2024屆北京市五十七中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2024屆北京市五十七中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．直線(xiàn)與圓相切，則實(shí)數(shù)等于（）A.或 B.或C.3或5 D.5或32．設(shè)P是雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)，若，是雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)，則（）A.4 B.5C.8 D.103．將6位志愿者分成4組，其中兩個(gè)組各2人，另兩個(gè)組各1人，分赴廣交會(huì)的四個(gè)不同地方服務(wù)，不同的分配方案有（）種A.· B.·C. D.4．已知的三個(gè)頂點(diǎn)是，，，則邊上的高所在的直線(xiàn)方程為（）A. B.C. D.5．對(duì)于公差為1的等差數(shù)列，；公比為2的等比數(shù)列，，則下列說(shuō)法不正確的是（）A.B.C.數(shù)列為等差數(shù)列D.數(shù)列的前項(xiàng)和為6．已知點(diǎn)分別為圓與圓的任意一點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.7．設(shè)是公差的等差數(shù)列，如果，那么（）A. B.C. D.8．已知直線(xiàn)的方程為，則該直線(xiàn)的傾斜角為（）A. B.C. D.9．若，則（）A.1 B.2C.3 D.410．集合，則集合A的子集個(gè)數(shù)為（）A.2個(gè) B.4個(gè)C.8個(gè) D.16個(gè)11．將點(diǎn)的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)是(

)A. B.C. D.12．“”是“方程是圓的方程”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，P為BC的中點(diǎn)，Q為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是_________（寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)）.①當(dāng)時(shí)，S為四邊形；②當(dāng)時(shí)，S為等腰梯形；③當(dāng)時(shí)，S與的交點(diǎn)R滿(mǎn)足；④當(dāng)時(shí)，S為六邊形；⑤當(dāng)時(shí)，S的面積為.14．已知線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度為3，其兩個(gè)端點(diǎn)A，B分別在x軸、y軸上滑動(dòng)，點(diǎn)M滿(mǎn)足．則點(diǎn)M的軌跡方程為_(kāi)_____15．曲線(xiàn)在點(diǎn)（1，1）處的切線(xiàn)方程為_(kāi)____16．拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為_(kāi)______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）若，且，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).18．（12分）已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，若右焦點(diǎn)為且離心率為（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)，是上的兩點(diǎn)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切且，，三點(diǎn)共線(xiàn)，求線(xiàn)段的長(zhǎng)19．（12分）已知雙曲線(xiàn)與有相同的漸近線(xiàn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求雙曲線(xiàn)的方程；（2）已知直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)，且線(xiàn)段的中點(diǎn)在圓上，求實(shí)數(shù)的值.20．（12分）北京、張家港2022年冬奧會(huì)申辦委員會(huì)在俄羅斯索契舉辦了發(fā)布會(huì)，某公司為了競(jìng)標(biāo)配套活動(dòng)的相關(guān)代言，決定對(duì)旗下的某商品進(jìn)行一次評(píng)估.該商品原來(lái)每件售價(jià)為25元，年銷(xiāo)售8萬(wàn)件.（1）據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若價(jià)格每提高1元，銷(xiāo)售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷(xiāo)售的總收入不低于原收入，該商品每件定價(jià)最多為多少元？（2）為了抓住申奧契機(jī)，擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷(xiāo)售量.公司決定立即對(duì)該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營(yíng)銷(xiāo)策略改革，并提高定價(jià)到x元.公司擬投入萬(wàn)作為技改費(fèi)用，投入50萬(wàn)元作為固定宣傳費(fèi)用，投入萬(wàn)元作為浮動(dòng)宣傳費(fèi)用.試問(wèn)：當(dāng)該商品改革后的銷(xiāo)售量a至少應(yīng)達(dá)到多少萬(wàn)件時(shí)，才可能使改革后的銷(xiāo)售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時(shí)商品的每件定價(jià).21．（12分）某校為了了解在校學(xué)生的支出情況，組織學(xué)生調(diào)查了該校2014年至2020年學(xué)生的人均月支出y(單位：百元)的數(shù)據(jù)如下表：年份2014201520162017201820192020年份代號(hào)t1234567人均月支出y3.94.34.65.45.86.26.9（1）求2014年至2020年中連續(xù)的兩年里，兩年人均月支出都超過(guò)4百元的概率；（2）求y關(guān)于t的線(xiàn)性回歸方程；（3）利用（2）中的回歸方程，預(yù)測(cè)該校2022年的人均月支出.