2024屆北京市一零一中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測試題含解析

2024屆北京市一零一中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知橢圓經(jīng)過點，當(dāng)該橢圓的四個頂點構(gòu)成的四邊形的周長最小時，其標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.2．已知直線與圓相切，則的值是（）A. B.C. D.3．橢圓的一個焦點坐標(biāo)為，則實數(shù)m的值為（）A.2 B.4C. D.4．設(shè)是數(shù)列的前項和，已知，則數(shù)列（）A.是等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列 B.是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列C.是等比數(shù)列，也是等差數(shù)列 D.既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列5．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點在雙曲線的右支上，且，則雙曲線離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.6．與圓和圓都外切的圓的圓心在（）A.一個圓上 B.一個橢圓上C.雙曲線的一支上 D.一條拋物線上7．已知直線在兩個坐標(biāo)軸上的截距之和為7，則實數(shù)m的值為（）A.2 B.3C.4 D.58．在單調(diào)遞減的等比數(shù)列中，若，，則（）A.9 B.3C. D.9．現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)，分別帶著A、B、C、D、E五個不同的禮物參加“抽盲盒”學(xué)游戲，先將五個禮物分別放入五個相同的盒子里，每位同學(xué)再分別隨機抽取一個盒子，恰有一位同學(xué)拿到自己禮物的概率為（）A. B.C. D.10．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.11．命題：“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，12．等差數(shù)列中，為其前項和，，則的值為（）A.13 B.16C.104 D.208二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點，，點P在x軸上，且，則點P的坐標(biāo)為______14．若拋物線上一點到其準(zhǔn)線的距離為4，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為___________.15．?dāng)?shù)列滿足前項和，則數(shù)列的通項公式為_____________16．有一組數(shù)據(jù)：，其平均數(shù)是，則其方差是________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中中，平面ABCD，底面ABCD是邊長為2的正方形，.（1）求證：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.18．（12分）在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，求平面ACD1的一個法向量.19．（12分）已知橢圓C與橢圓有相同的焦點，且離心率為.（1）橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若橢圓C的兩個焦點，P是橢圓上的點，且，求的面積.20．（12分）已知中心在坐標(biāo)原點O的橢圓，左右焦點分別為，，離心率為，M，N分別為橢圓的上下頂點，且滿足.（1）求橢圓方程；（2）已知點C滿足，點T在橢圓上（T異于橢圓的頂點），直線NT與以C為圓心的圓相切于點P，若P為線段NT的中點，求直線NT的方程；（3）過橢圓內(nèi)的一點D（0，t），作斜率為k的直線l，與橢圓交于A，B兩點，直線OA，OB的斜率分別是，，若對于任意實數(shù)k，存在實數(shù)m，使得，求實數(shù)m的取值范圍.21．（12分）如圖，在梯形中，，，四邊形為矩形，且平面，.（1）求證：平面；（2）點在線段含端點上運動，當(dāng)點在什么位置時，平面與平面所成銳二面角最大，并求此時二面角的余弦值.22．（10分）兩個頂點、的坐標(biāo)分別是、，邊、所在直線的斜率之積等于，頂點的軌跡記為.（1）求頂點的軌跡的方程；（2）若過點作直線與軌跡相交于、兩點，點恰為弦中點，求直線的方程；（3）已知點為軌跡的下頂點，若動點在軌跡上，求的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】把點代入橢圓方程得，寫出橢圓頂點坐標(biāo)，計算四邊形周長討論它取最小值時的條件即得解.【詳解】依題意得，橢圓的四個頂點為，順次連接這四個點所得四邊形為菱形，其周長為，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”，由得a2=12，b2=4，所求標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：A【點睛】給定兩個正數(shù)和(兩個正數(shù)倒數(shù)和)為定值，求這兩個正數(shù)倒數(shù)和(兩個正數(shù)和)的最值問題，可借助基本不等式中“1”的妙用解答.2、D【解析】直線與圓相切，直接通過求解即可.【詳解】因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離，所以，.故選：D3、C【解析】由焦點坐標(biāo)得到，求解即可.【詳解】根據(jù)焦點坐標(biāo)可知，橢圓焦點在y軸上，所以有，解得故選：C.4、B【解析】根據(jù)與的關(guān)系求出通項，然后可知答案.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上，的通項公式為，數(shù)列為等差數(shù)列同理，由等比數(shù)列定義可判斷數(shù)列不是等比數(shù)列.故選：B5、C【解析】根據(jù)雙曲線的定義求得，利用可得離心率范圍【詳解】因為，又，所以，，又，即，，所以離心率故選：C6、C【解析】設(shè)動圓的半徑為，然后根據(jù)動圓與兩圓都外切得，再兩式相減消去參數(shù)，則滿足雙曲線的定義，即可求解.