向量的相關(guān)問題，可以選擇合適的點與直線建立空間直角坐標系，利用空間向量的坐標運算即可.15、27【解析】設(shè)公比為，利用已知條件求出，然后根據(jù)通項公式可求得答案【詳解】設(shè)公比為，插入的三個數(shù)分別為，因為，所以，得，所以，故答案為：2716、【解析】利用導(dǎo)數(shù)求出與平行的曲線的切線，再利用兩點間距離公式進行求解即可.【詳解】設(shè)曲線的切點為，由，所以曲線的切線的斜率為，直線的斜率為，當(dāng)切線與平行時，即，即切點為，當(dāng)直線過切點時，有最小值，即，此時，解方程組：，，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：利用曲線的切線性質(zhì)進行求解是解題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）運用橢圓的離心率公式，結(jié)合橢圓的定義可得在橢圓上，代入橢圓方程，求出，，即可求橢圓的方程；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線和橢圓方程，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系、以及向量數(shù)量積的坐標表示進行求解即可.【小問1詳解】依題意得，點，滿足，可得在橢圓上，可得：，且，解得，，所以橢圓的方程為；【小問2詳解】設(shè)，，，，，，當(dāng)時，，此時A,B關(guān)于y軸對稱，則重心為，由得：，則，此時與橢圓不會有兩交點，故不合題意，故；聯(lián)立與橢圓方程,可得，可得，化為，，，①，設(shè)的重心，由，可得②由重心公式可得，代入②式，整理可得可得③①式代入③式并整理得,則，，令，則，可得，，，.【點睛】本題主要考查橢圓的方程以及直線和橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，利用消元法轉(zhuǎn)化為一元二次方程形式是解決本題的關(guān)鍵.18、（1）（2）或【解析】由點到直線的距離公式求得圓的半徑，則圓的方程可求；當(dāng)直線的斜率不存在時，求得弦長為，滿足題意；當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)出直線方程，求出圓心到直線的距離，再由垂徑定理列式求，則直線方程可求【小問1詳解】由題意得：圓的半徑為，則圓的方程為；【小問2詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時，直線方程為，得，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為，即圓心到直線的距離，則，解得直線的方程為直線的方程為或19、（1）選①，，；選②，，；選③，，；（2），【解析】（1）選條件①根據(jù)等比數(shù)列列出方程求出公比得通項公式，再由等差數(shù)列列出方程求出首項與公差可得通項公式，選②③與①相同的方法求數(shù)列的通項公式;（2）根據(jù)等比數(shù)列、等差數(shù)列的求和公式解計算即可.【小問1詳解】選條件①：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，，，解得或，，，.設(shè)等差數(shù)列的公差為d，，，解得，，.選條件②：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，，，解得或，，，.設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，解得，，選條件③：設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，解得或，，，.設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，解得，【小問2詳解】由（1）知，，20、（1）0.25，15；（2）眾數(shù)為74.5，中位數(shù)為72.8，平均分為70.5.【解析】（1）直接利用頻率和頻數(shù)公式求解；（2）利用頻率分布直方圖的公式求眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù).【詳解】（1）頻率＝(89.5－79.5)×0.025＝0.25；頻數(shù)＝60×0.25＝15.（2）[69.5，79.5)一組的頻率最大，人數(shù)最多，則眾數(shù)為74.5，左邊三個矩形的面積和為0.4，左邊四個矩形的面積和為0.7，所以中位數(shù)在第4個矩形中，設(shè)中位數(shù)為,所以中位數(shù)為72.8.平均分為44.5×0.1＋54.5×0.15＋64.5×0.15＋74.5×0.3＋84.5×0.25＋94.5×0.05＝70.521、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合題意，可求得值，根據(jù)成等比數(shù)列，即可求得d值，代入等差數(shù)列通項公式，即可得答案；（2）由（1）可求得，即可得表達式，根據(jù)裂項相消求和法，即可得答案.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列性質(zhì)可得，解得，又成等比數(shù)列，所以，整理得，因為，所以，所以【小問2詳解】由（1）可得，則，所以，所以22、（1）（2）存在，【解析】（1）根據(jù)題意分別由已知條件計算出的面積和的面積，利用求解，（2）如圖建立空間直角坐標系，設(shè)，然后求出平面與平面的法向量，利用向量平夾角公式列方程可求得結(jié)