2023-2024學(xué)年江西省吉安市四校聯(lián)考高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年江西省吉安市四校聯(lián)考高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知點(diǎn)是橢圓上的任意點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（）A. B.C. D.2．若命題“或”與命題“非”都是真命題，則A.命題與命題都是真命題B.命題與命題都是假命題C.命題是真命題，命題是假命題D.命題是假命題，命題是真命題3．下列關(guān)于命題的說(shuō)法錯(cuò)誤的是A.命題“若，則”的逆否命題為“若，則”B.“”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的充分不必要條件C.命題“，使得”的否定是“，均有”D.“若為的極值點(diǎn)，則”的逆命題為真命題4．已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足不等式組，若，則的最小值為（）A. B.C. D.5．兩個(gè)圓和的位置是關(guān)系是（）A.相離 B.外切C.相交 D.內(nèi)含6．如果橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6，則線(xiàn)段的中點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離等于（）A.7 B.10C.12 D.147．直線(xiàn)在y軸上的截距是A. B.C. D.8．已知數(shù)列滿(mǎn)足：，，則（）A. B.C. D.9．十二平均律是我國(guó)明代音樂(lè)理論家和數(shù)學(xué)家朱載堉發(fā)明的.明萬(wàn)歷十二年(公元1584年)，他寫(xiě)成《律學(xué)新說(shuō)》，提出了十二平均律的理論.十二平均律的數(shù)學(xué)意義是：在1和2之間插入11個(gè)正數(shù)，使包含1和2的這13個(gè)數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列.依此規(guī)則，插入的第四個(gè)數(shù)應(yīng)為（）A. B.C. D.10．設(shè)雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為8，一條漸近線(xiàn)為，則雙曲線(xiàn)的方程為（）A. B.C. D.11．設(shè)圓上的動(dòng)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，則的取值范圍是（）A. B.C. D.12．橢圓的（）A.焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2 B.焦點(diǎn)在y軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2C.焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 D.焦點(diǎn)在y軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且對(duì)任意，，若，，則的取值范圍是___________.14．展開(kāi)式中的系數(shù)是___________.15．已知內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊為a，b，c，已知，且，則c的最小值為_(kāi)_________.16．以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知兩定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的斜率之積為（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；（2）設(shè)（1）中所求曲線(xiàn)為C，若斜率為的直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)，且與C交于P，Q兩點(diǎn)．問(wèn)：在x軸上是否存在一點(diǎn)T，使得對(duì)任意且，都有（其中，分別表示，的面積）．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由18．（12分）如圖，已知橢圓的左頂點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)軸時(shí)，.（1）求橢圓的方程；（2）記,的面積分別為，求的取值范圍；（3）若的重心在圓上，求直線(xiàn)的斜率.19．（12分）△的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知（1）求角B的大??；（2）若△不為鈍角三角形，且，，求△的面積20．（12分）寫(xiě)出下列命題的否定，并判斷它們的真假：（1）：任意兩個(gè)等邊三角形都是相似的；（2）：，.21．（12分）如圖，四棱柱的底面為正方形，平面，，，點(diǎn)在上，且.（1）求證：；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值；（3）求平面與平面夾角的余弦值.22．（10分）已知圓，點(diǎn)，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡記為曲線(xiàn).（1）求曲線(xiàn)的方程；（2）已知曲線(xiàn)上一點(diǎn)，動(dòng)圓，且點(diǎn)在圓外，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線(xiàn)分別交曲線(xiàn)于點(diǎn)，.（i）求證：直線(xiàn)的斜率為定值；（ii）若直線(xiàn)與交于點(diǎn)，且時(shí)，求直線(xiàn)的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】設(shè)橢圓另一個(gè)焦點(diǎn)為，連接，利用中位線(xiàn)的性質(zhì)結(jié)合橢圓的定義可求得結(jié)果.