【詳解】設(shè)動圓的圓心為，半徑為，而圓的圓心為，半徑為1；圓的圓心為，半徑為2依題意得，則，所以點的軌跡是雙曲線的一支故選：C7、C【解析】求出直線方程在兩坐標(biāo)軸上的截距，列出方程，求出實數(shù)m的值.【詳解】當(dāng)時，，故不合題意，故，，令得：，令得：，故，解得：.故選：C8、A【解析】利用等比數(shù)列的通項公式可得，結(jié)合條件即求.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則由，，得，解得或，又單調(diào)遞減，故，.故選：A.9、D【解析】利用排列組合知識求出每位同學(xué)再分別隨機抽取一個盒子，恰有一位同學(xué)拿到自己禮物的情況個數(shù)，以及五人抽取五個禮物的總情況，兩者相除即可.【詳解】先從五人中抽取一人，恰好拿到自己禮物，有種情況，接下來的四人分為兩種情況，一種是兩兩一對，兩個人都拿到對方的禮物，有種情況，另一種是四個人都拿到另外一個人的禮物，不是兩兩一對，都拿到對方的情況，由種情況，綜上：共有種情況，而五人抽五個禮物總數(shù)為種情況，故恰有一位同學(xué)拿到自己禮物的概率為.故選：D10、A【解析】根據(jù)原函數(shù)圖象判斷出函數(shù)單調(diào)性，由此判斷導(dǎo)函數(shù)的圖象.【詳解】原函數(shù)在上從左向右有增、減、增，個單調(diào)區(qū)間；在上遞減.所以導(dǎo)函數(shù)在上從左向右應(yīng)為：正、負、正；在上應(yīng)為負.所以A選項符合.故選：A11、D【解析】利用全稱量詞命題的否定可得出結(jié)論.【詳解】由全稱量詞命題的否定可知，命題“，”的否定是“，”.故選：D.12、D【解析】利用等差數(shù)列下標(biāo)的性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列前項和公式進行求解即可.【詳解】由，所以，故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)，由，可得，求解即可【詳解】設(shè)，由故解得：則點P的坐標(biāo)為故答案為：14、【解析】先由拋物線的方程求出準(zhǔn)線的方程，然后根據(jù)點到準(zhǔn)線的距離可求，進而可得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，點到其準(zhǔn)線的距離為，由題意可得，解得，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.15、【解析】由已知中前項和，結(jié)合，分別討論時與時的通項公式，并由時，的值不滿足時的通項公式，故要將數(shù)列的通項公式寫成分段函數(shù)的形式【詳解】∵數(shù)列前項和，∴當(dāng)時，，又∵當(dāng)時，，故，故答案為.【點睛】本題考查的知識點是等差數(shù)列的通項公式，其中正確理解由數(shù)列的前n項和Sn，求通項公式的方法和步驟是解答本題的關(guān)鍵16、2【解析】先按照平均數(shù)算出a，再按照方差的定義計算即可?！驹斀狻俊?，所以，方差，故答案為：2.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)平面得到，結(jié)合得到證明。（2）建立空間直角坐標(biāo)系，計算各點坐標(biāo)，計算平面的法向量，根據(jù)向量的夾角公式得到答案。【小問1詳解】由于平面，平面，所以，由于，又，所以平面【小問2詳解】兩兩垂直，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為設(shè)平面的一個法向量為，由，得，故可取所以所以二面角的平面角的余弦值18、【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法求法向量即可.【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)平面ACD1的法向量.，又為平面ACD1的一個法向量，化簡得令x=1，得y=z=1.平面ACD1的一個法向量.【點睛】本題主要考查了求平面的法向量，屬于中檔題.19、（1）（2）【解析】（1）由題意求出即可求解；（2）由橢圓的定義和三角形面積公式求解即可【小問1詳解】因為橢圓C與橢圓有相同的焦點，所以橢圓C的焦點，，，又，所以，，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】由，，得，，而，所以，所以20、（1）1（2）或（3）【解析】（1）由已知可得，，再結(jié)合可求出，從而可求得橢圓方程，（2）設(shè)直線，代入橢圓方程中消去，解方程可求出點的坐標(biāo)，從而可得NT中點的坐標(biāo)，而，可得解方程可求出的值，即可得到直線NT的方程，（3）設(shè)直線，代入橢圓方程中消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合直線的斜率公式可得，再由，可求出m的取值范圍【小問1詳解】設(shè)（c，0），M（0，b），N（0，b），①，又②，③，由①②③得，所以橢圓方程為1.【小問2詳解】由題C，0），設(shè)直線聯(lián)立得，那么，N（0，）NT中點.所以，因為直線NT與以C為圓心的圓相切于點P，所以所以所以得，解得或所以直線NT為：或.【小問3詳解】設(shè)直線，聯(lián)立方程得設(shè)A（，），B，），則…由對任意k成立，得點D在橢圓內(nèi)，所以，所以，所以m的取值范圍為.21、（1）證明見解析（2）點與點重合時，二面角的余弦值為【解析】（1）先利用平面幾何知識和余弦定理得到及各邊長度，利用線面平行的性質(zhì)和判定定理得到線面垂直，再利用線線平行得到線面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，寫出相關(guān)點的坐標(biāo)，得到相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用平面的法向量夾角求出二面角的余弦值，再通過二次函數(shù)的最值進行求解.【小問1詳解】證明：在梯形中，因為，，又因為，所以,，所以，即，解得，，所以，即.因為平面，平面，所以，而平面平面，所以平面.因為，所以平面.【小問2詳解】解：分別以直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），設(shè)，則，所以，設(shè)為平面的一個法向量，由得，取，則，又是平面的一個法向量，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，所以因為，所以當(dāng)時，有最小值為，所以點與點重合時，平面與平面所成二面角最大，此時二面角的余弦值為.22、（1）（2）（3）【解析】（1）先表示出邊、所在直線的斜率，然后根據(jù)兩條直線的斜率關(guān)系建立方程即可；（2