倫納德-高斯勢(shì)的相對(duì)動(dòng)能ur曲線

倫納德-高斯勢(shì)的相對(duì)動(dòng)能ur曲線

物質(zhì)由分子（或原子）組成。子熱運(yùn)動(dòng)與分子之間的相互作用是決定物質(zhì)各種熱學(xué)性質(zhì)的基本因素。分子之間的相互作用關(guān)系復(fù)雜，無法通過實(shí)驗(yàn)直接測(cè)量。從理論（即使是劑量理論）來看，很難提供普遍而簡(jiǎn)單的解決方案，也很難使用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)公式。通常，改進(jìn)的方法是基于實(shí)驗(yàn)的簡(jiǎn)化模型來處理問題。一個(gè)常見的模型是，假設(shè)分子之間的相互作用具有球?qū)ΨQ，1907年的美國(guó)指出，分子和原生動(dòng)物之間的相互作用是。u(r)=βrn-αrm(1)u(r)=βrn?αrm(1)其中α>0,β>0,n>m>0,它們是通過實(shí)驗(yàn)確定的常數(shù).式中第一項(xiàng)為排斥勢(shì),第二項(xiàng)為吸引勢(shì),且排斥勢(shì)作用半徑比吸引勢(shì)作用半徑小,式(1)簡(jiǎn)稱為米勢(shì).在多數(shù)情況下,取m=6,n為9～12之間的整數(shù),而以n=12為最佳.1924年,倫納德-瓊斯(Lennard-Jones)又提出了半經(jīng)驗(yàn)公式u(r)=u0[(r0r)12-2(r0r)6](2)式中u0是在平衡位置(r=r0)時(shí)的勢(shì)能的絕對(duì)值.式(2)簡(jiǎn)稱為倫納德-瓊斯勢(shì).由于米勢(shì)、倫納德-瓊斯勢(shì)中均有一對(duì)參數(shù)(兩種表式分別為α、β或u0、r0)是待定的,與物質(zhì)有關(guān),對(duì)于米勢(shì)還需選定n、m的值.因此,熱學(xué)、熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)和固體物理學(xué)教材一般僅繪制定性的分子勢(shì)能曲線與分子力曲線.本文探討米勢(shì)的相對(duì)勢(shì)能U及其相應(yīng)的相對(duì)力F與參數(shù)n、m的關(guān)系,并以雷納德—瓊斯勢(shì)為例,精確地繪制分子勢(shì)能曲線與力曲線.1美國(guó)的潛力1.1米勢(shì)的態(tài)勢(shì)分析由式(1),可得兩分子間的相互作用力f(r)=-du(r)dr=-mαrm+1+nβrn+1(3)在平衡位置r0處,分子所受的力為零.令f(r0)=0,可解得β=mαrn-m0n(4)r0=(nβmα)1n-m(5)式(4)代入式(1)得u(r)=-αrm+mαrn-m0nrn=mαr-m0n[(r0r)n-nm(r0r)m](6)在平衡位置r0處,勢(shì)能為u(r0),由上式有u0=-u(r0)=n-mnαr-m0(7)代入式(6)得u(r)=mn-mu0[(r0r)n-nm?(r0r)m](8)由上式可知,米勢(shì)由四個(gè)參數(shù)(u0、r0、n、m)確定.若給定某種分子的四個(gè)參數(shù)(u0、r0、n、m)值,則可繪制該種分子的勢(shì)能曲線.當(dāng)r=σ=n-m√mnr0(9)時(shí),u(σ)=0,排斥勢(shì)與吸引勢(shì)的絕對(duì)值相等,且等于u斥(σ)=mu0n-m?