實(shí)驗(yàn)11落球法測(cè)量液體的粘滯系數(shù)

實(shí)驗(yàn)11落球法測(cè)量液體的粘滯系數(shù)摘要黏滯系數(shù)是描述液體內(nèi)摩擦性質(zhì)的一個(gè)重要物理量，在工業(yè)、農(nóng)業(yè)以及醫(yī)學(xué)方面有著重要的應(yīng)用。在黏滯系數(shù)的諸多測(cè)量方法中，傳統(tǒng)的落球法現(xiàn)象直觀(guān)，被廣泛應(yīng)用于大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)。然而，目前落球法常用的秒表計(jì)時(shí)或光電門(mén)計(jì)時(shí)都會(huì)代來(lái)很大的不確定度。對(duì)此，我們提出了全新的測(cè)量理念——低速攝影法。與傳統(tǒng)光電法以及CCD法不同，我們放慢視角，設(shè)置較長(zhǎng)的曝光時(shí)間，用每張圖片記錄下小球“單位時(shí)間”下落軌跡?；谲壽E長(zhǎng)度以及曝光時(shí)間等參數(shù)，可以直接算得小球勻速下落速度，進(jìn)而求得黏滯系數(shù)，具有響應(yīng)快、精度高、裝置簡(jiǎn)的優(yōu)勢(shì)。進(jìn)一步的，基于低速攝影法，實(shí)驗(yàn)觀(guān)測(cè)到高速下落的小球受渦流、壓阻作用而旋轉(zhuǎn)、偏離豎直線(xiàn)的現(xiàn)象，并結(jié)合數(shù)據(jù)與模型探討了其對(duì)結(jié)果的影響。分析表明，落球法測(cè)量黏滯系數(shù)實(shí)驗(yàn)中可通過(guò)小球密度和半徑的調(diào)節(jié)來(lái)控制落球速度,有效避免渦旋和壓阻帶來(lái)的誤差。關(guān)鍵詞

黏滯系數(shù)；攝影法；落球法；曝光時(shí)間；像素液體黏滯系數(shù)是表征液體反抗形變壓力的重要參數(shù)，是描述液體內(nèi)摩擦性質(zhì)的一個(gè)重要物理量，在工業(yè)、農(nóng)業(yè)以及醫(yī)學(xué)方面有著重要的應(yīng)用[1]。黏滯系數(shù)的測(cè)量方法有很多，如毛細(xì)管法、奧氏黏度計(jì)法、落球法、轉(zhuǎn)筒法等，但是各種測(cè)量方法都未盡完善[2-5]。落球法是比較常用的方法，通過(guò)測(cè)量液體中小球的速度從而計(jì)算液體的黏滯系數(shù)。目前落球法的實(shí)驗(yàn)方案主要有秒表計(jì)時(shí)，光電門(mén)計(jì)時(shí)。然而這兩種方法都存在一定的局限性：秒表本身精度有限，計(jì)量又嚴(yán)重依賴(lài)人的反應(yīng)，引入的實(shí)驗(yàn)不確定度很大；光電門(mén)雖然反應(yīng)靈敏、抗干擾能力強(qiáng)，但在實(shí)際實(shí)驗(yàn)操作過(guò)程中，需要對(duì)兩個(gè)光電門(mén)進(jìn)行位置上的精確調(diào)節(jié)，確保小球落下時(shí)能經(jīng)過(guò)兩束激光。人用肉眼判斷本身就不準(zhǔn)確，再加上光的折射等問(wèn)題，在操作上十分困難。為了尋求一種更優(yōu)良的方案，我們提出了一種較新的測(cè)量理念——低速攝影法。在用相機(jī)拍攝運(yùn)動(dòng)的小球時(shí)，使用較長(zhǎng)的曝光時(shí)間（實(shí)驗(yàn)中根據(jù)小球的速度使用了0.5~6s），利用單張圖像即可記錄下小球的一段軌跡；對(duì)比一系列的圖像，基于軌跡長(zhǎng)度以及曝光時(shí)間，可以準(zhǔn)確并迅速地判斷出勻速區(qū)域，并直接算得小球的下落速度，進(jìn)而求得黏滯系數(shù)。1實(shí)驗(yàn)原理和設(shè)計(jì)方案1.1黏滯系數(shù)力學(xué)原理設(shè)液體的黏滯系數(shù)為

