實驗11落球法測量液體的粘滯系數(shù)

實驗11落球法測量液體的粘滯系數(shù)摘要黏滯系數(shù)是描述液體內(nèi)摩擦性質(zhì)的一個重要物理量，在工業(yè)、農(nóng)業(yè)以及醫(yī)學(xué)方面有著重要的應(yīng)用。在黏滯系數(shù)的諸多測量方法中，傳統(tǒng)的落球法現(xiàn)象直觀，被廣泛應(yīng)用于大學(xué)物理實驗。然而，目前落球法常用的秒表計時或光電門計時都會代來很大的不確定度。對此，我們提出了全新的測量理念——低速攝影法。與傳統(tǒng)光電法以及CCD法不同，我們放慢視角，設(shè)置較長的曝光時間，用每張圖片記錄下小球“單位時間”下落軌跡?；谲壽E長度以及曝光時間等參數(shù)，可以直接算得小球勻速下落速度，進(jìn)而求得黏滯系數(shù)，具有響應(yīng)快、精度高、裝置簡的優(yōu)勢。進(jìn)一步的，基于低速攝影法，實驗觀測到高速下落的小球受渦流、壓阻作用而旋轉(zhuǎn)、偏離豎直線的現(xiàn)象，并結(jié)合數(shù)據(jù)與模型探討了其對結(jié)果的影響。分析表明，落球法測量黏滯系數(shù)實驗中可通過小球密度和半徑的調(diào)節(jié)來控制落球速度,有效避免渦旋和壓阻帶來的誤差。關(guān)鍵詞

黏滯系數(shù)；攝影法；落球法；曝光時間；像素液體黏滯系數(shù)是表征液體反抗形變壓力的重要參數(shù)，是描述液體內(nèi)摩擦性質(zhì)的一個重要物理量，在工業(yè)、農(nóng)業(yè)以及醫(yī)學(xué)方面有著重要的應(yīng)用[1]。黏滯系數(shù)的測量方法有很多，如毛細(xì)管法、奧氏黏度計法、落球法、轉(zhuǎn)筒法等，但是各種測量方法都未盡完善[2-5]。落球法是比較常用的方法，通過測量液體中小球的速度從而計算液體的黏滯系數(shù)。目前落球法的實驗方案主要有秒表計時，光電門計時。然而這兩種方法都存在一定的局限性：秒表本身精度有限，計量又嚴(yán)重依賴人的反應(yīng)，引入的實驗不確定度很大；光電門雖然反應(yīng)靈敏、抗干擾能力強(qiáng)，但在實際實驗操作過程中，需要對兩個光電門進(jìn)行位置上的精確調(diào)節(jié)，確保小球落下時能經(jīng)過兩束激光。人用肉眼判斷本身就不準(zhǔn)確，再加上光的折射等問題，在操作上十分困難。為了尋求一種更優(yōu)良的方案，我們提出了一種較新的測量理念——低速攝影法。在用相機(jī)拍攝運動的小球時，使用較長的曝光時間（實驗中根據(jù)小球的速度使用了0.5~6s），利用單張圖像即可記錄下小球的一段軌跡；對比一系列的圖像，基于軌跡長度以及曝光時間，可以準(zhǔn)確并迅速地判斷出勻速區(qū)域，并直接算得小球的下落速度，進(jìn)而求得黏滯系數(shù)。1實驗原理和設(shè)計方案1.1黏滯系數(shù)力學(xué)原理設(shè)液體的黏滯系數(shù)為

η，小球的速度為

v，小球的直徑為

d。若小球的速度較小，液體無限深廣，由斯托克斯定律，黏滯阻力F

=3πηvd

（1）當(dāng)小球在豎直方向上勻速下降，重力

mg，浮力

ρgV，黏滯阻力3πηvd

達(dá)到平衡，如圖1所示，有mg

=

ρgV

+3πηvd

（2）解得黏滯系數(shù)代入，得在實驗中，小球在量筒中下落，液體不滿足無限深廣的條件。因此，上式應(yīng)修正為[3,7]其中，D

為量筒內(nèi)徑；H

為液柱高度。1.2低速攝影法測量原理用相機(jī)拍攝運動中的小球，根據(jù)圖像中軌跡的像素數(shù)量可換算出小球?qū)嶋H的軌跡長度。豎直放置量筒，于5m外設(shè)立相機(jī)、三腳架，如圖2所示。假想平面1（量筒中軸）上有兩參考物

