2024屆北京市西城區(qū)第一五六中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考模擬試題含解析

2024屆北京市西城區(qū)第一五六中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知拋物線的焦點為，點為拋物線上一點，點，則的最小值為（）A. B.2C. D.32．過點且平行于直線的直線的方程為（）A. B.C. D.3．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若c＝1，B＝45°，cosA＝，則b等于（）A. B.C. D.4．已知圓的半徑為，平面上一定點到圓心的距離，是圓上任意一點.線段的垂直平分線和直線相交于點，設(shè)點在圓上運動時，點的軌跡為，當(dāng)時，軌跡對應(yīng)曲線的離心率取值范圍為（）A. B.C. D.5．設(shè)，則“”是“直線與直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6．設(shè)是雙曲線的兩個焦點,是雙曲線上的一點,且,則的面積等于（）A. B.C.24 D.487．某同學(xué)為了調(diào)查支付寶中的75名好友的螞蟻森林種樹情況，對75名好友進(jìn)行編號，分別為1，2，…，75，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為5的樣本，已知11號，26號，56號，71號好友在樣本中，則樣本中還有一名好友的編號是（）A.40 B.41C.42 D.398．若雙曲線與橢圓有公共焦點，且離心率，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.9．復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B.C. D.10．已知橢圓的長軸長為，短軸長為，則橢圓上任意一點到橢圓中心的距離的取值范圍是（）A. B.C. D.11．已知函數(shù)，若函數(shù)有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.12．已知，是雙曲線的左右焦點，過的直線與曲線的右支交于兩點，則的周長的最小值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若直線:x-2y+1=0與直線:2x+my-1=0相互垂直，則實數(shù)m的值為________.14．在不等邊△ABC(三邊均不相等)中，三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且有，則角C的大小為________15．不大于100的正整數(shù)中，被3除余1的所有數(shù)的和是___________16．拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，，為的中點，連接.（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.18．（12分）已知橢圓．離心率為，點與橢圓的左、右頂點可以構(gòu)成等腰直角三角形（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓交于兩點，為坐標(biāo)原點直線的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說明理由19．（12分）為了解某市家庭用電量的情況，該市統(tǒng)計局調(diào)查了若干戶居民去年一年的月均用電量（單位：），得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）估計月均用電量的眾數(shù)；（2）求a的值；（3）為了既滿足居民的基本用電需求，又提高能源的利用效率，市政府計劃采用階梯電價，月均用電量不高于平均數(shù)的為第一檔，高于平均數(shù)的為第二檔，已知某戶居民月均用電量為，請問該戶居民應(yīng)該按那一檔電價收費，說明理由.20．（12分）中心在原點，焦點在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點F1，F(xiàn)2，且|F1F2|＝，橢圓的長半軸長與雙曲線半實軸長之差為4，離心率之比為3∶7（1）求這兩曲線方程；（2）若P為這兩曲線的一個交點，求△F1PF2的面積21．（12分）已知，使；不等式對一切恒成立.如果為真命題，為假命題，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）某城市一入城交通路段限速60公里/小時，現(xiàn)對某時段通過該交通路段的n輛小汽車車速進(jìn)行統(tǒng)計，并繪制成頻率分布直方圖（如圖）.