【詳解】在橢圓中，，，，如圖，設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為，連接，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則，則的周長(zhǎng)為，故選：A.2、D【解析】因?yàn)榉莗為真命題，所以p為假命題，又p或q為真命題，所以q為真命題，選D.3、D【解析】根據(jù)命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件、導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中應(yīng)用、全稱(chēng)量詞與存在量詞等相關(guān)知識(shí)一一判斷可得答案.【詳解】解：A,由原命題與逆否命題的構(gòu)成關(guān)系,可知A正確；B,當(dāng)a=2>1時(shí),函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)函數(shù)定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)時(shí)，a>1.所以B正確；C,由于存在性命題的否定是全稱(chēng)命題,所以"，使得"的否定是"，均有,所以C正確；D,的根不一定是極值點(diǎn)，例如:函數(shù),則=0，即x=0就不是極值點(diǎn),所以“若為的極值點(diǎn)，則”的逆命題為假命題,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件、導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中應(yīng)用、全稱(chēng)量詞與存在量詞等相關(guān)知識(shí)，需牢記并靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí).4、B【解析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，然后根據(jù)線(xiàn)性規(guī)劃的幾何意義求得答案.【詳解】作出不等式組所對(duì)應(yīng)的可行域如圖三角形陰影部分，平行移動(dòng)直線(xiàn)直線(xiàn)，可以看到當(dāng)移動(dòng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，在y軸上的截距最小,聯(lián)立，解得，當(dāng)且僅當(dāng)動(dòng)直線(xiàn)即過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最小值為，故選：B5、C【解析】根據(jù)圓的方程得出兩圓的圓心和半徑，再得出圓心距離與兩圓的半徑的關(guān)系，可得選項(xiàng).【詳解】圓的圓心為，半徑，的圓心為，半徑，則，所以?xún)蓤A的位置是關(guān)系是相交，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查兩圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵在于運(yùn)用判定兩圓的位置關(guān)系一般利用幾何法.即比較圓心之間的距離與半徑之和、之差的大小關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】可由橢圓方程先求出，在利用橢圓的定義求出，利用已知求解出，再取的中點(diǎn)，連接，利用中位線(xiàn)，即可求解出線(xiàn)段的中點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離.【詳解】因?yàn)闄E圓，，所以，結(jié)合得，，取的中點(diǎn)，連接，所以為的中位線(xiàn)，所以.故選：A.7、D【解析】在y軸上的截距只需令x=0求出y的值即可得出.【詳解】令x=0，則y=-2，即直線(xiàn)在y周上的截距為-2，故選D.8、A【解析】由a1＝3，，利用遞推思想，求出數(shù)列的前11項(xiàng)，推導(dǎo)出數(shù)列{an}從第6項(xiàng)起是周期為3的周期數(shù)列，由此能求出a2022【詳解】解：∵數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a1＝3，，∴a2＝3a1+1＝10，5，a4＝3a3+1＝16，a58，4，a72，a81，a9＝3a8+1＝4，a102，a111，∴數(shù)列{an}從第6項(xiàng)起是周期為3的周期數(shù)列，∵2022＝5+672×3+1，∴a2022＝a6＝4故選：A9、C【解析】先求出等比數(shù)列的公比，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】用表示這個(gè)數(shù)列，依題意，，則，，第四個(gè)數(shù)即.故選：C.10、D【解析】雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為，漸近線(xiàn)方程為，代入解析式即可得到結(jié)果.【詳解】雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為8，即，，漸近線(xiàn)方程為，進(jìn)而得到雙曲線(xiàn)方程為.故選：D.11、C【解析】求出圓心到直線(xiàn)距離，再借助圓的性質(zhì)求出d的最大值與最小值即可.【詳解】圓的方程化為，圓心為，半徑為1，則圓心到直線(xiàn)的距離，即直線(xiàn)和圓相離，因此，圓上的動(dòng)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，有，，即，即的取值范圍是：.故選：C12、B【解析】把橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可判斷焦點(diǎn)位置和求出長(zhǎng)軸長(zhǎng).【詳解】橢圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，且，所以橢圓焦點(diǎn)在軸上，，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，將所求不等式變形為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得解.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，由已知可得，由可得，可得.故答案為：.14、【解析】根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，可知展開(kāi)式中含的項(xiàng)，以及展開(kāi)式中含的項(xiàng)，再根據(jù)組合數(shù)的運(yùn)算即可求出結(jié)果.