2023-2024學(xué)年上海市閔行區(qū)七寶中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年上海市閔行區(qū)七寶中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．方程表示的曲線為（）A.拋物線與一條直線 B.上半拋物線（除去頂點(diǎn)）與一條直線C.拋物線與一條射線 D.上半拋物線（除去頂點(diǎn)）與一條射線2．等差數(shù)列中，若，，則等于（）A. B.C. D.3．若等比數(shù)列滿足，，則數(shù)列的公比為（）A. B.C. D.4．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，，，則（）A. B.C.,,成等差數(shù)列 D.,,成等比數(shù)列5．已知圓，為圓外的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)引圓的兩條切線、，使得，其中、為切點(diǎn)．在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，線段所掃過(guò)圖形的面積為（）A. B.C. D.6．已知直線交圓于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，則直線l被圓C截得線段的長(zhǎng)是（）A.3 B.2C. D.47．若數(shù)列滿足，，則該數(shù)列的前2021項(xiàng)的乘積是（）A. B.C.2 D.18．已知向量，則“”是“”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9．曲線的一個(gè)焦點(diǎn)F到兩條漸近線的垂線段分別為FA，F(xiàn)B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若四邊形OAFB是菱形，則雙曲線C的離心率等于（）A. B.C.2 D.10．已知函數(shù)的部分圖象與軸交于點(diǎn)，與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，如圖所示，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A. B.的最小正周期為6C.圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D.在上單調(diào)遞減11．已知四棱錐，平面PAB，平面PAB，底面ABCD是梯形，，，，滿足上述條件的四棱錐的頂點(diǎn)P的軌跡是（）A.橢圓 B.橢圓的一部分C.圓 D.不完整的圓12．已知集合，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，若存在唯一零點(diǎn)，則的取值范圍是__________.14．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)、，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，則的面積為___________.15．在等比數(shù)列中，，，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前項(xiàng)和為________16．已知、是空間內(nèi)兩個(gè)單位向量，且，如果空間向量滿足，且，，則對(duì)于任意的實(shí)數(shù)、，的最小值為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線C：焦點(diǎn)F的橫坐標(biāo)等于橢圓的離心率.（1）求拋物線C的方程；（2）過(guò)(1，0)作直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，判斷原點(diǎn)與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.18．（12分）已知數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的最小值及此時(shí)的值.19．（12分）已知中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿足.（1）求的值；（2）若，求面積的最大值.20．（12分）2017年5月27日當(dāng)今世界圍棋排名第一的柯潔在與的人機(jī)大戰(zhàn)中中盤棄子認(rèn)輸，至此柯潔與的三場(chǎng)比賽全部結(jié)束，柯潔三戰(zhàn)全負(fù)，這次人機(jī)大戰(zhàn)再次引發(fā)全民對(duì)圍棋的關(guān)注，某學(xué)校社團(tuán)為調(diào)查學(xué)生學(xué)習(xí)圍棋的情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生日均學(xué)習(xí)圍棋時(shí)間的頻率分布直方圖（如圖所示），將日均學(xué)習(xí)圍棋時(shí)間不低于40分鐘的學(xué)生稱為“圍棋迷”.（1）請(qǐng)根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否有95%的把握認(rèn)為“圍棋迷”與性別有關(guān)？非圍棋迷圍棋迷合計(jì)男女1055合計(jì)（2）為了進(jìn)一步了解“圍棋迷”的圍棋水平，從“圍棋迷”中按性別分層抽樣抽取5名學(xué)生組隊(duì)參加校際交流賽，首輪該校需派兩名學(xué)生出賽，若從5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人出賽，求2人恰好一男一女的概率.參考數(shù)據(jù):0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821．（12分）已知圓，其圓心在直線上.（1）求的值；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與相切，求的方程.22．（10分）在中，已知，，，，分別為邊，的中點(diǎn)，于點(diǎn).（1）求直線方程；（2）求直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】化簡(jiǎn)得出或，由此可得出方程表示的曲線.【詳解】由可得或，所以，方程表示的曲線為上半拋物線（除去頂點(diǎn)）與一條直線，故選：B.2、C【解析】由等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)可得.