固體物理試題1答案

一、填空題（每小題2分，共12分）1、體心立方晶格的倒格子是面心立方點陣，面心立方晶格的倒格子是體心立方點陣。2、晶體宏觀對稱操作的基本元素分別是1、2、3、4、6、i、m（2）、4等八種。3、 N對鈉離子與氯離子組成的離子晶體中，獨立格波波矢數(shù)為N，聲學(xué)波有3支，光學(xué)波有3 支，總模式數(shù)為6N。4、 晶體的結(jié)合類型有金屬結(jié)合、共價結(jié)合、離子結(jié)合、范德瓦耳斯結(jié)合、氫鍵結(jié)合及混合鍵結(jié)合。5、共價結(jié)合的主要特點為 方向性與飽和性 。6、晶格常數(shù)為a的一維晶體電子勢能V（x）的傅立葉展開式前幾項（單位為eV）為：卩（x）=%+2exp（z—X）+iexp（z—x"）-i2exp（j—x）+—exp（z—6、在近自由電子近似下，第二個禁帶的寬度為 2（eV）。、單項選擇題（每小題2分，共12分）1、晶格常數(shù)為a的NaCl晶體的原胞體積等于（D）1、A、B、C、a5!2D、2、3、4A、B、C、a5!2D、2、3、4、5、6、D）。D、4.一個立方體的點對稱操作共有（C）。A、230個 B、320個 C、48個對于一維單原子鏈晶格振動的頻帶寬度，晶格振動的頻帶寬度變?yōu)樵瓉淼模ˋA、2倍B、4倍C、16倍晶格振動的能量量子稱為（CA、極化子B、激子

三維自由電子的能態(tài)密度金剛石晶體的配位數(shù)是（A、12 B、8C、6D、32個.若最近鄰原子之間的力常數(shù)B增大為4B，則）。1倍.D、）。C、聲子與能量E的關(guān)系是正比于（C）D、光子.1C、E1/2D、E.AC、E1/2D、E.三、問答題（每小題4分，共16分）1、與晶列［"叢］垂直的倒格面的面指數(shù)是什么?解答正格子與倒格子互為倒格子。正格子晶面（譏％）與倒格矢■■,］■kh=九勺+局玄+盡鳥垂直,則倒格晶面（矽J與正格矢瓦=也+呃+也正交。即晶列［仏厶］與倒格面（￡4）垂直。2、晶體的結(jié)合能、晶體的內(nèi)能、原子間的相互作用勢能有何區(qū)別?解答自由粒子結(jié)合成晶體過程中釋放出的能量,或者把晶體拆散成一個個自由粒子所需要的能量,稱為晶體的結(jié)合能。原子的動能與原子間的相互作用勢能之和為晶體的內(nèi)能。在0K時,原子還存在零點振動能.但零點振動能與原子間的相互作用勢能的絕對值相比小得多。所以,在0K時原子間的相互作用勢能的絕對值近似等于晶體的結(jié)合能。3、 溫度一定，一個光學(xué)波的聲子數(shù)目多呢,還是聲學(xué)波的聲子數(shù)目多?而對同一個振動模式,溫度高時的聲子數(shù)目多呢,還是溫度低時的聲子數(shù)目多?解答頻率為?的格波的（平均）聲子數(shù)為：1n（w）=e方w/kBT-1?因為光學(xué)波的頻率①。比聲學(xué)波的頻率①A高，（e加o/匕丁-1）大于（e加a/匕丁-1）,所以在溫度一定情況下,一個光學(xué)波的聲子數(shù)目少于一個聲學(xué)波的聲子數(shù)目。設(shè)溫度T〉T,由于（e心匕口-1）小于（e心匕乙-1）,所以溫度高時的聲子數(shù)目多于溫HL度低時的聲子數(shù)目?4、 將布洛赫函數(shù)中的調(diào)制因子u（r）展成付里葉級數(shù)，對于近自由電子，當(dāng)電子波矢遠(yuǎn)k離和在布里淵區(qū)邊界上兩種情況下,此級數(shù)有何特點?在緊束縛模型下,此級數(shù)又有什么特點?解答由布洛赫定理可知,晶體中電子的波函數(shù)由u（由u（r）的展開公式可得姝］叭k離布里淵區(qū)邊界時，它的行為與自由電子近似，。對于近自由電子,當(dāng)電子波矢遠(yuǎn)叱（玲近似一常數(shù)。因此，叱）的展開式中，除了住?）外，其它項可忽略?。當(dāng)電子波矢落在與倒格矢Kn正交的布里淵區(qū)邊界時，與布里淵區(qū)邊界平行的晶面族對布洛赫波產(chǎn)生了強(qiáng)烈的反射，妝⑺展開式中，除了迎）和gKQ兩項外，其它項可忽略?在緊束縛模型下，電子在格點牛附近的幾率樹認(rèn)削2大，偏離格點R的幾率就認(rèn)刼2小?。對于這樣的波函數(shù)，其付里葉級數(shù)的展式包含若干項.也就是說，緊1束縛模型下的布洛赫波函數(shù)要由若干個平面波來構(gòu)造。四、計算題（每小題10分，共30分）1、求出一維單原子鏈的S態(tài)能帶、速度、有效質(zhì)量的表達(dá)式解E（k）=E—J（0）-爹鄰J（R）e-ikRsssRs壬0=E—J（0）—J（e-ika+eika）=E—J（0）—2Jcos（ka）s1s1V(k)=1VE(K)=