A，B，間距為

l0。在相機(jī)拍攝到的圖像中，設(shè)

l0

這一段占用了

n0

個像素，而小球的軌跡

l

占用了

n

個像素。按比例關(guān)系有解得實際上，A，B

上沒有參考物，我們無法直接觀察

A，B

兩點。不過依然有辦法“看到”它們。記100ml，1000ml兩條刻度線的前端點為

C，D，因為相機(jī)、C、A

共線，所以

A，C

成像后重合。同理，B，D

重合。我們在圖像中看到的兩刻度線的前端點就代表了參考點

A，B。為換算軌跡長度，還需求

l0。測量

A，C

間距

l′0，由比例關(guān)系得繼而得到

l

的換算關(guān)系式實驗中，應(yīng)盡量讓小球沿兩桶中軸線下降，這才能保持準(zhǔn)確的503/500的比例關(guān)系，同時盡可能地克服“液體有限深廣”的限制。例：圖3顯示了一次小球下落的過程，求該軌跡的實際長度。由Photoshop選區(qū)工具讀出n=485，n0=2825。用直尺測得l′0=30.5cm。代入式（6）得軌跡長度即，該軌跡的實際長度為5.27cm。2實驗裝置與系統(tǒng)誤差分析在桌上豎直放置量筒，在量筒上方使用強(qiáng)光手電向下打光，于5m左右距離處設(shè)立相機(jī)、三腳架。實驗中，使用無水乙醇清洗小球；使用鑷子向量筒釋放小球；使用游標(biāo)卡尺測量筒內(nèi)徑；使用螺旋測微器測量小球直徑；使用高精度電子天平測量小球質(zhì)量；使用直尺測量液柱高度和參考距離。為了進(jìn)行不同溫度下的對比實驗，使用數(shù)碼顯示熱敏電阻溫度計配合可控溫加熱箱測溫并控溫。由于鏡頭的光學(xué)設(shè)計不是完美的，鏡頭拍攝出的圖像會出現(xiàn)一定的畸變，如圖4所示。物

x

經(jīng)光學(xué)系統(tǒng)呈畸變像

f(x)。如果在畸變的圖像

f(x)上取軌跡，測量軌跡像素數(shù)量，則不能客觀地反應(yīng)實物的長短，就會引入系統(tǒng)誤差。一枚鏡頭完成對焦后，如果保持對焦?fàn)顟B(tài)不變，而且不進(jìn)行變焦，則鏡頭的光學(xué)畸變是恒定不變的。也就是說，有唯一確定的畸變函數(shù)

f。因此，存在逆函數(shù)

f

-1，使得我們可以把畸變的圖像還原，去除畸變。鏡頭的生產(chǎn)公司通常會提供這一逆函數(shù)，我們從鏡頭公司的網(wǎng)站上下載了該逆函數(shù)，去除了畸變，防止了系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生。小球軌跡端點的判定影響著軌跡長度的測量。在拍攝該圖像的時間內(nèi)，小球的位移為Δx。而圖像亮線的頂端至底端，包含了小球的位移Δx

和小球直徑

d。為了得到位移Δx

的像素數(shù)量，可以用整個亮線的像素數(shù)量，減去小球直徑的像素數(shù)量。為此，需要測量小球直徑的像素數(shù)量。并通過多次拍攝取平均值，可以得到更精確的結(jié)果。3實驗過程用直徑為1.5mm的大球和直徑1.0mm的小球分別測量優(yōu)級純甘油在30℃，40℃，50℃，60℃，70℃的黏滯系數(shù)。首先將甘油沿量筒壁緩慢倒入量筒，放入可控溫加熱箱加熱到設(shè)定的溫度，并且保證各處均勻無氣泡。用直尺測量100ml、900ml兩條刻度線的距離，記為

l′0。用直尺測量液柱高度，記為

H。用游標(biāo)卡尺測量量筒內(nèi)徑，記為

D。取大球、小球各100個，用無水乙醇浸泡后晾干。分別以100個大球和小球為整體，用高精度電子秤測量其質(zhì)量，并記錄測量結(jié)果

M。兩種球各取6個，用螺旋測微器測量其直徑，記為

d。預(yù)先布置好相機(jī)和三腳架，將量筒放在計劃位置，用強(qiáng)光手電筒從量筒頂部打光。相機(jī)采用連拍模式，設(shè)置合適的曝光時間

t

并記錄，同時記錄相機(jī)拍攝兩張圖片之間的間隙

tint。先后用鑷子夾取5個大球和5個小球，一次一個地將球投入甘油中，相機(jī)持續(xù)拍攝。分別拍攝70℃，60℃，50℃，40℃和30℃時小球的下落軌跡，并記錄相應(yīng)的曝光時間。4實驗結(jié)果與分析1）計算小球的加速度，找到勻速運動區(qū)段以某溫度下的一次落球?qū)嶒灋槔?。將小球下落過程中拍攝的圖像導(dǎo)入Photoshop，連續(xù)的5張圖像疊加后的結(jié)果如圖5所示。設(shè)實驗中某段軌跡的長度為