(nm)nn-m(10)根據(jù)式(9)、式(10),可將式(8)改寫成如下形式u(r)=u斥(σ)[(σr)n-(σr)m](11)u(r)對(duì)r的一階、二階導(dǎo)數(shù)分別為du(r)dr=-f(r)=mnn-mu0r0(-rn+10rn+1+rm+10rm+1)(12)d2u(r)dr2=-df(r)dr=mnn-mu0r20((n+1)rn+20rn+2-(m+1)rm+20rm+2)(13)由式(12)、(13)可知,在平衡位置r0處,勢(shì)能有極小值u(r0)=-u0,勢(shì)能曲線拐點(diǎn)位于r拐勢(shì)=δ=r0n-m√n+1m+1(14)由上述討論可知米勢(shì)的勢(shì)能曲線特征為:Ⅰ當(dāng)r→0時(shí),u(r)→+∞;當(dāng)r→+∞時(shí),u(r)→0;在平衡位置r0(>σ)處,勢(shì)能有極小值u(r0)=-u0.Ⅱ當(dāng)0<r≤σ時(shí),u(r)≥0;當(dāng)σ<r<+∞時(shí),u(r)<0.Ⅲ當(dāng)0<r≤r0時(shí),du(r)dr<0,即勢(shì)能隨r的增大而減小;當(dāng)r0<r<+∞時(shí),du(r)dr>0,即勢(shì)能隨r的增大而增大.Ⅳ勢(shì)能曲線拐點(diǎn)位于δ(>r0)處,當(dāng)0<r<δ時(shí),曲線是凹的;當(dāng)δ<r<+∞時(shí),曲線是凸的.1.2相對(duì)勢(shì)能曲線的繪制令相對(duì)距離R=r/r0,相對(duì)勢(shì)能U(R)=u(R)/u0,則式(8)變?yōu)閁(R)=mn-m(1Rn-nm?1Rm)(15)上式表示米勢(shì)的相對(duì)勢(shì)能僅由二個(gè)參數(shù)(n、m)確定,與參數(shù)(r0、u0)無關(guān).只要給定參數(shù)n、m的值,就可以繪制一類分子的相對(duì)勢(shì)能曲線.1.3平衡位置t在討論固體、液體中分子的熱振動(dòng)以及固體的熱膨脹時(shí),需要知道分子在平衡位置附近的勢(shì)能曲線形狀.為此,將米勢(shì)u(r)在平衡位置r=r0處(即令r=r0+x)展開成泰勒級(jí)數(shù)u(r)=u(r0)+(dudr)r=r0?x+12!(d2udr2)r=r0?x2+13!(d3udr3)r=r0?x3+14!(d4udr4)r=r0?x4+?式(8)對(duì)r的零階、一階、二階與三階導(dǎo)數(shù)在平衡位置r=r0處的值分別為u(r0)=-u0?du(r)dr|r=r0=mnn-mu0r0[-rn+10rn+1+rm+10rm+1]r=r0=0?d2u(r)dr2|r=r0=mnn-mu0r20[(n+1)rn+20rn+2-(m+1)rm+20rm+2]r=r0=mnu0r20?d3u(r)dr3|r=r0=mnn-mu0r30[-(n+1)(n+2)rn+30rn+3+(m+1)(m+2)rm+30rm+3]r=r0=-mn(m+n+3)u0r30(16)代入米勢(shì)u(r)的展開式,并保留到第四項(xiàng),得u(x)≈-u0+12mnu0r20x2-16mn(m+n+3)u0r30x3(17)上式為米勢(shì)u(r)的近似式,其成立條件為x?r0.若令相對(duì)距離X=x/r0,相對(duì)勢(shì)能U(X)=u(x)/u0,則式(17)可改寫為U(X)=-1+12mnX2-16mn(m+n+3)X3(18)上式為米勢(shì)u(r)的近似式,其成立條件為X?1.