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：C3、D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，然后由已知條件列方程組求解即可【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，所以，所以，解得，故選：D4、C【解析】寫出數(shù)列前幾項(xiàng)，觀察規(guī)律，找到數(shù)列變化的周期，再依次去判斷各項(xiàng)的說(shuō)法即可解決.【詳解】數(shù)列中，，，，則此數(shù)列為1，2，2，1，，，1，2，2，1，，，1，2，2，1，，，…即數(shù)列的各項(xiàng)是周期為6數(shù)值循環(huán)重復(fù)的一列數(shù)，選項(xiàng)A：，，則.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：由，可知當(dāng)時(shí)，.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：，則，即,,成等差數(shù)列.判斷正確；選項(xiàng)D：,,則，,即,,不能構(gòu)成等比數(shù)列.判斷錯(cuò)誤.故選：C5、D【解析】連接、、，分析可知四邊形為正方形，求出點(diǎn)的軌跡方程，分析可知線段所掃過(guò)圖形為是夾在圓和圓的圓環(huán)，利用圓的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】連接、、，由圓的幾何性質(zhì)可知，，又因?yàn)榍?，故四邊形為正方形，圓心，半徑為，則，故點(diǎn)的軌跡方程為，所以，線段掃過(guò)的圖形是夾在圓和圓的圓環(huán)，故在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，線段所掃過(guò)圖形的面積為.故選：D.6、B【解析】由題設(shè)知為圓的圓心且A、B在圓上，根據(jù)已知及向量數(shù)量積的定義求的大小，進(jìn)而判斷△的形狀，即可得直線l被圓C截得線段的長(zhǎng).【詳解】∵點(diǎn)為圓的圓心且A、B在圓上，又，∴，∴，又，∴，故△為等邊三角形，∴直線l被圓C截得線段的長(zhǎng)是2故選：B7、C【解析】先由數(shù)列滿足，，計(jì)算出前5項(xiàng)，可得，且，再利用周期性即可得到答案.【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足，，所以，同理可得，…所以數(shù)列每四項(xiàng)重復(fù)出現(xiàn)，即，且，而，所以該數(shù)列的前2021項(xiàng)的乘積是.故選：C.8、A【解析】根據(jù)得出，根據(jù)充分必要條件的定義可判斷.【詳解】解：∵，向量，，∴，即，根據(jù)充分必要條件的定義可判斷：“”是“”的充分不必要條件，故選：A.9、A【解析】依題意可得為正方形，即可得到，從而得到雙曲線的漸近線為，即可求出雙曲線的離心率；【詳解】解：依題意，，且四邊形為菱形，所以為正方形，所以，即雙曲線的漸近線為，即，所以；故選：A10、D【解析】根據(jù)函數(shù)的圖象求出，再利用函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合周期公式逆推即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，所以，又，所以，A正確；因?yàn)榈膱D象與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，即，所以，又，解得，所以，所以，求得最小正周期為，B正確；，所以是的一條對(duì)稱軸，C正確；令，解得，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞減，D錯(cuò)誤故選：D.11、D【解析】根據(jù)題意，分析得動(dòng)點(diǎn)滿足的條件，結(jié)合圓以及橢圓的方程，以及點(diǎn)的限制條件，即可判斷軌跡.【詳解】因?yàn)槠矫鍼AB，平面PAB，則//，又面面，故可得；因?yàn)?，故可得，則，綜上所述：動(dòng)點(diǎn)在垂直的平面中，且滿足；為方便研究，不妨建立平面直角坐標(biāo)系進(jìn)行說(shuō)明，在平面中，因?yàn)?，以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，過(guò)且垂直于的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如下所示：因?yàn)?，故可得，整理得：，故?dòng)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓；又當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，幾何體不是空間幾何體，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)不完整的圓.故選：.【點(diǎn)睛】本題考察立體幾何中動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，處理的關(guān)鍵是利用立體幾何知識(shí)，找到動(dòng)點(diǎn)滿足的條件，進(jìn)而求解軌跡.12、B【解析】先求得集合A，再根據(jù)集合的交集運(yùn)算可得選項(xiàng).【詳解】解：因?yàn)?，所以故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到是的唯一零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為方程無(wú)實(shí)數(shù)根或只存在實(shí)數(shù)根，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為和的圖象至多有一個(gè)交點(diǎn)（且如果有交點(diǎn)，交點(diǎn)必須在處），利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最小值，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，因?yàn)榇嬖谖ㄒ涣泓c(diǎn)，所以是的唯一零點(diǎn)，則關(guān)于的方程無(wú)實(shí)數(shù)根或只存在實(shí)數(shù)根，所以函數(shù)和的圖象至多有一個(gè)交點(diǎn)（且如果有交點(diǎn)，交點(diǎn)必須在處），又由，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，所以，即即的取值范圍是.