附：最小二乘估計(jì)公式：，22．（10分）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，拋物線(xiàn)上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，且.（1）求拋物線(xiàn)的方程；（2）過(guò)焦點(diǎn)作兩條相互垂直的直線(xiàn)（斜率均存在），分別與拋物線(xiàn)交于、和、四點(diǎn)，求四邊形面積的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】先求出圓的圓心和半徑，再利用圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑列方程可求得結(jié)果【詳解】由，得，則圓心為，半徑為2，因?yàn)橹本€(xiàn)與圓相切，所以，得，解得或，故選：C2、C【解析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義可得：，結(jié)合雙曲線(xiàn)的方程可得答案.【詳解】由雙曲線(xiàn)可得根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義可得：故選：C3、B【解析】先按要求分為四組，再四個(gè)不同地方，四個(gè)組進(jìn)行全排列.【詳解】?jī)蓚€(gè)組各2人，兩個(gè)組各1人，屬于部分平均分組，要除以平均分組的組數(shù)的全排列，故分組方案有種，再將分得的4組，分配到四個(gè)不同地方服務(wù)，則不同的分配方案有種.故選：B4、B【解析】求出邊上的高所在的直線(xiàn)的斜率，再利用點(diǎn)斜式方程可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以邊上的高所在的直線(xiàn)的斜率為，所以邊上的高所在的直線(xiàn)方程為，即.故選：B.5、B【解析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式判定選項(xiàng)A正確；利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，即判定選項(xiàng)B錯(cuò)誤；利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算和等差數(shù)列的定義判定選項(xiàng)C正確；利用錯(cuò)位相減法求和，即判定選項(xiàng)D正確.【詳解】對(duì)于A:由條件可得，，即選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：由條件可得，，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)?，所以，則，即數(shù)列是首項(xiàng)和公差均為的等差數(shù)列，即選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，，上面兩式相減可得，所以，即選項(xiàng)D正確.故選：B.6、B【解析】先判定兩圓的位置關(guān)系為相離的關(guān)系，然后利用幾何方法得到的取值范圍.【詳解】的圓心為,半徑，的圓心為,半徑，圓心距，∴兩圓相離，∴，故選：B.7、D【解析】由已知可得，即可得解.【詳解】由已知可得.故選：D.8、D【解析】設(shè)直線(xiàn)傾斜角為，則，即可求出.【詳解】設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，則，又因?yàn)椋?故選：D.9、C【解析】由二項(xiàng)分布的方差公式即可求解.【詳解】解：因?yàn)?，所?故選：C.10、C【解析】取，再根據(jù)的周期為4，可得，即可得解.【詳解】因?yàn)椋?時(shí),，時(shí),，時(shí),，時(shí),，所以集合，所以的子集的個(gè)數(shù)為，故選：C.11、A【解析】本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化由點(diǎn)M的極坐標(biāo)，知極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為，所以的直角坐標(biāo)為即故正確答案為A12、A【解析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】若方程表示圓，則，即，解得或，故“”是“方程是圓的方程”的充分不必要條件，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①②③⑤【解析】①由如圖當(dāng)點(diǎn)向移動(dòng)時(shí)，滿(mǎn)足，只需在上取點(diǎn)滿(mǎn)足，即可得截面為四邊形，如圖所示，是四邊形，故①正確；②當(dāng)時(shí)，即為中點(diǎn)，此時(shí)可得PQ∥AD，AP=QD==，故可得截面APQD為等腰梯形，等腰梯形，故②正確；③當(dāng)時(shí)，如圖，延長(zhǎng)至，使，連接交于，連接交于，連接，可證，由∽，可得，故可得，故③正確；④由③可知當(dāng)時(shí)，只需點(diǎn)上移即可，此時(shí)的截面形狀仍然如圖所示的，如圖是五邊形，故④不正確；⑤當(dāng)時(shí)，與重合，取的中點(diǎn)，連接，可證，且，可知截面為為菱形，故其面積為，如圖是菱形，面積為，故⑤正確，故答案為①②③⑤考點(diǎn)：正方體的性質(zhì).14、【解析】設(shè)出動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)已知條件得到關(guān)于的方程.【詳解】設(shè)，由，有，得，所以，由得：，所以點(diǎn)的軌跡的方程是.故答案為：15、【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線(xiàn)的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以曲線(xiàn)在點(diǎn)（1，1）處的切線(xiàn)的斜率為，所以所求切線(xiàn)方程為：，即.故答案為：.16、【解析】由拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=y，得拋物線(xiàn)是焦點(diǎn)在y軸正半軸的拋物線(xiàn)，2p=1，∴其準(zhǔn)線(xiàn)方程是y=，故答案為三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）.