若保留到第二項(xiàng),則勢(shì)能曲線為拋物線,分子應(yīng)在平衡位置附近作簡(jiǎn)諧振動(dòng);若保留到第三項(xiàng),則勢(shì)能曲線不是拋物線,勢(shì)能曲線在平衡位置附近不再對(duì)稱,分子將在平衡位置附近作非簡(jiǎn)諧振動(dòng).1.4米勢(shì)曲線設(shè)計(jì)式(4)代入式(3)得f(r)=mαr-(m+1)0[-(r0r)m+1+(r0r)n+1]令f0斥=mαr-(m+1)0,并由式(7)可得f0斥=mαr-(m+1)0=mnn-m?u0r0(19)它是平衡位置r0處分子受到的斥力.于是,與米勢(shì)相應(yīng)的分子間的相互作用力為f(r)=mnn-m?u0r0[-(r0r)m+1+(r0r)n+1]=f0斥[-(r0r)m+1+(r0r)n+1](20)當(dāng)r=r0時(shí),f(r0)=0,排斥力與吸引力的大小相等.由(13)式可知,勢(shì)能曲線拐點(diǎn)(r勢(shì)拐=δ=r0n-m√n+1m+1)對(duì)應(yīng)于力曲線的“極小值”f(δ)=f0斥(m+1n+1)m+1n-m(m+1n+1-1)=-f0斥(n-mn+1)(m+1n+1)m+1n-m(21)令d2f(r)dr2=-d3u(r)dr3=0,可得力曲線拐點(diǎn)r力拐=λ=r0n-m√(n+1)(n+2)(m+1)(m+2)(22)由上述討論可知米勢(shì)的力曲線特征為:Ⅰ當(dāng)r→0時(shí),f(r)→+∞;當(dāng)時(shí)r→+∞,f(r)→0;在r=δ(對(duì)應(yīng)于勢(shì)能曲線拐點(diǎn))處,f(r)有極小值.Ⅱ當(dāng)0<r≤r0時(shí),f(r)≥0;當(dāng)r0<r<+∞時(shí),f(r)<0.Ⅲ當(dāng)0<r≤δ時(shí),df(r)dr<0,即f(r)隨r的增大而減小;當(dāng)δ<r<+∞時(shí),df(r)dr>0,即f(r)隨r的增大而增大.Ⅳ力曲線拐點(diǎn)位于λ(>δ)處,當(dāng)0<r<λ時(shí),曲線是凹的;當(dāng)λ<r<+∞時(shí),曲線是凸的.1.5相對(duì)力曲線的繪制令相對(duì)距離R=r/r0,相對(duì)力F(R)=f(r)/f0斥,則式(20)變?yōu)镕(R)=(1R)n+1-(1R)m+1(23)上式表示米勢(shì)的相對(duì)力僅由二個(gè)參數(shù)(n、m)確定,與參數(shù)(r0、u0)無關(guān).只要給定參數(shù)n、m的值,就可以繪制一類分子的相對(duì)力曲線.1.6x+12mnm+n+3u2004由式(17),可得米勢(shì)的近似分子力為f(x)=-du(x)dx≈-mnu0r20x+12mn(m+n+3)u0r30x2(24)令相對(duì)距離X=x/r0,相對(duì)分子力F(X)=f(x)/f0斥,則式(24)可改寫為F(X)=-(n-m)X+12(n-m)(m+n+3)X2(25)(24)式與(25)式的成立條件均為X?1.2倫納德瓊斯2.1倫納德-斯塔勢(shì)的ur值當(dāng)米勢(shì)中的m=6、n=12時(shí),米勢(shì)即為倫納德-瓊斯勢(shì)u(r)=βr12-αr6(26)令式(8)中的m=6、n=12,上式變?yōu)槭?2)的形式u(r)=u0[(r0r)12-2(r0r)6](2)令式(10)、式(11)中的m=6、n=12,則u斥(σ)=4u0,倫納德-瓊斯勢(shì)可寫成如下形式u(r)=4u0[(σr)n-(σr)m](27)2.2相對(duì)進(jìn)攻指數(shù)12-2r-28令式(15)中的m=6、n=12,可得倫納德-瓊斯勢(shì)的相對(duì)勢(shì)能為U(R)=R-12-2R-6(28)根據(jù)上式,使用數(shù)學(xué)軟件Matlab繪制雷納德-瓊斯勢(shì)的相對(duì)勢(shì)能曲線以及排斥勢(shì)、吸引勢(shì)的相對(duì)勢(shì)能曲線,如圖1所示.