l，則該段軌跡的平均速度為

v

=

l/t。每兩段軌跡之間的時間差為Δt

=

t

+

tint，則小球在兩段軌跡間的加速度應(yīng)為經(jīng)計算，在所有溫度下，在量筒下部，小球的加速度均滿足可以認(rèn)為小球在量筒下部做勻速直線運動。2）計算甘油的黏滯系數(shù)取勻速區(qū)段的圖像，讀出每次實驗的軌跡像素數(shù)，取平均值得到

n，繼而換算出對應(yīng)的軌跡長度

l。測量小球的直徑、質(zhì)量，取甘油密度

ρ

=1256kg/m3，重力加速度

g

=9.807m/s2，將各參量轉(zhuǎn)為國際單位制，代入式（5），得到甘油的黏滯系數(shù)如表1：

對數(shù)據(jù)做曲線擬合，并與甘油黏滯系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)值[8,9]進(jìn)行比較，如圖6所示。結(jié)果顯示，1.0mm實驗結(jié)果（□）與標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)（○）符合得非常好。1.5mm實驗結(jié)果（×）與標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)（○）在低溫段（30~50℃）匹配地很好，但是在高溫段（50~70℃），實驗結(jié)果顯著高于標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)。溫度越高，這一誤差越顯著。3）高速運動小球運動分析實驗中發(fā)現(xiàn)，隨著溫度的逐漸升高，甘油黏滯系數(shù)逐漸減小，小球在其中的勻速區(qū)段速度顯著增加；另外，不同小球在相同環(huán)境中的運動速度也不同，質(zhì)量越大，運動速度越快，例如本實驗中分別采用了直徑為1.5mm、1.0mm的小球，1.0mm球的下落速度明顯低于1.5mm球。用1.5mm鋼球測得甘油在各溫度下的黏滯系數(shù)，其相對誤差與小球勻速區(qū)段速度的關(guān)系如圖7所示，當(dāng)小球速度

v>2.5cm/s，黏滯系數(shù)的相對誤差隨速度增大而迅速增長。小球在流體中運動，理想的運動模型如圖8(a)所示。小球受到的迎面阻力包含兩種：黏滯阻力和壓差阻力[11,12]。黏滯阻力是流體粘性導(dǎo)致的內(nèi)摩擦力，壓差阻力是小球周圍液體壓強(qiáng)差的作用結(jié)果。落球法測量黏滯系數(shù)過程中，通常忽略壓差阻力的影響，近似認(rèn)為小球受到的阻力完全由黏滯阻力構(gòu)成，得到黏滯系數(shù)的表達(dá)式，繼而通過實驗測得甘油的黏滯系數(shù)[3,7]。這一近似在什么條件下才是合理的？小球運動速度較低時，其對周圍液體流動情況的影響較小。周圍液體流速均勻，壓強(qiáng)也均勻，小球受到的壓差阻力可以忽略。當(dāng)小球運動速度加快，周圍液體的流動將受到較大影響。如圖8(e)所示，小球向前運動，前方的液體流動受阻、速度較低；小球的后方卻出現(xiàn)“空缺”，周圍的液體向“空缺處”填充，流速較高，形成了渦流[11,12]。小球后方液體的流速快于前方，因而后方的壓強(qiáng)小于前方，小球?qū)⑹艿较蚝蟮膲翰钭枇11,12]。小球的速度越快，壓差阻力就越顯著，此時，若仍然認(rèn)為小球受到的阻力完全由黏滯力構(gòu)成，就相當(dāng)于把壓差阻力也歸于黏滯阻力，高估了液體的黏性，黏滯系數(shù)的計算結(jié)果就會偏高。同時，壓差阻力的水平分量也對實驗結(jié)果產(chǎn)生影響。小球運動會導(dǎo)致兩側(cè)液體流動不均勻，如圖8(h)、(i)模型所示。在不均勻渦流的作用下，小球傾向于產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)、橫移，有偏離豎直線的趨勢。此時，小球的運動將不再是豎直方向上的一維問題，其受力情況將更為復(fù)雜。30℃、50℃、70℃甘油中1.5mm直徑鋼球的下落軌跡分別如圖8(b)、(c)、(d)所示。仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)，30℃時軌跡基本為一條直線；50℃、70℃時，下落軌跡有輕微的扭曲。當(dāng)采用黏滯系數(shù)極小的純凈水作為研究對象，低速攝影法觀測到了小球出現(xiàn)明顯的橫移現(xiàn)象，如圖8(f)、(g)所示，分別為連續(xù)拍攝過程和幾個分段過程的疊加，均出現(xiàn)“左右搖擺”的偏離直線現(xiàn)象。綜上所述，當(dāng)測量黏滯系數(shù)較低的液體，為效避免渦旋和壓阻的影響，應(yīng)當(dāng)把小球的下落速度控制在較低的范圍。為控制小球速度，可以通過選擇適當(dāng)密度和直徑的小球。使用密度盡量低、直徑盡量小的球，則可以保證小球的下落較慢。以本實驗為例，當(dāng)前采用的小球材質(zhì)為鋼，密度