（2）答案見(jiàn)解析.【解析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，求得，，由此可求得曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）求得導(dǎo)函數(shù)，分和討論，當(dāng)時(shí)，設(shè)，求導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，得出所令函數(shù)的單調(diào)性，從而得函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得答案.【小問(wèn)1詳解】解：當(dāng)時(shí)，，所以，故，，所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為.【小問(wèn)2詳解】解：依題意，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，設(shè)，此時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以存在，使得，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又，所以當(dāng)，即時(shí)，有唯一零點(diǎn)在區(qū)間上，當(dāng)，即時(shí)，在上無(wú)零點(diǎn)；故當(dāng)時(shí)，在上有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上無(wú)零點(diǎn).18、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)、離心率求橢圓參數(shù)，寫(xiě)出橢圓方程即可.（2）由（1）知曲線(xiàn)為，討論直線(xiàn)的存在性，設(shè)直線(xiàn)方程聯(lián)立橢圓方程并應(yīng)用韋達(dá)定理求弦長(zhǎng)即可.【詳解】（1）由題意，橢圓半焦距且，則，又，∴橢圓方程為；（2）由（1）得，曲線(xiàn)為當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)，不合題意：當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)，又，，三點(diǎn)共線(xiàn)，可設(shè)直線(xiàn)，即，由直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切可得，解得，聯(lián)立，得，則，，∴.19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)所求雙曲線(xiàn)與有共同的漸近線(xiàn)可設(shè)出所求雙曲線(xiàn)方程為，在根據(jù)點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，代入雙曲線(xiàn)方程中即可求解.（2）聯(lián)立直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的方程，得關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理得出的關(guān)系，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出線(xiàn)段的中點(diǎn)的坐標(biāo)，代入圓方程即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題意，設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為，則又因?yàn)殡p曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，，所以雙曲線(xiàn)的方程為：【小問(wèn)2詳解】由，消去整理，得，設(shè)，則因?yàn)橹本€(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)，所以，解得.，所以則中點(diǎn)坐標(biāo)為，代入圓得，解得.實(shí)數(shù)的值為20、（1）40；（2）a至少達(dá)到10.2萬(wàn)件時(shí),才可能使改革后的銷(xiāo)售收入不低于原收入與總投入之和,此時(shí)該商品的每件定價(jià)為30元.【解析】（1）設(shè)每件定價(jià)為x元,可得提高價(jià)格后的銷(xiāo)售量，根據(jù)銷(xiāo)售的總收入不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定價(jià)；（2）依題意，x>25時(shí)，不等式有解，等價(jià)于x>25時(shí),有解,利用基本不等式,可以求得a.【詳解】（1）設(shè)每件定價(jià)為t元,依題意得,整理得,解得：25≤t≤40.所以要使銷(xiāo)售的總收入不低于原收入,每件定價(jià)最多為40元.（2）依題意知：當(dāng)x>25時(shí),不等式有解，等價(jià)于x>25時(shí),有解.由于,當(dāng)且僅當(dāng),即x=30時(shí)等號(hào)成立,所以a≥10.2.當(dāng)該商品改革后的銷(xiāo)售量a至少達(dá)到10.2萬(wàn)件時(shí),才可能使改革后的銷(xiāo)售收入不低于原收入與總投入之和,此時(shí)該商品的每件定價(jià)為30元.21、（1）；（2）；（3）7.8百元.【解析】（1）應(yīng)用列舉法，結(jié)合古典概型計(jì)算公式進(jìn)行進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)題中所給的公式進(jìn)行計(jì)算求解即可；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，利用代入法進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】2014年至2020年中連續(xù)的兩年有、、、、、共6種組合，其中只有不滿(mǎn)足連續(xù)兩年人均月支出都超過(guò)4百元，所以連續(xù)兩年人均月支出都超過(guò)4百元的概率為；【小問(wèn)2詳解】由已知數(shù)據(jù)分別求出公式中的量.，，，，所求回歸方程為；小問(wèn)3詳解】由（2）知，，將2022年的年份代號(hào)代入（2）中的回歸方程，得，故預(yù)測(cè)該校20