相對(duì)勢(shì)能曲線是不對(duì)稱的,平衡位置(R=1)的左邊較陡,右邊較平坦,勢(shì)能曲線拐點(diǎn)位于R=1.1087處.2.3林分密度的相對(duì)力令式(20)中的m=6、n=12,可得倫納德-瓊斯勢(shì)的分子力為f(r)=f0斥[-(r0r)7+(r0r)13](29)式中f0斥=12u0/r0是平衡位置r0處分子受到的斥力.令式(23)中的m=6、n=12,可得倫納德-瓊斯勢(shì)的相對(duì)分子力為F(R)=R-(n+1)-R-(m+1)=R-13-R-7(30)根據(jù)上式,使用數(shù)學(xué)軟件Matlab繪制雷納德-瓊斯勢(shì)的相對(duì)力曲線以及排斥力、吸引力的相對(duì)力曲線,如圖2所示.相對(duì)力曲線也是不對(duì)稱的,平衡位置(R=1)的左邊較陡,右邊較平坦,力曲線拐點(diǎn)位于R=1.2171處.根據(jù)文獻(xiàn)提供的氣體參數(shù)u0(平衡位置的勢(shì)能的大小)和σ(排斥勢(shì)與吸引勢(shì)的絕對(duì)值相等點(diǎn))的值,利用關(guān)系式r0=6√2σ、δ=r06√13/7?f0斥=12u0/r0可計(jì)算出平衡位置r0、f(r)的極值點(diǎn)δ(|f(δ)|/f0斥=0.22416),平衡位置處分子受到的斥力f0斥的值,見表1.2.4雷納德-斯德哥爾摩勢(shì)特性的近似分析令式(18)中的m=6、n=12,可得倫納德-瓊斯勢(shì)在平衡位置附近的近似相對(duì)勢(shì)能為U(X)=-1+36X2-252X3(31)其成立條件為X?1.由它所繪制的雷納德-瓊斯勢(shì)的近似相對(duì)勢(shì)能曲線如圖3中的實(shí)線所示.從圖3可知,近似的相對(duì)勢(shì)能曲線也是不對(duì)稱的,平衡位置(X=0)的左邊較陡,右邊較平坦.2.5分子間距對(duì)拉格朗日乘子法發(fā)展的影響令式(25)中的m=6、n=12,可得倫納德-瓊斯勢(shì)在平衡位置附近的近似相對(duì)力為F(X)=-6X+63X2(32)由它所繪制的繪制雷納德-瓊斯勢(shì)的近似相對(duì)力曲線如圖4中的實(shí)線所示.若略去式(32)的第二項(xiàng),則近似相對(duì)力為線性恢復(fù)力,其相對(duì)力曲線如圖4中的虛線所示.由圖4可看出,恢復(fù)力在平衡位置兩邊也不對(duì)稱.當(dāng)X>0時(shí),恢復(fù)力比線性關(guān)系所預(yù)期的值小,則當(dāng)X<0時(shí),恢復(fù)力比線性關(guān)系所預(yù)期的值大.即兩分子間距增大時(shí),吸引力比線性關(guān)系所預(yù)期的值小,兩分子間距減小時(shí),斥力比線性關(guān)系所預(yù)期的值大.本文引入相對(duì)距離R、相對(duì)勢(shì)能U與相對(duì)力F,導(dǎo)出了米勢(shì)的相對(duì)勢(shì)能U(R)及其相應(yīng)的相對(duì)力F(R)與參數(shù)n、m的關(guān)系,并精確地繪制了倫納德-瓊斯勢(shì)的相對(duì)勢(shì)能U(R)曲線及其相應(yīng)的相對(duì)力F(R)曲線,形象直觀準(zhǔn)確地顯示了它們的