若這n輛小汽車中，速度在50~60公里小時之間的車輛有200輛.（1）求n的值；（2）估計這n輛小汽車車速的中位數(shù)；（3）根據(jù)交通法規(guī)定，小車超速在規(guī)定時速10%以內(nèi)（含10%）不罰款，超過時速規(guī)定10%以上，需要罰款.試根據(jù)頻率分布直方圖，以頻率作為概率的估計值，估計某輛小汽車在該時段通過該路段時被罰款的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】求出拋物線C的準(zhǔn)線l的方程，過A作l的垂線段，結(jié)合幾何意義及拋物線定義即可得解.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線l：，顯然點A在拋物線C內(nèi)，過A作AM⊥l于M，交拋物線C于P，如圖，在拋物線C上任取不同于點P的點，過作于點N，連PF，AN，，由拋物線定義知，，于是得，即點P是過A作準(zhǔn)線l的垂線與拋物線C的交點時，取最小值，所以的最小值為3.故選：D2、B【解析】根據(jù)平行設(shè)直線方程，代入點計算得到答案.【詳解】設(shè)直線方程為，將點代入直線方程得到，解得.故直線方程為：.故選：B.3、C【解析】先由cosA的值求出，進(jìn)而求出，用正弦定理求出b的值.【詳解】因為cosA＝，所以，所以由正弦定理：，得：.故選：C4、D【解析】分點A在圓內(nèi)，圓外兩種情況，根據(jù)中垂線的性質(zhì)，結(jié)合橢圓、雙曲線的定義可判斷軌跡，再由離心率計算即可求解.【詳解】當(dāng)A在圓內(nèi)時，如圖，,所以的軌跡是以O(shè)，A為焦點的橢圓，其中，，此時，，.當(dāng)A在圓外時，如圖，因為，所以軌跡是以O(shè)，A為焦點的雙曲線，其中，，此時，，.綜上可知，.故選：D5、A【解析】根據(jù)兩直線平行的充要條件求出a的值，然后可判斷.【詳解】當(dāng)時，，所以兩直線平行；若兩直線平行，則且，解得或，所以，“”是“直線與直線平行”的充分不必要條件.故選：A6、C【解析】雙曲線的實軸長為2,焦距為.根據(jù)題意和雙曲線的定義知,所以,,所以,所以.所以.故選：C【點睛】本題主要考查了焦點三角形以及橢圓的定義運用,屬于基礎(chǔ)題型.7、B【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣等距性即可確定結(jié)果.【詳解】根據(jù)系統(tǒng)抽樣等距性得：11號，26號，56號，71號以及還有一名好友的編號應(yīng)該按大小排列后成等差數(shù)列，樣本中還有一名好友的編號為26號與56號的等差中項，即41號，故選：B【點睛】本題考查系統(tǒng)抽樣，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.8、A【解析】首先求出橢圓的焦點坐標(biāo)，然后根據(jù)可得雙曲線方程中的的值，然后可得答案.【詳解】橢圓焦點坐標(biāo)為所以雙曲線的焦點在軸上，，因為，所以，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為故選：A9、D【解析】直接根據(jù).復(fù)數(shù)的乘法運算結(jié)合復(fù)數(shù)虛部的定義即可得出答案【詳解】解：，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選：D.10、A【解析】不妨設(shè)橢圓的焦點在軸上，設(shè)點，則，且有，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】不妨設(shè)橢圓的焦點在軸上，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)點，則，且有，所以，.故選：A.11、B【解析】構(gòu)造，通過求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性及極值，最值，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】令，即，令，當(dāng)時，，，令得：或，結(jié)合，所以，令得：，結(jié)合得：，所以在處取得極大值，也是最大值，，當(dāng)時，，且，當(dāng)時，，則恒成立，單調(diào)遞增，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，畫出的圖象，如下圖：要想有3個零點，則故選：B12、C【解析】根據(jù)雙曲線的定義和性質(zhì)，當(dāng)弦垂直于軸時，即可求出三角形的周長的最小值.【詳解】由雙曲線可知：的周長為.當(dāng)軸時,周長最小值為故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】由兩條直線垂直可知，進(jìn)而解得答案即可.