η，小球的速度為

v，小球的直徑為

d。若小球的速度較小，液體無(wú)限深廣，由斯托克斯定律，黏滯阻力F

=3πηvd

（1）當(dāng)小球在豎直方向上勻速下降，重力

mg，浮力

ρgV，黏滯阻力3πηvd

達(dá)到平衡，如圖1所示，有mg

=

ρgV

+3πηvd

（2）解得黏滯系數(shù)代入，得在實(shí)驗(yàn)中，小球在量筒中下落，液體不滿(mǎn)足無(wú)限深廣的條件。因此，上式應(yīng)修正為[3,7]其中，D

為量筒內(nèi)徑；H

為液柱高度。1.2低速攝影法測(cè)量原理用相機(jī)拍攝運(yùn)動(dòng)中的小球，根據(jù)圖像中軌跡的像素?cái)?shù)量可換算出小球?qū)嶋H的軌跡長(zhǎng)度。豎直放置量筒，于5m外設(shè)立相機(jī)、三腳架，如圖2所示。假想平面1（量筒中軸）上有兩參考物

A，B，間距為

l0。在相機(jī)拍攝到的圖像中，設(shè)

l0

這一段占用了

n0

個(gè)像素，而小球的軌跡

l

占用了

n

個(gè)像素。按比例關(guān)系有解得實(shí)際上，A，B

上沒(méi)有參考物，我們無(wú)法直接觀(guān)察

A，B

兩點(diǎn)。不過(guò)依然有辦法“看到”它們。記100ml，1000ml兩條刻度線(xiàn)的前端點(diǎn)為

C，D，因?yàn)橄鄼C(jī)、C、A

共線(xiàn)，所以

A，C

成像后重合。同理，B，D

重合。我們?cè)趫D像中看到的兩刻度線(xiàn)的前端點(diǎn)就代表了參考點(diǎn)

A，B。為換算軌跡長(zhǎng)度，還需求

l0。測(cè)量

A，C

間距

l′0，由比例關(guān)系得繼而得到

l

的換算關(guān)系式實(shí)驗(yàn)中，應(yīng)盡量讓小球沿兩桶中軸線(xiàn)下降，這才能保持準(zhǔn)確的503/500的比例關(guān)系，同時(shí)盡可能地克服“液體有限深廣”的限制。例：圖3顯示了一次小球下落的過(guò)程，求該軌跡的實(shí)際長(zhǎng)度。由Photoshop選區(qū)工具讀出n=485，n0=2825。用直尺測(cè)得l′0=30.5cm。代入式（6）得軌跡長(zhǎng)度即，該軌跡的實(shí)際長(zhǎng)度為5.27cm。2實(shí)驗(yàn)裝置與系統(tǒng)誤差分析在桌上豎直放置量筒，在量筒上方使用強(qiáng)光手電向下打光，于5m左右距離處設(shè)立相機(jī)、三腳架。實(shí)驗(yàn)中，使用無(wú)水乙醇清洗小球；使用鑷子向量筒釋放小球；使用游標(biāo)卡尺測(cè)量筒內(nèi)徑；使用螺旋測(cè)微器測(cè)量小球直徑；使用高精度電子天平測(cè)量小球質(zhì)量；使用直尺測(cè)量液柱高度和參考距離。為了進(jìn)行不同溫度下的對(duì)比實(shí)驗(yàn)，使用數(shù)碼顯示熱敏電阻溫度計(jì)配合可控溫加熱箱測(cè)溫并控溫。由于鏡頭的光學(xué)設(shè)計(jì)不是完美的，鏡頭拍攝出的圖像會(huì)出現(xiàn)一定的畸變，如圖4所示。物

x

經(jīng)光學(xué)系統(tǒng)呈畸變像

f(x)。如果在畸變的圖像

f(x)上取軌跡，測(cè)量軌跡像素?cái)?shù)量，則不能客觀(guān)地反應(yīng)實(shí)物的長(zhǎng)短，就會(huì)引入系統(tǒng)誤差。一枚鏡頭完成對(duì)焦后，如果保持對(duì)焦?fàn)顟B(tài)不變，而且不進(jìn)行變焦，則鏡頭的光學(xué)畸變是恒定不變的。也就是說(shuō)，有唯一確定的畸變函數(shù)

f。因此，存在逆函數(shù)

f

-1，使得我們可以把畸變的圖像還原，去除畸變。鏡頭的生產(chǎn)公司通常會(huì)提供這一逆函數(shù)，我們從鏡頭公司的網(wǎng)站上下載了該逆函數(shù)，去除了畸變，防止了系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生。小球軌跡端點(diǎn)的判定影響著軌跡長(zhǎng)度的測(cè)量。在拍攝該圖像的時(shí)間內(nèi)，小球的位移為Δx。而圖像亮線(xiàn)的頂端至底端，包含了小球的位移Δx