故答案為：.14、##【解析】不妨設(shè)點(diǎn)為第一象限內(nèi)的點(diǎn)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，可求得直線、的方程，求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，可求得以及點(diǎn)到直線的距離，利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)為第一象限內(nèi)的點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，其中，則，可得，即點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，，所以，直線的方程為，聯(lián)立，解得或，即點(diǎn)，所以，，直線的方程為，拋物線的準(zhǔn)線方程為，聯(lián)立，可得點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，因此，.故答案為：.15、【解析】求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得出的通項(xiàng)公式，推導(dǎo)出數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的求和公式即可得解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，則，所以，，則，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，故數(shù)列的前項(xiàng)和為.故答案為：.16、【解析】根據(jù)已知可設(shè)，，，根據(jù)已知條件求出、、的值，將向量用坐標(biāo)加以表示，利用空間向量的模長(zhǎng)公式可求得的最小值.【詳解】因?yàn)椤⑹强臻g內(nèi)兩個(gè)單位向量，且，所以，，因?yàn)?，則，不妨設(shè)，，設(shè)，則，，解得，則，因?yàn)?，可得，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)、，的最小值為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）原點(diǎn)在以線段AB為直徑的圓上，詳見解析.【解析】（1）利用橢圓方程可得其離心率，進(jìn)而可求拋物線的焦點(diǎn)，即求；（2）設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達(dá)定理法可得，即得.【小問(wèn)1詳解】由橢圓，可得，故，∴拋物線C的方程為.【小問(wèn)2詳解】由題可設(shè)直線l的方程為，由，得，設(shè)，則，又，故，∴，∴，即，故原點(diǎn)在以線段AB為直徑的圓上.18、（1）（2）；或【解析】（1）由題意得到數(shù)列為公差為的等差數(shù)列，結(jié)合，，成等比數(shù)列，列出方程求得，即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由，得到時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：由題意，數(shù)列滿足，所以數(shù)列為公差為的等差數(shù)列，又由，，成等比數(shù)列，可得，即，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.【小問(wèn)2詳解】解：由數(shù)列的通項(xiàng)公式，令，即，解得，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)或時(shí)，取得最小值，最小值為.19、（1）2；（2）.【解析】（1）利用正弦定理以及逆用兩角和的正弦公式得出，而，即可求出的值；（2）根據(jù)題意，由余弦定理得，再根據(jù)基本不等式求得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，即可求出面積的最大值.【小問(wèn)1詳解】解：由題意得，由正弦定理得：，即，即，因?yàn)?，所以【小?wèn)2詳解】解：由余弦定理，即，由基本不等式得：，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，，所以面積的最大值為20、(1)沒(méi)有95%把握認(rèn)為“圍棋迷”與性別有關(guān).(2).【解析】（1）由頻率分布直方圖求得頻率與頻數(shù)，填寫列聯(lián)表，計(jì)算觀測(cè)值，對(duì)照臨界值得出結(jié)論；（2）根據(jù)分層抽樣原理，用列舉法求出基本事件數(shù)，計(jì)算所求的概率值【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，所以在抽取的100人中，“圍棋迷”有25人，從而列聯(lián)表如下非圍棋迷圍棋迷合計(jì)男301545女451055合計(jì)7525100因?yàn)?，所以沒(méi)有95%的把握認(rèn)為“圍棋迷”與性別有關(guān).（2）由（1）中列聯(lián)表可知25名“圍棋迷”中有男生15名，女生10名，所以從“圍棋迷”中按性別分層抽樣抽取的5名學(xué)生中，有男生3名，記為，有女生2名，記為.則從5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人出賽，基本事件有：，，，，，，，，，，共10種；其中2人恰好一男一女的有：，，，，，，共6種；故2人恰好一男一女的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖、獨(dú)立性檢驗(yàn)和列舉法求概率的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題21、（1）（2）或【解析】（1）將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心，代入直線方程即可求解.（2）設(shè)直線的方程為：，利用圓