【詳解】因為兩條直線垂直，所以.故答案為：1.14、【解析】由正弦定理可得,又,,,,,在三角形中,.考點：1正弦定理;2正弦的二倍角公式.15、1717【解析】利用等差數(shù)列的前項和公式可求所有數(shù)的和.【詳解】100以內(nèi)的正整數(shù)中，被3除余1由小到大構(gòu)成等差數(shù)列，其首項為1，公差為3，共有項，它們的和為，故答案為：.16、4【解析】由y2＝2px＝8x知p＝4，又焦點到準(zhǔn)線的距離就是p，所以焦點到準(zhǔn)線的距離為4.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明過程見解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)平行四邊形的判定定理和性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】因為為的中點，所以，而，所以四邊形是平行四邊形，因此，因為，，為的中點，所以，，而，因為，所以，而平面，所以平面；【小問2詳解】根據(jù)（1），建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，于是有：，則平面的法向量為：，設(shè)平面的法向量為：，所以，設(shè)平面與平面的夾角為，所以.18、（1）；（2）是定值，理由見解析.【解析】（1）由題意有，點與橢圓的左、右頂點可以構(gòu)成等腰直角三角形有，即可寫出橢圓方程；（2）直線與橢圓交于兩點，聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理即有，已知應(yīng)用點線距離公式、三角形面積公式即可說明的面積是否為定值；【詳解】（1）橢圓離心率為，即，∵點與橢圓的左、右頂點可以構(gòu)成等腰直角三角形，∴，綜上有：，，故橢圓方程為，（2）由直線與橢圓交于兩點，聯(lián)立方程：，整理得，設(shè)，則，，，，原點到的距離，為定值；【點睛】本題考查了由離心率求橢圓方程，根據(jù)直線與橢圓的相交關(guān)系證明交點與原點構(gòu)成的三角形面積是否為定值的問題.19、（1）175（2）0.004（3）該居民該戶居民應(yīng)該按第二檔電價收費，理由見解析【解析】（1）在區(qū)間對應(yīng)的小矩形最高，由此能求出眾數(shù)；（2）利用各個區(qū)間的頻率之和為1，即可求出值；（3）求出月均用電量的平均數(shù)的估計值即可判斷.【小問1詳解】由題知，月均用電量在區(qū)間內(nèi)的居民最多，可以將這個區(qū)間的中點175作為眾數(shù)的估計值，所以眾數(shù)的估計值為175.【小問2詳解】由題知：，解得則的值為0.004.【小問3詳解】平均數(shù)的估計值為：，則月均用電量的平均數(shù)的估計值為，又∵∴該居民該戶居民應(yīng)該按第二檔電價收費.20、（1）橢圓方程為雙曲線方程為；（2）12【解析】（1）根據(jù)半焦距，設(shè)橢圓長半軸為a，由離心率之比求出a，進(jìn)而求出橢圓短半軸的長及雙曲線的虛半軸的長，寫出橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由橢圓、雙曲線的定義求出與的長，在三角形中，利用余弦定理求出cos∠的值，進(jìn)一步求得sin∠的值，代入面積公式得答案試題解析：（1）設(shè)橢圓方程為，雙曲線方程為（a，b，m，n>0，且a>b），則解得：a＝7，m＝3，∴b＝6，n＝2，∴橢圓方程為雙曲線方程為（2）不妨設(shè)F1，F(xiàn)2分別為左、右焦點，P是第一象限的一個交點，則PF1＋PF2＝14，PF1－PF2＝6，∴PF1＝10，PF2＝4，∴cos∠F1PF2＝＝，∴sin∠F1PF2＝．∴S△F1PF2＝PF1·PF2sin∠F1PF2＝·10·4·＝12考點：橢圓雙曲線方程及性質(zhì)21、【解析】若真命題，利用分離參數(shù)法結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，可得；若為真命題，利用分離參數(shù)法并結(jié)合基本不等式可得，再根據(jù)為真命題，為假命題，可知，一真命題一假命題；再分“為真命題，為假命題”和“為假命題，為真命題”兩種情況，求解范圍，即可得到結(jié)果.【詳解】解：若為真命題，則有解，所以，即；若為真命題，則對一切恒成立,令則,當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取得最小值；所以，即；又為真命題，為假命題，所以，一真命題一假命題；當(dāng)為真命題，為假命題時，，所以；當(dāng)為假命題，為真命題時，，所以；綜上所述，.22、（1）（2）（3）【解析】（1）根據(jù)已