和小球直徑

d。為了得到位移Δx

的像素?cái)?shù)量，可以用整個(gè)亮線(xiàn)的像素?cái)?shù)量，減去小球直徑的像素?cái)?shù)量。為此，需要測(cè)量小球直徑的像素?cái)?shù)量。并通過(guò)多次拍攝取平均值，可以得到更精確的結(jié)果。3實(shí)驗(yàn)過(guò)程用直徑為1.5mm的大球和直徑1.0mm的小球分別測(cè)量?jī)?yōu)級(jí)純甘油在30℃，40℃，50℃，60℃，70℃的黏滯系數(shù)。首先將甘油沿量筒壁緩慢倒入量筒，放入可控溫加熱箱加熱到設(shè)定的溫度，并且保證各處均勻無(wú)氣泡。用直尺測(cè)量100ml、900ml兩條刻度線(xiàn)的距離，記為

l′0。用直尺測(cè)量液柱高度，記為

H。用游標(biāo)卡尺測(cè)量量筒內(nèi)徑，記為

D。取大球、小球各100個(gè)，用無(wú)水乙醇浸泡后晾干。分別以100個(gè)大球和小球?yàn)檎w，用高精度電子秤測(cè)量其質(zhì)量，并記錄測(cè)量結(jié)果

M。兩種球各取6個(gè)，用螺旋測(cè)微器測(cè)量其直徑，記為

d。預(yù)先布置好相機(jī)和三腳架，將量筒放在計(jì)劃位置，用強(qiáng)光手電筒從量筒頂部打光。相機(jī)采用連拍模式，設(shè)置合適的曝光時(shí)間

t

并記錄，同時(shí)記錄相機(jī)拍攝兩張圖片之間的間隙

tint。先后用鑷子夾取5個(gè)大球和5個(gè)小球，一次一個(gè)地將球投入甘油中，相機(jī)持續(xù)拍攝。分別拍攝70℃，60℃，50℃，40℃和30℃時(shí)小球的下落軌跡，并記錄相應(yīng)的曝光時(shí)間。4實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析1）計(jì)算小球的加速度，找到勻速運(yùn)動(dòng)區(qū)段以某溫度下的一次落球?qū)嶒?yàn)為例。將小球下落過(guò)程中拍攝的圖像導(dǎo)入Photoshop，連續(xù)的5張圖像疊加后的結(jié)果如圖5所示。設(shè)實(shí)驗(yàn)中某段軌跡的長(zhǎng)度為

l，則該段軌跡的平均速度為

v

=

l/t。每?jī)啥诬壽E之間的時(shí)間差為Δt

=

t

+

tint，則小球在兩段軌跡間的加速度應(yīng)為經(jīng)計(jì)算，在所有溫度下，在量筒下部，小球的加速度均滿(mǎn)足可以認(rèn)為小球在量筒下部做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。2）計(jì)算甘油的黏滯系數(shù)取勻速區(qū)段的圖像，讀出每次實(shí)驗(yàn)的軌跡像素?cái)?shù)，取平均值得到