【詳解】解：由題意可得，展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，而展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，所以的系數(shù)為.故答案為：.15、【解析】先利用正弦定理邊化角式子，得到，再利用正弦定理求出，根據(jù)與的關(guān)系，求得，即可求得c的最小值.【詳解】，即，又，當(dāng)最大時(shí)，即，最小，且為由正弦定理得：，當(dāng)時(shí)，c的最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在解三角形題目中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：（1）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；（2）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；（3）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；（4）代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；（5）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到.16、【解析】直接根據(jù)已知寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得解.【詳解】解：由題得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）存在；【解析】（1）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)，即可直接求出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；（2）根據(jù)題意寫(xiě)出直線(xiàn)的方程，把直線(xiàn)的方程與曲線(xiàn)的方程聯(lián)立，消元，寫(xiě)韋達(dá)；根據(jù)條件，同時(shí)結(jié)合三角形的面積公式可得出；從而結(jié)合韋達(dá)定理可求出點(diǎn)T的坐標(biāo).【小問(wèn)1詳解】設(shè)，由，得，即，所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)PT與RT夾角為，QT與RT夾角為，因?yàn)?，所以，即，所以，設(shè)，，，直線(xiàn)l的方程為，因?yàn)椋?，即，所以，即①，由，得，所以，代入①式，得，解得，所以存在點(diǎn)，使得對(duì)任意且，都有.18、（1）（2）（3）【解析】（1）根據(jù)已知條件得到，，即可得到橢圓的方程.（2）首先設(shè)直線(xiàn)為，與橢圓聯(lián)立得到，根據(jù)得到的范圍，從而得到的范圍.（3）設(shè)重心，根據(jù)重心性質(zhì)得到，，再代入求解即可.小問(wèn)1詳解】因?yàn)樽箜旤c(diǎn)，所以，根據(jù)，可得，解得，所以；【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線(xiàn)為，則，則，，那么，根據(jù)解得，所以.【小問(wèn)3詳解】設(shè)重心，則：，，所以，所以，即所求直線(xiàn)的斜率為.19、（1）或；（2）.【解析】（1）根據(jù)正弦定理邊角關(guān)系可得，再由三角形內(nèi)角的性質(zhì)求其大小即可.（2）由（1）及題設(shè)有，應(yīng)用余弦定理求得、，最后利用三角形面積公式求△的面積【小問(wèn)1詳解】由正弦定理得：，又，所以，又B為△的一個(gè)內(nèi)角，則，所以或；【小問(wèn)2詳解】由△不為鈍角三角形，即，又，，由余弦定理，，得（舍去負(fù)值），則∴20、（1）存在兩個(gè)等邊三角形不是相似的，假命題（2），真命題【解析】根據(jù)全稱(chēng)命題與存在性命題的關(guān)系，準(zhǔn)確改寫(xiě)，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：命題“任意兩個(gè)等邊三角形都是相似的”是一個(gè)全稱(chēng)命題根據(jù)全稱(chēng)命題與存在性命題的關(guān)系，可得其否定“存在兩個(gè)等邊三角形不是相似的”，命題為假命題.【小問(wèn)2詳解】解：根據(jù)全稱(chēng)命題與存在性命題關(guān)系，可得：命題的否定為.因?yàn)?，所以命題為真命題.21、（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【解析】（1）以為原點(diǎn)，所在的直線(xiàn)為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量可得，即平面，再由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)可得答案；（2）設(shè)直線(xiàn)與平面所成角的為，可得答案；（3）由二面角的向量求法可得答案.【小問(wèn)1詳解】以為原點(diǎn)，所在的直線(xiàn)為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，即，令，則，所以，所以，所以平面，平面，所以.【小問(wèn)2詳解】，所以，由（1）平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角的為，所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.【小問(wèn)3詳解】由已知為平面的一個(gè)法向量，且，由（1）平面的一個(gè)法向量為，所以，由圖可得平面與平面夾角的余弦值為.22、（1）（2）（i）答案見(jiàn)解析（ii）或【解析】（1）通過(guò)幾何關(guān)系可知，且,由此可知點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)、為焦點(diǎn)，且實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線(xiàn)，通過(guò)雙曲線(xiàn)的定義即可求解；（2）（i）設(shè)點(diǎn)，，直線(xiàn)的方程為，將直線(xiàn)方程與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理及求出，即得到直線(xiàn)的斜率為定值；（ii）由（i）可知，由已知可得，聯(lián)立方程即可求出，的值，代入即可求出的值