ρ

=7.4g/cm3；若更換小球，采用密度相對較小但略大于待測液體密度的材質(zhì)，如采用玻璃、鋁（密度

ρ

<3g/cm3），相同流體環(huán)境下小球的下落速度將大大降低，黏滯系數(shù)的測量范圍將大大拓展。4）不確定度分析基于式（5），根據(jù)不確定度的傳遞法則[7]，得出黏滯系數(shù)相對不確定度的表達(dá)式求出各中間量及其不確定度，代入公式(7)，即可得黏滯系數(shù)的不確定度Δη。根據(jù)1.0mm小球的實驗數(shù)據(jù)，易得各物理量的測量值為d=1.000±0.006mmm=3.850±0.010mgD=6.250±0.005cmH=33.90±0.01cml′0=30.50±0.01cmn=391.3±1.4(T=30.7℃)n=768±12(T=40.0℃)n=491±11(T=49.0℃)n=310±7(T=57.0℃)n=332±6(T=68.0℃)代入黏滯系數(shù)不確定度的表達(dá)式，得甘油黏滯系數(shù)的相對不確定度和不確定度，如圖9所示。結(jié)果表明，實驗的相對不確定度Δη/η<3%。不確定度Δη<0.011Pa·s，實驗精度優(yōu)于0.01Pa·s。為分析黏滯系數(shù)不確定度受各參數(shù)影響的強(qiáng)弱，只需比較不確定度表達(dá)式根式中的各項的大小。不妨以49℃的數(shù)據(jù)為例，代表質(zhì)量

m

對結(jié)果影響程度的項代表軌跡長度

l

(軌跡像素數(shù)量

n

)對結(jié)果影響程度的項D，H

用于修正，影響小。ΔD，ΔH

的兩項不予考慮。代表小球直徑對結(jié)果影響程度的項比較這三項，可知。這表明黏滯系數(shù)不確定度的主要來源軌跡長度的不確定度。而軌跡長度的不確定度以A類不確定度為主，所以可以增加落球試驗的重復(fù)次數(shù)，以降低誤差。通過測量小球的下落速度而計算液體的黏滯系數(shù)，這是低速攝影法與傳統(tǒng)秒表計量的共同思路。然而，人工控制秒表需要憑肉眼判斷小球的速度與位置，還需對運動的小球做出反應(yīng)，實驗過程中一般會出現(xiàn)0.2~0.5s甚至更高的時間誤差。假設(shè)計時總長為5s，這一時間誤差可以占到4%~10%甚至更高，對結(jié)果的準(zhǔn)確性產(chǎn)生嚴(yán)重的影響。本文提出的低速攝影法采用自動連續(xù)拍攝的方法，時間誤差基本可以降為0%，并發(fā)揮了現(xiàn)代相機(jī)的高像素優(yōu)勢，獲得了高分辨率的圖片（2000萬~6000萬像素），不僅擁有更高的精度，而且可以測量黏滯系數(shù)更低、小球在其中運動更快的液體。5結(jié)語針對落球法測量液體黏滯系數(shù)的過程中的“計時”困難，我們提出了全新的測量理念——低速攝影法。與傳統(tǒng)光電門法以及CCD法不同，面對靈動敏捷的小球，我們不急于通過