n，繼而換算出對(duì)應(yīng)的軌跡長(zhǎng)度

l。測(cè)量小球的直徑、質(zhì)量，取甘油密度

ρ

=1256kg/m3，重力加速度

g

=9.807m/s2，將各參量轉(zhuǎn)為國(guó)際單位制，代入式（5），得到甘油的黏滯系數(shù)如表1：

對(duì)數(shù)據(jù)做曲線(xiàn)擬合，并與甘油黏滯系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)值[8,9]進(jìn)行比較，如圖6所示。結(jié)果顯示，1.0mm實(shí)驗(yàn)結(jié)果（□）與標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)（○）符合得非常好。1.5mm實(shí)驗(yàn)結(jié)果（×）與標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)（○）在低溫段（30~50℃）匹配地很好，但是在高溫段（50~70℃），實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯著高于標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)。溫度越高，這一誤差越顯著。3）高速運(yùn)動(dòng)小球運(yùn)動(dòng)分析實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，隨著溫度的逐漸升高，甘油黏滯系數(shù)逐漸減小，小球在其中的勻速區(qū)段速度顯著增加；另外，不同小球在相同環(huán)境中的運(yùn)動(dòng)速度也不同，質(zhì)量越大，運(yùn)動(dòng)速度越快，例如本實(shí)驗(yàn)中分別采用了直徑為1.5mm、1.0mm的小球，1.0mm球的下落速度明顯低于1.5mm球。用1.5mm鋼球測(cè)得甘油在各溫度下的黏滯系數(shù)，其相對(duì)誤差與小球勻速區(qū)段速度的關(guān)系如圖7所示，當(dāng)小球速度

v>2.5cm/s，黏滯系數(shù)的相對(duì)誤差隨速度增大而迅速增長(zhǎng)。小球在流體中運(yùn)動(dòng)，理想的運(yùn)動(dòng)模型如圖8(a)所示。小球受到的迎面阻力包含兩種：黏滯阻力和壓差阻力[11,12]。黏滯阻力是流體粘性導(dǎo)致的內(nèi)摩擦力，壓差阻力是小球周?chē)后w壓強(qiáng)差的作用結(jié)果。落球法測(cè)量黏滯系數(shù)過(guò)程中，通常忽略壓差阻力的影響，近似認(rèn)為小球受到的阻力完全由黏滯阻力構(gòu)成，得到黏滯系數(shù)的表達(dá)式，繼而通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)得甘油的黏滯系數(shù)[3,7]。這一近似在什么條件下才是合理的？小球運(yùn)動(dòng)速度較低時(shí)，其對(duì)周?chē)后w流動(dòng)情況的影響較小。周?chē)后w流速均勻，壓強(qiáng)也均勻，小球受到的壓差阻力可以忽略。當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)速度加快，周?chē)后w的流動(dòng)將受到較大影響。如圖8(e)所示，小球向前運(yùn)動(dòng)，前方的液體流動(dòng)受阻、速度較低；小球的后方卻出現(xiàn)“空缺”，周?chē)囊后w向“空缺處”填充，流速較高，形成了渦流[11,12]。小球后方液體的流速快于前方，因而后方的壓強(qiáng)小于前方，小球?qū)⑹艿较蚝蟮膲翰钭枇11,12]。小球的速度越快，壓差阻力就越顯著，此時(shí)，若仍然認(rèn)為小球受到的阻力完全由黏滯力構(gòu)成，就相當(dāng)于把壓差阻力也歸于黏滯阻力，高估了液體的黏性，黏滯系數(shù)的計(jì)算結(jié)果就會(huì)偏高。同時(shí)，壓差阻力的水平分量也對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生影響。小球運(yùn)動(dòng)會(huì)導(dǎo)致兩側(cè)液體流動(dòng)不均勻，如圖8(h)、(i)模型所示。在不均勻渦流的作用下，小球傾向于產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)、橫移，有偏離豎直線(xiàn)的趨勢(shì)。此時(shí)，小球的運(yùn)動(dòng)將不再是豎直方向上的一維問(wèn)題，其受力情況將更為復(fù)雜。30℃、50℃、70℃甘油中1.5mm直徑鋼球的下落軌跡分別如圖8(b)、(c)、(d)所示。仔細(xì)觀(guān)察發(fā)現(xiàn)，30℃時(shí)軌跡基本為一條直線(xiàn)；50℃、70℃時(shí)，下落軌跡有輕微的扭曲。當(dāng)采用黏滯系數(shù)極小的純凈水作為研究對(duì)象，低速攝影法觀(guān)測(cè)到了小球出現(xiàn)明顯的橫移現(xiàn)象，如圖8(f)、(g)所示，分別為連續(xù)拍攝過(guò)程和幾個(gè)分段過(guò)程的疊加，均出現(xiàn)“左右搖擺”的偏離直線(xiàn)現(xiàn)象。綜上所述，當(dāng)測(cè)量黏滯系數(shù)較低的液體，為效避免渦旋和壓阻的影響，應(yīng)當(dāng)把小球的下落速度控制在較低的范圍。為控制小球速度，可以通過(guò)選擇適當(dāng)密度和直徑的小球。使用密度盡量低、直徑盡量小的球，則可以保證小球的下落較慢。以本實(shí)驗(yàn)為例，當(dāng)前采用的小球材質(zhì)為鋼，密度