島k1dE_2Ja= i—sinka島dk島d2E(k))=dk22Ja2coska12、某固體表面原子形成二維長方晶格，其布拉伐點陣為：R=la+la，其中~a，22求其倒格子點陣，并畫出第一、第二布里淵區(qū)。解2兀/ 、 2兀/b= (axa丿，b= (a1Q2 3 2Q3取a為垂直晶面的單位矢量k于是3b21nb+22圖中橫線區(qū)為1BZ，豎線區(qū)為2BZxa)，1,a、a0123、計算CsCl晶體的幾何結(jié)構(gòu)因子F(K)，并討論衍射h面指數(shù)與衍射光強(qiáng)的關(guān)系。解每個元胞有兩個不同離子，位矢為r:(0,0,0),r:(1/2,1/2,1/2)12所以，CsCl晶體的幾何結(jié)構(gòu)因子FK)為：hF(h,h,h)=E123fe-2兀(h1x1+h2ixi2+hxi3)=f+fe-汎(hi+h2+h3)當(dāng)h當(dāng)h+h+h=奇數(shù)，123F=fi-f12當(dāng)h+h+h=偶數(shù)，F(xiàn)=f+f；1 2 3 1 2衍射強(qiáng)度I*|f|2，所以，當(dāng)h+h123+h=偶數(shù)時，衍射加強(qiáng)，當(dāng)h+h+h=奇數(shù)時，衍射123減弱。如果f二f，貝I」I二0，出現(xiàn)衍射消光。12五、證明題(每小題題10分，共30分)1、NaCl型離子晶體排斥勢的冪指數(shù)為：4冗￡x18KR4n=1+ 0 0-ae2證：d2U晶體平衡時的體積彈性模量為K=V3dV2V0A B ne2 dU其中，V=N(2r3),U=N(-—+—),A= 平衡條件=0，結(jié)合諸式可得r rn 4n& drr00ne2(n-1)k= n=1+ o o—兀￡ 18R4 ne2002、某三維晶體光頻支的色散關(guān)系為?(q)=3-Aq2，則對應(yīng)的聲子譜密度為:0 (3 - (3 -3)1/24冗2A3/2 0P(3=)<003 <3<3min 03>303<3min3min2/3證：P(3)= 口(2冗)3dS V 4冗P(3)= 口(2冗)3dS V 4冗q23 = xV3(q)(2冗)3 2Aqqs— (ro-3)1/24冗2a3/2 03<3)02/3又由f30p(3)d3=N得3min3min (3 -3)1/24冗2a3/2 0所以，p(3=)<003 <3<3min 03>3 >03<3min3?根據(jù)布洛赫布洛赫定理,晶體中電子的波函數(shù)為屮且3>3minr)=eik.ru (r),ku(r)=u(r+R)，則kklr)滿足方程：(2⑴u- (Sik)2+V(r))u(r)=E(k)u(r)k2mkk(2)E(k)=E(k+k),屮 (r)=屮(r)，k為倒格矢。hk k+Khh證：▽2屮=▽2〔eik.ru(rk)〕=eik.r(▽+ik)2u(kr)①k▽2屮+V(r)屮=E(k)屮2m?(-?(-亙2m▽+ik)2+V(r))u(k,r)=E(k)u(k,r)又丁屮(r)