ρ

=7.4g/cm3；若更換小球，采用密度相對(duì)較小但略大于待測(cè)液體密度的材質(zhì)，如采用玻璃、鋁（密度

ρ

<3g/cm3），相同流體環(huán)境下小球的下落速度將大大降低，黏滯系數(shù)的測(cè)量范圍將大大拓展。4）不確定度分析基于式（5），根據(jù)不確定度的傳遞法則[7]，得出黏滯系數(shù)相對(duì)不確定度的表達(dá)式求出各中間量及其不確定度，代入公式(7)，即可得黏滯系數(shù)的不確定度Δη。根據(jù)1.0mm小球的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，易得各物理量的測(cè)量值為d=1.000±0.006mmm=3.850±0.010mgD=6.250±0.005cmH=33.90±0.01cml′0=30.50±0.01cmn=391.3±1.4(T=30.7℃)n=768±12(T=40.0℃)n=491±11(T=49.0℃)n=310±7(T=57.0℃)n=332±6(T=68.0℃)代入黏滯系數(shù)不確定度的表達(dá)式，得甘油黏滯系數(shù)的相對(duì)不確定度和不確定度，如圖9所示。結(jié)果表明，實(shí)驗(yàn)的相對(duì)不確定度Δη/η<3%。不確定度Δη<0.011Pa·s，實(shí)驗(yàn)精度優(yōu)于0.01Pa·s。為分析黏滯系數(shù)不確定度受各參數(shù)影響的強(qiáng)弱，只需比較不確定度表達(dá)式根式中的各項(xiàng)的大小。不妨以49℃的數(shù)據(jù)為例，代表質(zhì)量

m

對(duì)結(jié)果影響程度的項(xiàng)代表軌跡長(zhǎng)度

l

(軌跡像素?cái)?shù)量

n

)對(duì)結(jié)果影響程度的項(xiàng)D，H

用于修正，影響小。ΔD，ΔH

的兩項(xiàng)不予考慮。代表小球直徑對(duì)結(jié)果影響程度的項(xiàng)比較這三項(xiàng)，可知。這表明黏滯系數(shù)不確定度的主要來(lái)源軌跡長(zhǎng)度的不確定度。而軌跡長(zhǎng)度的不確定度以A類(lèi)不確定度為主，所以可以增加落球試驗(yàn)的重復(fù)次數(shù)，以降低誤差。通過(guò)測(cè)量小球的下落速度而計(jì)算液體的黏滯系數(shù)，這是低速攝影法與傳統(tǒng)秒表計(jì)量的共同思路。然而，人工控制秒表需要憑肉眼判斷小球的速度與位置，還需對(duì)運(yùn)動(dòng)的小球做出反應(yīng)，實(shí)驗(yàn)過(guò)程中一般會(huì)出現(xiàn)0.2~0.5s甚至更高的時(shí)間誤差。假設(shè)計(jì)時(shí)總長(zhǎng)為5s，這一時(shí)間誤差可以占到4%~10%甚至更高，對(duì)結(jié)果的準(zhǔn)確性產(chǎn)生嚴(yán)重的影響。本文提出的低速攝影法采用自動(dòng)連續(xù)拍攝的方法，時(shí)間誤差基本可以降為0%，并發(fā)揮了現(xiàn)代相機(jī)的高像素優(yōu)勢(shì)，獲得了高分辨率的圖片（2000萬(wàn)~6000萬(wàn)像素），不僅擁有更高的精度，而且可以測(cè)量黏滯系數(shù)更低、小球在其中運(yùn)動(dòng)更快的液體。5結(jié)語(yǔ)針對(duì)落球法測(cè)量液體黏滯系數(shù)的過(guò)程中的“計(jì)時(shí)”困難，我們提出了全新的測(cè)量理念——低速攝影法。與傳統(tǒng)光電門(mén)法以及CCD法不同，面對(duì)靈動(dòng)敏捷的小球，我們不急于通過(guò)